CC BY
11
УДК 539.3
О ПРЯМОУГОЛЬНОМ РАЗРЕЗЕ В ТРЕХМЕРНОМ УПРУГОМ КЛИНЕ
© 2004 г. В.А. Бураков, Д.А. Пожарский
Ritz’s variational method is applied to the three-dimensional problem for a crack (cut) in an elastic wedge. The normal stress intensity factor is calculated for three types of boundary conditions on the faces of the wedge.
Вариационный метод Ритца применяется к трехмерной задаче о прямоугольном разрезе (трещине нормального отрыва) вблизи ребра упругого клина. Сделан расчет коэффициента интенсивности нормальных напряжений (КИН) для трех типов граничных условий на гранях клина. Ранее получено асимптотическое решение аналогичной задачи об эллиптической трещине в клине [1]. Задачи о прямоугольной трещине исследовались для таких частных случаев клина, как упругое пространство [2] (метод Ритца, двойной ряд Фурье) и полупространство [3] (метод конечных элементов). Для трещины в клине в силу асимметрии задачи по радиальной координате использование двойного ряда Фурье нецелесообразно.
Рассмотрим трехмерный упругий клин {re [0,®]; <ре [-а, а]; ze[-co,co]} (г, (p. z цилиндрические координаты, ось z направлена по ребру клина). Материал клина имеет упругие характеристики G (модуль сдвига) и v (коэффициент Пуассона). Пусть в серединной полуплоскости клина <р = О имеется разрез (трещина), занимающий прямоугольную область Q: \г -
- с\ < a, \z\ < b, b > а, с > а. Трещина находится в раскрытом состоянии под действием нормальной нагрузки af = —q, ср = ± О, (г, z)eLl Г рани клина ср = ± а либо свободны от напряжений (задача а), либо находятся в условиях скользящей заделки (задача б), или жестко защемлены (задача в). Требуется найти форму раскрытия трещины и„ = /(г, z), <р= ± 0, (г, z)eQ, затем может быть
определен коэффициент интенсивности нормальных напряжений на контуре трещины. В силу симметрии задачи по ф достаточно изучить лишь область -а <<р <0. Граничные условия задач а, б, в схожи с условиями [1, 1.1] соответствующих задач для эллиптического разреза. Поставленные задачи сводятся к интегро-дифференциальному уравнению относительно функции j[r, z) [1]. После введения безразмерных обозначений по формулам r = br* + с,
х = Ьх* + с, z = bz*, у = by*, q = Gq* / (1 - v),j[r, z) = z*)q*, Я = db, e = alb,
2-2 2
Q, : r*e + z* < 1 указанное уравнение можно записать в виде (далее звездочки опускаем; для задачи а для простоты полагаем v = 0,5)
- Arz\ j ^dxdy + j j f(x,y)F(x + Á,y,r + Á,z)dxdy = 2я , (1)
Q R Q
где (г, z)eQ, Arz =^— + ^—; R2 = (х-rf + (у-zf ; дг dz
л оооо
F(x, y,r,z) = — ¡¡ sh(m)KIU (jk) x АГШ (flr)cos(/3y)cos(j3z)> 7Г 00
rx
W l(u,a)-c\h(m^-(i-2v)p2g(u,a)
dfidu .
_ „./ \ sh(2aM) + Msm(2a)
Для задачи a W{u,a)= / \ \ 9 9 \; g(u, a) = 0.
2(sh (оси)-и sin a)
„ „ ч ch(2au)-cos(2a) , ч sin2(2a)cth(aM)
Для задачи o W\u,a) = —j¿g{u,a) =—, '---—ч-.
sh[2au) + usm{2a) cb{2au)-cos{4a)
Для задачи в функции W= 11'3 ng = g3 определяются формулами [1, 1.4]. Безразмерный параметр А характеризует относительную удаленность области трещины от ребра клина. При Л —> да трещина бесконечно удаляется от ребра, F(x + /.. i’, г + /.. z) —> 0. и уравнение (1) переходит в известное уравнение задачи о трещине в бесконечном пространстве [2].
Для решения уравнения (1) применим вариационный метод Ритца, используя разложение
eos
(mz), (2)
где 5(г, г) = (1 - г2е~2)(1 - г2); 11т(х) - полиномы Чебышева второго рода.
В итоге придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Атп, Втп, т = О, 1 ,...,М,п = 0,1,..., N вида
М N
ivi i\ 2 М N л . , ч , ч
2 ТАк1РЫтп+-Т T(AklPllmn+BaP2mn) = {-\Y2eF2m{(),m,()\
к=01=0 71 к=01=0
2 м N
к=01=0
'Ы1 klmn
М N ( .
Л к=01=0
.)■
(3)
klmn + AaRkimn 1-0,
ф + с), ф-с)
в + с
в-с
оооо I-----------
рЫтп=(-]0 +т í \F2k{u,v,7tÍ)x F2m(u,v,7Tn}Ju2 + s2v2 dudv ;
00
оооо
Rklrnn =(-1 f+m \\F2k+\(u>v^l) xF2m+i{u,v,7in)>¡u2 +£2v2dudv ; 00
СОСОСОСО ( Г 1
Рытп = \\\\Мш)
0 0 0 0
х | ехр( ЛР1 ^ ;7Г /)ф1 х | ехр( Лр2 (ер2, А Л и)ф2 -
РсЫ Р\ Р2
-(1 -2у^(и,а)ехр[-рл(сЫ + с1ху)]/ (сЬ/сЬ«)^(¡весЫ,Р,ж1)х
хР*т(рес1м,/3, т) \ludpdsdt;
сосососо , Г 1
Я1к1тп = 111 { и2 [И7“1 {и, а) ~ сШ(ш)]х
0 0 0 0
х | ехр^Др))^+1(ф1 д^уАХ | 6Хр( ^2*т+1 (ф2, Д т)ёр2 -
(ЗсЫ Р\ (ЗсЫ Р 2
- (1 - 2у^(и,а)ехр[- рл(сЫ + с Ил)]/
1(£Ыс\\$)р2к+\{ресЫ,/3,л1) х р2т+\{Ре с1м, Р, к;
сосососо , Г 1
Рытп = —///|5Ь(ям)со5(м5)со5(м/)х { и2[IV_1(и,а)-сШ(ш)]х
0 0 0 0
,э2 '
• тпк1 ■
ф + С) | ф-с)
х | ехр( х | £^ф(_^£21р2*)й^2;дя.„)ф2_
/зш Л /?сь /’г
- (1 - 2^)§(м, а)ехр[- /й(сЬ/ + сЬл-)] /+1 (/?е сЫ,/3,тг1)х х (ре с1ь. Р, лп)^ис!рс!ь’Ж ; н1Ып = Р2
Р*т(АЛС) = (т + \)х1тф) в + с в_с
На основе решения (2) рассчитывалась величина открытия трещины /0 = /(0,0) и значения КИН К\ и К2 соответственно в точках г = г. г = 0 и г = -к. г = 0:
-^1,2 = 2 2 [Лил^2т (1) ^ Ртп^2т+\ О)] •
т=0 я=0
Тестовые расчеты сделаны при больших А, при этом в системе (3) удерживалось 18 неизвестных (М = N=2). Значения при X = да практически совпадают с соответствующими значениями, полученными [2] при помощи вариационного метода, основанного на двойном ряде Фурье для прямоугольной трещины в упругом пространстве с учетом разницы в безразмерных величинах [2, 6.6 и рис. 2.]. Например, при е = 0,5 и X = да, решив систему (3), получим
* z, z,
=2 X ЦАтп = 0,920 , что хорошо соответствует верхней кривой на [2,
т=0 и=0
рис. 2.].
Значения /о и КИН в задачах б (числитель) и в (знаменатель);
I - 2а = 135°; II - 2а = 180°; III - 2а = 225°
я /о Ki к2
I II III I II III I II III
1,2 0.4508 0,4250 0.4541 0,4427 0.4535 0,4483 0.4836 0,4413 0.4798 0,4739 0.4795 0,4762 0.4597 0,4122 0.4853 0,4555 0.4831 0,4724
1 0.4519 0,4119 0.4565 0,4378 0.4555 0,4466 0.4838 0,4429 0.4814 0,4706 0.4808 0,4751 0.4617 0,3930 0.4899 0,4444 0.4865 0,4689
0,8 0.4554 0,3869 0.4620 0,4278 0.4601 0,4430 0.4869 0,4174 0.4845 0,4644 0.4834 0,4729 0.4693 0,3331 0.5021 0,4180 0.4959 0,4605
В таблице для задач б ив даются расчетные значения величин /0, К\2 при разных углах раствора клина 2а, V = 0,3, е = 0,5 и малых значениях параметра X > е. Для задачи в при уменьшении угла 2а и А значения (, и /\’| 2 уменьшаются, при этом К\ >К2, т.е. трещина будет распространяться от ребра клина, поскольку жестко заделанные грани клина препятствуют ее раскрытию. Аналогичные расчеты для задачи а показывают, что при свободных от напряжений гранях клина, наоборот, трещина будет в первую очередь распространяться в сторону ребра: К2 > К\. С уменьшением угла клина и относительного расстояния X области £2 до ребра опасность распространения трещины в случае а возрастает: увеличиваются оба исследуемых значения КИН и/0. Для задачи б монотонной зависимости от 2а нет: значения /0 и К2 максимальны при 2а = 180°, что соответствует симметричной задаче о двух одинаковых трещинах в упругом пространстве. Эго связано с экстремальным свойством функции-
символа главной части ядра уравнения (1) в случае б: (и, а) = 0 при 2а
ёа
= 180°. Для задачи б при 2а >ак трещина будет распространяться в сторону ребра (К2 > К\). а при 2а <ах - от ребра (/(-> < К\). Значение а,,, при котором К1 = К2, зависит от А и других параметров. Например, при X = 1, V = 0,3, е = 0,5 имеем а,, = 154°. Аналогичный эффект наблюдается при асимптотическом решении задачи б, эффективном при больших X. Значение К\ в случае б достигает максимума при определенном значении угла клина, который сдвигается от 180° в меньшую сторону.
Решение (2) требует уточнения в окрестностях угловых точек области трещины, где, как известно [4], функция Дг, г) может быть представлена в виде
f{r,z) = B{¥)p^16. (4)
Здесь р, цг - полярные координаты с полюсом в угловой точке области Q. Величина В(цг) = fir, z) р 11X16 должна вычисляться вдоль лучей, выходящих из угловой точки под различными углами у/. Как показывают расчеты, существуют интервалы изменения р, в которых B(i//) принимает практически постоянные значения (отклонения не превышают 4 %) и изменяется только при переходе от одного луча к другому. Положение и размер таких зон зависят от X, других параметров задач, а также от самой угловой точки области Q. После вычисления В(у) рсшснис Дг. z) определяется в указанной зоне по асимптотической формуле (4) и продолжается вплоть до угловой точки.
Работа поддержана грантами РФФИ (02-01-00346-а; 04-01-00119-а).
Литература
1. Пожарский Д.А. //Изв. АН. МТТ. 1993. № 6. С. 105-112.
2. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. //ПММ. 1984. Т. 48. № 6. С. 1030-1038.
3. Abe H., Hayashi K., Enokida Y. //Trans. JSME. 1982. Vol. 48. №. 425. P. 29-34.
4. BazantZ.P. //Int. J. Eng. Sei. 1974. Vol. 12. №. 3. P. 221-243.
Ростовская государственная академия
сельскохозяйственного машиностроения 6 июля 2004 г.
