CC BY
12
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕНИИ В ТРЕХМЕРНОМ УПРУГОМ КЛИНЕ
© 2007 г. Д.А. Пожарский, Н.А. Ларцева
The formulae for the stresses inside a three-dimensional elastic wedge with one stress-free face are obtained. The other face is subject to a normal loading. The effective stress in the Huber-Mises plasticity criterion is calculated.
Получены формулы для напряжений внутри трехмерного упругого клина с одной свободной от напряжений гранью при действии нормальной нагрузки на другой грани. Рассчитанное эффективное напряжение по критерию пластичности Губера-Мизеса сравнивает-ся со случаем полупространства. Это напряжение име-ет максимум на определенной глубине под нагружен-ной площадкой внутри клина.
Рассмотрим трехмерный упругий клин (г£[0,®]; ф£[-а,а]; г£(-<»,<»)}, где г, ф, г - цилиндрические координаты, ось г направлена по ребру клина. Клин имеет упругие характеристики О (модуль сдвига) и V (коэффициент Пуассона). Грань клина ф=-а свободна от напряжений (сф=хгф=тфг=0). На грани ф=а действует только нормальная нагрузка сф=-д(г,.г) в области (г,.г)£^. Решение поставленной краевой задачи для уравнений Ламе может быть выражено через три гармонические функции Папковича-Нейбера Фи=Фи(г,ф,.г), и=0,1,2 [1]. При этом получаем следующие формулы для напряжений:
2^
иг = 2-
5 2Ф 0
дг 2
2(1 -v)r
°ф =
~ да1 - 2—1 + дг
2 дФ,
1
_
2(1 -v) дг 2
г дг
+
2 д2Ф0
дф2
- 2 а +
г
да
2
+
дг
(г а), 1 - 2V
д да2
-(га) +—2
2(1 -vy 1 д
дф
д . . да2 — (га) +—2 дг дф
дф ) 2(1 -vy дф
^ = 2
д 2Ф о
2v
&2
2(1 -vy
(г а) +
да1 дф
да 2 дф
д 2а
" гф
2(1 -V) дг2 2 дФ0
" дг I
(1)
--^ + -
1
да,
т = 2
гг
г дф
д 2ФП
2(1 -V) дф 1 - 2v да1
1
+
г
да1 дф
+ -
д а
дгдг 2(1 -v) дг 2(1 -v) дгдг
Тфг дг
д I 2 дФ 0
1
да1
г дф 2(1 -v) дф
-а2
а1 = БШф Ф1 - со8ф Ф2 , а2 = со8ф Ф1 + sinф Ф2. Функции Папковича-Нейбера в (1) имеют вид
1 œœ
Фn (г,ф, г) =--зЦ q(x, y)cost(y - z)dxdy Ц sh m x
n Q 00
x[An (u, t, x)ch$u + Bn(u, t, x)shqyu\Kiu (tT)dudt,
A0(u, t, x) = -B0(u, t, x) =
1 - 2v
tshau 0 1 - 2vœ
1 Wi( y,a)^( y, tx)
sh(ny / 2)dy
1W2 ( y,a)^( y, tx)
ch^y + chn sh(ny /2)dy
tchau 0 chny + chrn
A1(u,t,x) = R1(u,a)C2(u,tx) , B1(u,t,x) = R2(u,a)C1(u,tx). A2(u,t,x) = S2 (u,a)Cl(u,tx) , B2(u,t,x) = Sj(u,a)C2(u,tx), (2)
Cm (u, tx) = (-1) m 2(1 - v) Wna ^ (u,tx) , ch( nu /2)
Tm (u, tx) = < (u, tx) + F (u, tx) , F (u, tx) = ch -y-Kiu (tx),
W1(u, a) =
ch2au - cos 2a
W2(u ,a) = -Rj (u, a ) = R 2 ( u, a ) = S1(u, a) =
sh2au + u sin 2a ch2au + cos 2a
sh2au - u sin 2a 2ch au cos a ch2au + cos 2a
2sh au cos a ch 2au - cos 2a 2sh a u sin a
S2 (u,a) =
ch 2au + cos 2a 2ch a u sin a
ch 2 au - cos 2 a Функции ¥m (u,tx), m = 1, 2 удовлетворяют интегральным уравнениям Фредгольма второго рода (0< u <®)
ад
< (u,tx) = (1 - 2v) i Lm (u, y)[< (y,tx) + F(y, tx)]dy,
Lm (u, y) = 2ch П sh ^yWm ( y,a) x
œ
x 1
shns gm (5, a)ds
[chns + chnu\[chns + ch^y]
(3)
g1 (s, a) =
cthas sin 2a ch2as - cos 4a
g 2(s, a) =
thas sin 2a
ch2as + cos 4a При помощи формул (1)-(3) рассчитаем эффективное напряжение по критерию пластичности Губера-Мизеса
аг = [(аг -а^)2 + (av -az)2 + (аг -аг)2 + + 6(г2 +т1 +т2 )]1/2/л/2.
Пусть, например, Q - прямоугольник
œ
+
г
- со
2
2
г
г £ [а—с, а+с]; г £ (—Ь, Ь)}, не выходящий на ребро клина, по которому действует нагрузка д(г,г)= =б[(1-(г-а) /с )(1-г /Ь )]-2. Введем безразмерные величины г =г/Ь, г =г/Ь, Х=а/Ь, е=с/Ь, q (г г )=q(г,z)/Q, звездочки далее опускаем. Эффективное напряжение рассчитаем на перпендикуляре к грани клина ф=а, проведенном через центр прямоугольника Для простоты далее положим v=0,5, тогда Фо(г,ф,г)=0.
Для улучшения сходимости интегралов в функциях Папковича-Нейбера представим их следующим образом (и=1,2; с1=ео8а, с2=8та): Ф„ (г,^, 2) 2с,
b
= —n ii q(x, У) cost(y - z) dxdy j j [shpu x
П Q 00
xTn (u, p) - ch(p + p - a)u] x xKiu (tx)K,u (tr)dudt + спФ(г, p, z);
(4)
Tu(u,p) =
chau chpu
■ + -
sha u shpu
sh2au + u sin 2a sh2a u ± u sin 2a
1
Ф(г,р,z) = —jj
q(x, y) dxdy
2 -il / 2
координатах максимум <зi/Q достигается на определенной глубине).
В таблице даны значения безразмерного эффективного напряжения в зависимости от отнесенной к Ь глубины к=Х tg(a-ф).
Эффективное напряжение а/2
2а X 8 h=0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
180° — 1 0,0419 0,215 0,494 0,676 0,774 0,801 0,782 0,738
180° — 0,5 0,216 0,553 0,720 0,750 0,712 0,647 0,575 0,506
135° 2 1 0,133 0,317 0,548 0,772 0,811 0,830 0,805 0,754
135° 2 0,5 0,260 0,591 0,752 0,776 0,733 0,663 0,588 0,515
135° 1 0,5 0,285 0,613 0,771 0,791 0,744 0,672 0,595 0,521
2п q [x + r - 2xrcos(^-a) + (y- z) ]
Заметим, что в первой формуле (4) при z=0 точно
1 cos ty dy
вычисляется квадратура поy: J-2 1/2 = ли0(t).
-1(1 - y 2)1/2
При дифференцировании функций (4) используем как известные разностные, так и аналитические
d
ф°рмулы типа —K1U (tr) = -t Re KUlu (tr).
dr
При 2a=n (полупространство) в (4) Ф^г,ф^)=0, Ф2(r,ф,z)=Ф(r,ф,z). Для этого случая результаты расчетов совпадают с известными [2, 3] (в декартовых
Эффективные напряжения для клина с углом раствора 135° больше, чем для полупространства; максимум достигается примерно на одинаковой глубине, которая уменьшается с уменьшением площади области Эффективное напряжение увеличивается при приближении к ребру клина. Для вытянутой вдоль ребра клина области ^ это напряжение больше, чем для такой же области, вытянутой вдоль оси г. Результаты могут быть использованы при расчетах на прочность зубчатых передач Новикова.
Работа поддержана грантом РФФИ 06-01-00022.
Литература
1. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998.
2. Хан Х. Теория упругости. М., 1988.
3. Ковальский Б. С. Расчет деталей машин на местное сжатие. Харьков, 1967.
Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, Ростовский военный институт ракетных войск_
4 сентября 2006 г.
