Плоские контактные задачи для составного упругого клина Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СОСТАВНОГО УПРУГОГО КЛИНА

© 2006 г В.М. Александров, Д.А. Пожарский

Integral équations for three plane contact problems for a composed elastic wedge are obtained. Closed solutions of the problems are found out for a semi-infinite punch with the help of the Wiener-Hopf method.

Получены интегральные уравнения трех плоских контактных задач для составного упругого клина. В случае полубесконечного штампа при помощи метода Винера-Хопфа найдены замкнутые решения с конечной энергией деформации. Обнаружен эффект нарушения контакта.

Пусть клин состоит из двух клиньев: QJ = {r е [0,œ]; ф е [0,а]} и = {r е [0,®]; ф е [a,ß]}, полностью сцепленных по лучу ф = а (г,ф -полярные координаты). Тело Qn (n = 1,2) имеет упругие характеристики Gn (модуль сдвига) и vn (коэффициент Пуассона). Под действием силы P, приложенной на расстоянии H от вершины клина, в грань ф = ß без трения и перекоса вдавливается штамп, подошва которого в полубесконечной области контакта r > b описывается функцией 5 - g(r), где 5 служит осадкой штампа. Функция g(r) должна обеспечивать конечность интеграла энергии \<5фифёг по области контакта. Грань ф = 0 свободна от напряжений (задача А) либо находится в условиях скользящей или жесткой заделки (задачи Б, В соответственно). При заданной функции g(r) требуется найти контактное давление сф = —q(r), ф = ß, r>b. Затем при помощи двух интегральных условий равновесия штампа могут быть определены P и H. При использовании интегрального преобразования Меллина поставленные задачи сводятся к следующему интегральному уравнению относительно q(r):

Jq(p) k^lnPj dp = n0g(r) (r > b, 0 = G2/(J-v2)), (J)

W4 7 L(u) , nBt ,, ч L(u) л

k(t) = J-cosutdu +--, L(u) = —-, B = limuL(u).

0 u 2 L2(u) u^0

В задаче А (e = G2/GJ, к = 3—4v2, kj = 3—4vJ, eJ = e— J, e2 = к + e, e3 = = KJe + J, e4 = KJe—K)

LJ(u) = AJsh2ßu + [A2 + A3 cos2a] sh2(ß-a)u + A4 sin2(ß-a)ch2au + +A6sh(2ß- 4a)u + A7 sin2ß + A8 sin2(ß - a) + AJ0 sin(2ß - 4a),

A11 = [e2e4 -(e1 + e3)e3 -e2(1 + 2u2)](1 + u2).

L2(u) = A1 ch2ßu + [A2 + A3 cos 2a] ch2(ß-a)u + +[A4ucos2(ß-a) + A5] ch2au + A6 ch(2ß-4a)u + A7ucos2ß +

+A8u cos 2(ß - a) + Ag cos 2a + A10u cos(2ß - 4a) + An, A1 = e2 e3 , A2 =-(e1 + e3)(e1 - e4) + 2e1e2(1 + u2), A3 =-2e1e2u2,

A4 = 2e1e3u, A5 = -e2e4 -e1e3(1 + 2u2), A = e1e4, (2)

A7 = (e1 + e3)(e2 - e1)u - e^u3, A8 = -(e1 + e3 )(e1 - e4)u + 2ej2 (1 + u 2 )u, Ag = [e1 (e1 + e3) - e2e4 + ej2 (1 + 2u2 )]u 2, A10 = -ej^u3, A

Для задачи Б

L1(u) = A1ch2ßu + A3u- sin2ash2(ß - a)u + A4 sin2(ß-a)sh2au --A6 ch(2ß - 4a)u - A7 u- cos2ß+ A10u - cos(2ß-4a), L2(u) = A1sh2ßu + A3u-j sin2ach2(ß-a)u + [A4u cos2(ß-a) + (3) +A5]sh2au -A6sh(2ß-4a)u + A7 sin2ß-A10 sin(2ß-4a) + A12 sin2a, A12 = (e2 -e1)(e1 -e4)u + 2ej2(1 + u2)u.

Для задачи В

L (u) = кA1sh2ßu + [A13 - A3 cos2a]sh2(ß - a)u + kjA4 sin2(ß - a) x xch2au + K A6 sh(2ß- 4a)u - A7 sin 2ß - A10 sin(2ß- 4a) + A14 sin 2(ß - a), L2(u) = кA1ch2ßu + [A13 - A3 cos2a]ch2(ß-a)u + +K [A4u cos 2(ß - a) + A5 ]ch2au + kj A6 ch(2ß- 4a)u - A7u cos 2ß --A10u cos(2ß - 4a) + A14u cos 2(ß - a) + A15 cos 2a + A16,

A13 = -e4 (к +1) + e1 [кк1 (kj +1) - 2e2 (kJ2 + u 2)], (4)

A14 = -(к + 1)[e(2KJ - к -1) - к + 1]u - 2ef (kJ2 + u2 )u, AJ5 = -[e2(K-Kj) + ej(e-kkj) + ej2(1 + 2u 2)] u 2, Aj6 = -(kj + 1)[KKje + 0,5kj (k2 -1) - 0,5(к2 +1) - (к1 - eK- ej )u2 -

-Kjej(1 + 2 u 2)] + [ e2 + e2(1 + 2 u 2)](kj2 + u 2) , B = 0.

При e = 1, к = Ki (1)-(4) переходят в известные формулы для однородного клина [1]. Для определенности далее положим g(r) = R-(b/r)£. При £ > 0 интеграл энергии принимает конечное значение. В новых обозначениях t = ln(r/b), т = ln(p/b), y(t) = q(r)r/(0R) (1) записывается в виде

ад

JV(r) k(т-1) dT = n exp(-e t) (t > 0). (5)

Уравнение (5) решается в замкнутой форме при помощи метода Вине-ра-Хопфа [2]. В задачах А и Б, где B Ф 0, следует продифференцировать обе части уравнения (5) по t, чтобы избавиться от бесконечной постоянной в его ядре. Анализ решения показывает, что q(r)—r~(n + (r^-да), где ix\ - тот нуль L(u), для которого число Re п положительно и наименее удалено от нуля. Для простоты предположим, что Im п = 0, т.е. контакт не нарушается. С целью привести замкнутое решение к удобному для практического применения виду используем при вещественных u аппроксимацию L(u)~L0(u) в задачах А, Б и L(u) ~ 1/L0(u) в задаче В, где L0(u) = (u2 + С2) х х (u2 + E2)/[u(u2 + D2)'/2(u2 + F2)]. С учетом поведения решения в бесконечности примем С = n, E > С, D > С в задачах А, Б и F = n, D > F в задаче В. При п > 1 плечо H имеет конечное значение. В итоге для задач А и Б получим (erf (х) - интеграл вероятности)

yy(t) = SB0 [(nt)-1/2 exp(-Dt) + BZ+ (С, t) + B2Z+ (г, t) + B3Z+ (E, t)], B0 =4d + s (F + г)/[(С + e)(E + e)], Bl = С (С - F )/[(С -е)(С - E)], B2 =e(e- F)/[(e- С)(e- E)], B3 = E(E - F)/[(E - С)(E -e)], (С, t) = (D - С)±1/2 exp(-Q) erfyj(D - С)t. Для задачи В найдем

yy(t) = B0-1 [(nt)-1/2 exp(-Dt) + B4Z- (e, t) + B5Z- (F, t)], B4 = (С - e)(E - e) /(F - e), B5 = (С - F)(E - F) /(e - F).

(6)

(7)

Заметим, что для решения (6) | ц/^) Ж = 0, следовательно, в задачах А

о

и Б имеет место нарушение контакта.

Безразмерную силу Р0 = Р/(9Л), ее плечо Н0 = Н/Ь > 1 определим по формулам

Ро = Ц) Л, Ро Но = Щ) ехр(/) Ж, (8)

где I - область, где контакт не нарушен (у(/) > 0).

Для задачи В без нарушения контакта и п > 1 на основе решения (7)

Р=-иГ1++, РНП = —^1 +в ■ ^ 1

0 b04DI Е FУ 00 B04D-1 Г'Е-1' F-1, В качестве примера возьмем железо для области ßj и цинк для (e = 0,472; к = 1,92; к = 1,88) при ß = 90°, а = 45°, е = 2. В таблице для трех задач даны параметры аппроксимаций и их погрешность % (в %), значения силы и ее плеча. При этом для задачи А область контакта l = [0;0,371] х х U[7,970;®), для задачи Б - l = [0;0,424], для задачи В - l = [0;1,022]. Как видно из таблицы, легче всего вдавить штамп в задаче А (меньше P0). Работа поддержана грантами РФФИ 05-01-00002, 06-01-00022 и грантом «Михаил Ломоносов» Минобрнауки и DAAD.

ад

Величины в формулах (6)-(8) для трех задач

C D E F Ч P0 H0

А 0,831 1,840 0,841 0,680 3 0,530 да

Б 0,767 1,912 3,717 3,600 2 0,597 1,082

В 2,733 3,806 0,870 1,166 1 0,973 1,174

Литература

1. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М., 1998.

2. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М., 1962.

Институт проблем механики РАН, г. Москва, Ростовская-на-Дону государственная академия

сельскохозяйственного машиностроения 16 мая 2006 г.