Накладка на несжимаемом упругом клине Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2010. № 2

УДК 539.3

НАКЛАДКА НА НЕСЖИМАЕМОМ УПРУГОМ КЛИНЕ

© 2010 г. Д.А. Пожарский

Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, пл. Страны Советов, 1, г. Ростов-на-Дону, 344023, [email protected]

Rostov-on-Don State Academy of Agricultural Machine Engineering, Strana Sovetov Sq., 1, Rostov-on-Don, 344023, [email protected]

Получено интегральное уравнение пространственной контактной задачи для несжимаемого упругого клина с эллиптической накладкой, к которой приложена касательная сила. Другая грань клина подчинена условиям скользящей заделки. Построено регулярное асимптотическое решение.

Ключевые слова: накладка, стрингер, несжимаемый материал, упругий клин.

The integral equation is obtained for the contact problem for a spatial incompressible elastic wedge with an elliptic coating on its one face. Another face is subject to sliding support. The asymptotic solution is derived.

Keywords: coating, stringer, incompressible solid, elastic wedge.

Рассмотрена пространственная контактная задача для несжимаемого упругого клина с эллиптической накладкой, к которой приложена касательная сила. Другая грань клина подчинена условиям скользящей заделки. Задача эквивалентна симметричной задаче о двух одинаковых накладках на обеих гранях клина вдвое большего угла раствора. Для вывода интегрального уравнения использована связь с задачей о трещине сдвига [1] в клине, что позволило избежать дифференциальных операторов, возникающих при обычном способе вывода интегрального уравнения [2]. Ранее изучались задачи о накладке (стрингере) на плоском клине и на полупространстве [3].

Используя цилиндрические координаты, рассмотрим несжимаемый упругий клин {ге[0,<»), фе[0,а], [-®,®]}. Пусть грань клина ф=0 находится в условиях скользящей заделки, ф=а полностью сцеплена по области О = {(г-а)2/с2+г2/й2} (а>с, Ь>с) с тонкой нерастяжимой абсолютно гибкой накладкой и свободна от напряжений вне О. К центру накладки вдоль оси г приложена сила Т, под действием которой накладка смещается на величину иг = 5. Пусть область О вытянута вдоль ребра клина настолько, что в ней можно пренебречь касательным напряжением вдоль ребра и положить стф = хфг = 0. Для выво-

да интегрального уравнения относительно неизвестного касательного напряжения тфг = т(г^) в области О рассмотрим задачу о трещине сдвига в клине, которая отличается от поставленной лишь тем, что в области О задано напряжение тфг, а требуется найти перемещение иг. Символы ядер интегральных уравнений двух задач должны быть взаимно обратны. Для вывода интегрального уравнения задачи о трещине используем комплексные интегральные преобразования Фурье и Конторовича-Лебедева и технику сведения задачи теории упругости к обобщенной по И.Н. Векуа краевой задаче Гильберта [3]. Обращая символ ядра, получим следующее интегральное уравнение для задачи о накладке (О - модуль сдвига; К„(х) - функция Бесселя):

ц т(x? y) к(х, y, r, z)dxdy = 4п u,

G

(r,z) efi, (1)

4 адад

K (x, y, r, z) =—— JJshnr

П 0 0

ß2 xr W (t) +g (t) 1 + t2

xKlT (ßx)KiT (ßr) cos ß(z - y)dßdT , W (t) = (ch2aT + cos 2a) /(sh2aT + t sin 2a) , g (t) = cthaT x

Q

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2010. № 2

sh22ar + 1,5т sh2ar sin4а + 2(т2 + ch2ar)sin2 2а

sh2 2ат + т sh2ar sin 4а + (т2 + 4ch2ar)sin2 2а

Выделим в ядре интегрального уравнения (1) главную часть, соответствующую накладке на полупространстве [3], переписав его в виде

т( У)

G

(r, z) efi

(r - x)2

R-

+ F (x, y, r, z)

dxdy = 4п u, (2)

1 (r + x)2

F (x, y, r, z) = -----

R+

R+

4 адад

+— JJshnT

П 0 0

W (т) - th— +

2 1+t

ПТ ß xr í _ ПТ

2 ( g(T) - cth2

XK1T(ßx)K1T(ßr)cos ß(z - y)dßdT : R± =V (r ± x)2 + (z - y)2 .

b

i = z , = u ^ = a z = b' u = b' " b'

. c v . .4 T(r,z)

c = —, t (r , z ) =-.

b 2G

T' = -

T

2Gb2

(3)

Я 2Я2 U3

A = -1 +

+ J thnT

0

-2

„.. . . пт 1 + 4t

W(t) - th— +--

2 8(1 + t2)

, пт g (t) - cth-2~

(5)

dT .

которых решается в замкнутом виде [2, 3]. В результате найдем асимптотическое решение в форме

Т(Г, 2) = (6)

= u ÍTo + Ti + ТЦГзТ + o\\

cl 0 Я Я2 U3

i - -г 2

-1/2

1 A A2 2

T0 =—, T1 = T2 =—B = S00 + c S01 , T3 =

B B2 B3

A(2S20 - c2 Sn)

При а = п/2 уравнение (2) соответствует симметричной задаче о двух накладках на полупространстве, сдвигаемых в противоположные стороны. В случае параллельной ребру клина полосовой области О, используя преобразование Фурье по г и предельный переход Р^-0, можно свести уравнение (2) к интегральному уравнению плоской задачи о стрингере на клине [3], символ ядра которого в точности равен функции Г(х).

Для решения уравнения (2) в случае эллиптической области О используем регулярный асимптотический метод [2, 3], эффективный при достаточном удалении области накладки от ребра клина. Введем безразмерные обозначения: , г - а

и т.д., штрихи далее опускаем. Параметр X характеризует относительную удаленность области О от ребра клина. Можно показать, что при Х>шах(с+(2с2+1)1/2,а-1) гладкая часть ядра Е(х+Х,у,г+Х,г) разлагается в абсолютно сходящийся ряд по степеням 1/Х" (п = 1,2,...) с полиномиальными коэффициентами относительно х,у,г,2. В частности, при Х^+да имеем

Г (х + 2, у, г +Х,2) = А-АХ+Г1 + о{^\ , (4)

Разыскивая решение уравнения (2) при учете (3), (4) также в форме ряда по степеням 1/Хп (п = 0,1,.) и приравнивая члены при одинаковых степенях X, получим цепочку интегральных уравнений, каждое из

2с В[(2^ -511)(252о -С2£„)-(3£„ -5М)(3С2511 -510)]

_ = п//2 (к 2 = 1 - 2 ) *тп ! (1 - к2ет2 /)т+п+1/2 1с ) .

Интегралы Бтп выражаются через полные эллиптические интегралы [2, с. 45]. Основываясь на решении (6), найдем связь между силой Т и перемещением и в виде

(

T = JjT(r, z)drdz = 2пи

fi

T1 T

T0 + ^ + ^ + OI-1

Я Я2

Я

В таблице даны значения постоянной А, рассчитанной по формуле (5) при разных углах клина. При а и 32° имеем А = 0. В этом случае при достаточно больших значениях X решение практически не зависит от X. Такой же вывод справедлив для симметричной задачи о двух накладках на клине угла раствора 2а и 64° (решение не зависит от удаленности накладок друг от друга).

Значения постоянной (5)

а 30° 45° 90° 135° 180° 225° 270°

A 0,206 -0,838 -1,00 -0,614 -0,589 -0,819 -0,876

Анализ взаимовлияния двух накладок на полупространстве, т.е. относительного отличия решения для двух накладок (2а = п) от решения для одной накладки на полупространстве (X = да), показывает, что это отличие уменьшается как с ростом X, так и с уменьшением значения с (отношения полуосей области накладки).

Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00004.

Литература

1. Гольдштейн Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1979. № 3. С. 111-126.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998. 288 с.

3. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М., 1993. 224 с.

Поступила в редакцию

13 апреля 2009 г.

+

X

r =

ад