Вариационный метод в трехмерной контактной задаче для упругого клина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интегрируя (постоянную интегрирования берем равной нулю), получаем:

Теорема доказана.

Замечание. Нелинейные задачи, ранее проинтегрированные МОЗР, сводились к нелинейному уравнению Шредингера. В рассмотренном случае задача на собственные значения никакими преобразованиями к уравнению Шредингера не сводится. Одним из существенных отличий также является функциональная зависимость данных рассеяния от деформационного параметра t.

Литература

1. Захаров В.Е., Шабат А.Б. // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Вып. 3. № 13. С. 13-22.

2. Лакс П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. М., 1969.

Ставропольский государственный университет 20 мая 2005 г.

УДК 539.3

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД В ТРЕХМЕРНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА

© 2005 г. Д.А. Пожарский

Ritz's variational method is applied to the three-dimensional contact problem for an elastic wedge. The normal contact pressure is calculated for three types of boundary conditions on one face of the wedge.

Вариационный метод Ритца применяется к трехмерной контактной задаче об эллиптическом в плане штампе вблизи ребра упругого клина.

q = ju± ik—. Р

(14)

c0(u)

Подстановка (12) в (14) и выбор h = —0-

c0 (u)

позволяет получить (4).

Сделаны расчеты для трех типов граничных условий на одной грани клина. Проведено сравнение с полученным ранее асимптотическим решением [1], эффективным при относительной удаленности заданной области контакта от ребра клина. При неизвестной области контакта использовался метод нелинейных граничных интегральных уравнений [2]. Метод Ритца применялся для решения задач о трещине нормального отрыва в трехмерном клине [3] и неограниченном упругом пространстве [4].

Рассмотрим трехмерный упругий клин {г £ [0,®]; ф £ [0,а]; г £ £ [-®,®]} (г, ф, г - цилиндрические координаты, ось г направлена по ребру клина). Материал клина имеет упругие характеристики О (модуль сдвига) и V (коэффициент Пуассона). В грань клина ф = а без перекоса вдавливается штамп с плоским основанием под действием силы Р, приложенной на расстоянии Н от ребра клина. Область контакта - эллипс (г - с)2сГ2 + + г2Г2 < 1, Ь > а, с > а. Силами трения в ^ пренебрегаем, вне ^ грань ф = а не нагружена. Грань клина ф = 0 либо свободна от напряжений (задача А), либо находится в условиях скользящей или жесткой заделки (задачи Б и В соответственно). Задачи симметричны по г. При заданной осадке штампа 5 требуется найти нормальное контактное давление сф = _д(г, г), ф = а, (г, г) £ Затем при помощи двух интегральных условий равновесия штампа могут быть определены значения Р и Н. Поставленные задачи сводятся к интегральному уравнению относительно

функции д(г, г) [1]. После введения безразмерных обозначений по форму* * * * * * _1 _1

лам г = Ьг + с, х = Ьх +с, г = Ьг , у = Ьу , д(г, г) = д(г , г )О(1 _ V) 5Ь ,

к = сЬч, е = аЬч, г 2е_2 + г 2 < 1 указанное уравнение можно записать в

виде (далее звездочки опускаем)

II q (x y)

Q

где R2 = (x - r)2 + (y - z)2,

4

— + T (x + Л, y, r + Л, z) R '

dxdy = 2п, (r,z)eQ , (1)

T (x, y, r, z) = — 11 sh nu W (u,a)- cth nu Ix

п о о (2)

xKlu (ßx)K1U (ßr) cos ß(y - z) dßdu,

тт, ч sh2au + u sin2a TlW ч ch2a - cos2a Wi (u,a) = T77-2-2 ■ 2 ^ W2 (и,а) = -

2(зЪ2аи - и а^а) ъЫаи + дат2а

„т , \ к$Ь2аи - шхШа

W3 (и,а) =---— , к = 3— .

ксЫаи + и 2 (1 - С0Б2а) + 0,5(1 + к2)

Здесь и далее ] = 1,2,3 для задач А, Б и В соответственно. Для краткости записи в ядре (2) уравнения (1) и далее опущены члены по натуральным степеням (1_2v) [1].

Безразмерный параметр к характеризует относительную удаленность области контакта от ребра клина. При к ^ ® (1) переходит в интегральное уравнение контактной задачи для полупространства.

Для решения (1) применим вариационный метод Ритца [3, 4], используя разложение

A M N

q (r, -)=-Д= 11

y¡s(r, z) m=0 n=0

AmnT2m I I + BmnT2m+1 I

A =-

S J 1

cos(nnz),

(3)

еК(>А -е2)'

где s(r, 2) = (1 - г2е~2 - 2); Тт(х) - полиномы Чебышева первого рода; К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода.

В итоге придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Атп, Втп, т = 0, 1,..., М, п = 0,1,..., N вида

М N 2 М N , 2 V

Х Х Ак1Р2 к,1,2т, п + ~ Х Х((к1Р2к,1,2т, п + Вк1Р2 к+\,1,2т, п ) =

к=01=0 ТТк=0 г=0 (4)

= 2пК (V1 -£2 ) ^2т (0,пп)

М N 2 М N , 2 V

Х Х ВИР2 к+1,г,2 т+1, п + х Х\Вк1Р2 к+1,1,2 т+1, п + Ак/Р2 к ,1,2 т+1, п ) = 0, (5)

где

PV,l,M,n = T\^FV(U, W ±П) w ±ПП) dU dW

4u 2 +E 2 w2 П = 2k, 2k +1; ¡и = 2m, 2m +1,

г t u\ 1 ггт Гx 1cosax cos by

F2m (ae,b) = 2 ííT2m I " I-. . . (6)

2ns n У s) ф (x,y)

< 1 rr^ Г x 1 sin ax cos by , ,

F2m+1 (as, b) = — fl T2m+11 - I , . ч dxdy. (7)

2ns n s д/s (x,y)

Здесь и далее введено обозначение f±a) = f(+a) + f(-a). Остальные компоненты матрицы системы (4), (5) во избежание громоздкости приведем при V = 1/2:

р}1мп = J J J J shnu ^Wj (u,a)- cthnu J cos us cosut exp (-ßX (ch t + ch s))x

oooo (8)

x Y.FV (ißs cht, ß±nl) ) (ißs chs, ß±nn)dudßdtds, P^ ß n = i M n.

В общем случае к элементам (8) следует добавить компоненты, порождаемые членами по степеням (1 - 2v) в ядре (2). Симметрия матрицы системы уравнений (4), (5) при любом значении v является следствием симметрии ядра уравнения (1). Отметим, что F0(a, b) = sin h/h, h = V a + b , а

остальные интегралы (6), (7) получаются отсюда при помощи дифференцирования.

На основе решения (3) для силы, приложенной к штампу, получим выражение

М N

Р = 55 д (г, г) = 2пе А 2 X Апп¥2п (0, пп). (9)

О т=0 п=0

В табл. 1 для задачи А при а = 90° (четвертьпространство) и V = е = 1/2 приведены результаты тестовых расчетов величин д0 = д(0, 0) и Р по формулам (3) и (9) при больших значениях параметра X, которые оказываются близки к соответствующим значениям, получаемым на основе регулярного асимптотического решения [1].

Таблица 1

Значения q0 и Р, рассчитанные по методу Ритца (числитель) и регулярному асимптотическому методу [1] (знаменатель)

X 1000 10 6 4

qo 0,906 0,927 0,852 0,872 0,820 0,838 0,783 0,800

P 2,93 2,91 2,76 2,74 2,65 2,63 2,53 2,49

В табл. 2 для задач А, Б и В даются расчетные значения величин д0 и Р при V = е = 1/2, разных углах а раствора клина и уменьшающихся значениях параметра X > е, что соответствует приближению эллипса контакта к ребру клина.

Таблица 2

Значения q0 и P для задач А, Б и В (метод Ритца)

а А Б В

120° 240° 120° 240° 120° 240°

X q0 P q0 P q0 P q0 P q0 P q0 P

2 0,863 2,79 0,916 2,96 0,866 2,80 0,936 3,03 0,992 3,20 0,963 3,11

1 0,831 2,67 0,925 2,99 0,836 2,69 0,968 3,13 1,11 3,52 1,03 3,3

0,8 0,823 2,62 0,929 3,01 0,829 2,64 0,986 3,18 1,20 3,72 1,08 3,44

При приближении штампа к ребру клина в задаче А значения д0 и Р уменьшаются при а < п и растут при а > п, а для задачи В - растут при любых фиксированных значениях а. Как известно из асимптотического решения [1], для задачи Б эти значения с уменьшением X (по крайней мере при X > 2) растут при а < 55° и а > 135° и убывают при других значениях а. Задача Б для клина угла раствора а эквивалентна симметричной контактной задаче о вдавливании двух одинаковых штампов в обе грани клина с

углом 2а. Например, при а = 90° задача Б соответствует задаче о двух штампах на упругом полупространстве. При сближении этих штампов (уменьшении X) вдавить их становится легче (значения д0 и Р убывают). Как видно из табл. 2, вдавить два штампа в клин с углом 240° (задача Б при а = 120°) легче, чем один штамп, когда другая грань клина не нагружена (задача А при а = 240°). При фиксированном значении X для задачи Б легче всего вдавить штамп при а = 90°. Это связано с экстремальным свойством функции-символа главной части ядра уравнения (1) в случае Б:

—W2 (и,а) = 0 при а = 900

йа

Метод Ритца применим при X > е (область контакта не касается ребра клина) и дает приемлемые результаты при не слишком малых углах а, когда не возникает проблем с вычислением интегралов в (8). Метод Ритца позволяет контролировать точность регулярного асимптотического решения [1] и произвести расчеты для заданной области контакта, более близкой к ребру клина, чем в [1].

Работа поддержана грантом РФФИ 04-01-00119-а.

Литература

1. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998.

2. Пожарский Д.А. //ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 151-159.

3. Бураков В.А., Пожарский Д.А. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 8. С. 3-7.

4. Сметанин Б.И., СобольБ.В. //ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 1030-1038.

Ростовская государственная академия

сельскохозяйственного машиностроения 12 мая 2005 г.