Контактная задача для шероховатого клина Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2012. № 2

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШЕРОХОВАТОГО КЛИНА

© 2012 г. Д.А. Пожарский, Н.В. Семесенко

Донской государственный технический университет, Don State Technical University,

пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000,

reception@dstu.edu.ru reception@dstu.edu.ru

Исследована трехмерная контактная задача для составного упругого шероховатого клина при скользящей заделке внешней грани. Клин составлен из двух клиновидных слоев разного угла раствора, соединенных скользящей заделкой. Предполагается, что один из слоев несжимаем. Для вывода интегрального уравнения контактной задачи используется метод интегральных преобразований Фурье и Конторовича—Лебедева. Ядро интегрального уравнения контактной задачи зависит от вспомогательной функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма второго рода. При помощи метода нелинейных граничных интегральных уравнений определена область контакта и основные механические характеристики. Ранее аналогичная задача рассматривалась для однородного клина.

Ключевые слова: контактная задача, упругий клин, шероховатость.

The three-dimensional contact problem for a composed elastic rough wedge is investigated when an outer face is subjected to sliding support. The wedge is composed of two wedge-shaped layers with different angles with the help of sliding support. One of the layers is supposed to be incompressible. The method of Fourier and Kontorovich—Lebedev integral transformations is used for deriving the contact problem integral equation. The kernel of the contact problem integral equation depends on an auxiliary function, which satisfies a Fredholm integral equation of the second kind. The contact domain and the principal mechanical characteristics are determined with the help of the method of nonlinear boundary integral equations. A similar problem for a homogeneous wedge was considered earlier.

Keywords: contact problem, elastic wedge, roughness.

Исследована трехмерная контактная задача для составного упругого шероховатого клина при скользящей заделке внешней грани. При помощи метода нелинейных граничных интегральных уравнений определены область контакта и основные механические характеристики. Ранее аналогичная задача рассматривалась для однородного клина [1].

В цилиндрических координатах г, ф, г рассмотрим клин, состоящий из слоев ^0={ге [0,®), фе [-а,0], ге (-®,®)}, ^1={ге [0,®), фе [0,Р], ге (-®,®)}.

Слой О имеет коэффициент Пуассона V и модуль сдвига О. Материал слоя О1 несжимаем (параметры упругости У1=0,5 и О1). Жесткий штамп без перекоса и трения вдавливается нормальной силой Р в грань ф=р. Грань ф=-а находится в условиях скользящей заделки. Форма основания штампа Дг^^г-а^/даО+г2/^^, Я2>Ль Между штампом и гранью клина имеется нелинейное покрытие винклеровского типа [2], моделирующее шероховатость поверхности контакта и дающее вклад и£ = -Ад1 (г, 2), 0 < у < 1, в нормальное перемещение в области контакта (г, 2) е О, который

зависит от контактного давления стф(г,р,2)=-д(г,2). Величина А характеризует податливость и толщину покрытия (грубость обработки шероховатой поверхности). Условие контакта при ф=р имеет вид

иф + иф = -р(г, 2) = -[8 - /(г, 2)], (г, 2) е О , где Иф -

нормальное перемещение; 8 - осадка штампа. При известных величинах а, р, О, О!, V, 8, А, у и заданной функции _Дг,2) требуется определить контактное давление д(г,г), а также область контакта Затем можно

найти величину Р из условия равновесия штампа Р = || д(г, Интегральное уравнение (ИУ) зада-

О

чи выводится при помощи интегральных преобразований Фурье и Конторовича-Лебедева [3] и имеет вид

Ад1 (г, 2) + -1г IIд(х, У)б(х, У, г, 2)ёхёу = р(г, 2), (1)

(г, 2) е О, где (Кт(г) - модифицированная функция Бесселя)

/| да да

0(х, у, г, 2) = — II ¡¡ЙЯХ К„ (уг){^1 (X, р)К„ (ух) +

л 0 0

8е(1 -V) .. „^(х). . . , ,

+с^ /о(х,р) ^Х)}С08 у( 2 - У)^,

^ (х, р) = СЬ2РХ- С052Р , в= Р1

/„(x, ß) =

sh2ßx + x sin2ß G shßxcos ß +xch ßxsin ß

sh2ßx + x sin2ß

(2)

W (x) =

1

W (x, a)

+ 4(1 - v)e

sh2ßx-x2 sin2 ß sh2ßx + x sin2ß

Функция ¥(x) в (2) удовлетворяет ИУ Фредгольма 2-го рода (0<x<o>)

tcx

Y(x) - (1 - 2v) J L(x, u)T(u)du = ch — /„(x, ß)^ft (yx), (3) „ 2

2 , nx , nu ^ shnt g(t)dt

L(x, u) =-ch — sh— J-^^-,

W(u) 2 2 „ (chnt + chnx)(chnt + chnu)

g (t) =

sin 2a cthat ch2at - cos 4a

30

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2012. № 2

Для численного решения уравнения (3) можно использовать метод механических квадратур. Для решения уравнения (1) при условии q(r,z)=0, (r,z)e Ж, применим метод нелинейных граничных интегральных уравнений [1, 3]. При этом удается одновременно определить область контакта и контактное давление. Предположим, что область контакта содержится в прямоугольнике S={(r,z): |г-а|<с, |z|<b} (a>b>c), который не выходит на ребро составного клина. Введем обозначения: М = (г, х), N = (х, у), ц(М) = ц(г, г),

М) = Я(х, у, г, г), м>(М) = Ац7 (М), ц(М) = [м>(М)' А]1'7,

К= (4КОА1'7)-, Р(М) = 8-/(г,г) и нелинейный

оператор Нн(М) = ["(М)] = ^7(МX НМ)>0.

Уравнение (1) и условие непроникания приводят к системе

м>(М) + X, | Нн>( N , М) dN =

Б

= Р(М) л м>(М) > 0, М еО, (4)

X, | М^ > р(М) л н(М) = 0, М е Б \ О . (5)

Можно доказать [1], что система (4), (5) эквивалентна ИУ

d = Ш, Ш = р -Л&Ш, Qd = |d(^Я^,МЩ, (6)

где й=й(Ы), р=р(М).

Уравнение (6) однозначно разрешимо при достаточно малых значениях параметра X, т.е. при достаточно больших значениях параметра шероховатости А. Для решения уравнения (6) используем метод последовательных приближений. При уменьшении осадки штампа и возрастании А уменьшается число итераций, необходимых для решения уравнения (6) с заданной степенью точности.

Для численного анализа введем безразмерные обозначения (далее штрихи опускаем): г - а = г'Ь, х- а = х'Ь, г = 2Ь , у = у'Ь, 8 = 8Ь , Х = а'Ь,

А = Ь'(2^), В = Ь '(2Я2), £0 = с ' Ь , А = А(4л^ )7 ' Ь ,

ц'(г\2) = ц(г,г)'(4ж01), Р = Р'(4л01Ь2), Б, О'^ О.

Поступила в редакцию_

Безразмерный параметр X характеризует относительную удаленность области контакта от ребра составного клина. Ясно, что Х>1, е<1.

В таблице даны значения контактного давления q(r,0) и вдавливающей штамп силы Р, рассчитанные при а=30°, 7=0,4, Х=1,2, у=0,5, е=1, 8=0,04, А0=0,05, В0=0,2, е0=0,5 и при разных значениях параметра А.

Число итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, быстро падает с ростом А. Из таблицы видно, что с увеличением податливости покрытия А существенно снижаются значения контактного давления и силы. Шероховатость способствует значительному уменьшению давлений по сравнению со случаем гладкого клина. Область контакта увеличивается при возрастании параметра шероховатости А. С уменьшением угла р клиновидного слоя под штампом давления и сила возрастают. При приближении формы эллиптического штампа к круговой (В0 фиксировано, А0 возрастает) давления и сила снижаются.

Значения давления и силы

A g(r,0)103 Р<т103

r=-0,375 -0,25 -0,125 0 0,125 0,25 0,375

ß=60°

0,3 0,4 0,5 2,367 3,090 3,567 3,739 3,589 3,132 2,422 1,433 1,881 2,181 2,289 2,190 1,897 1,453 0,9189 1,210 1,406 1,476 1,410 1,217 0,9276 1,33 0,815 0,527

ß=30°

0,3 0,4 0,5 2,422 3,131 3,597 3,765 3,616 3,162 2,455 1,456 1,901 2,197 2,303 2,204 1,912 1,468 0,9293 1,219 1,414 1,483 1,417 1,224 0,9342 1,36 0,828 0,533

Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00004.

Литература

1. Александров В.М., Пожарский Д.А. Трехмерные контактные задачи для упругого клина с покрытием // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, вып. 1. С. 103 - 109.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М., 1983. 488 с.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998. 288 с.

20 сентября 2011 г.