Расчет магнитной девиации инклинометра в условиях буровой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

В. В. Судаков. - Л., 1980. - 168 с.

6. Савицкий Н. В. Основы расчета надежности железобетонных конструкций в агрессивных средах: Дисс... д-ра техн. наук: 05.23.01, 05.23.05. / Н. В. Савицкий, 1994. - 400 с.

7. Тищенко Е. А. Конструирование системы реконструкций жилых зданий методом надстройки // Дис...к. т. н. : Е. А. Тищенко, 1997. - 236 с.

8. Швец Н. А. Надежность перекрытий из мелкоразмерных железобетонных элементов по прочности сечений, нормальних к продольной оси // Дисс.к. т. н. : Н. А. Швец , 2002. -198 с.

9. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции. - М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1985. - 85 с.

УДК681.586.7

РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ДЕВИАЦИИ ИНКЛИНОМЕТРА В УСЛОВИЯХ БУРОВОЙ

И. В. Рыжков, к. т. н., доцент, Г. Н. Ковшов, д. т. н., проф.

Ключевые слова: инклинометр, датчики ориентации, магнитная девиация, погрешность измерения, ряды Фурье, метод наименьших квадратов

Постановка проблемы. Применение датчиков ориентации (ДО) в современных информационно-измерительных системах предполагает использование в них первичных преобразователей различного вида: оптических, гироскопических, магнитных, гравитационных, жидкостных и др.

Выбор конкретного вида первичных преобразователей определяется типом объекта и условиями эксплуатации датчиков.

Одним из наиболее сложных режимов использования ДО является контроль ориентации скважины в процессе бурения (высокая температура, вибрации, запыленность, ограниченные размеры, отсутствие видимости объекта и др.) Для таких задач часто применяют инклинометры на основе трех жестко закрепленных взаимноортогональных феррозондов и трех жестко закрепленных взаимноортогональных акселерометров. При этом первые способны определить

ориентацию объекта относительно вектора T напряженности магнитного поля Земли, а вторые - относительно вектора g свободного падения силы тяжести.

Однако процесс бурения связан с использованием большого количества металлических элементов (бурильный инструмент, обсадные трубы и др.) из, как правило, магнитных материалов (сталь, чугун). Последние становятся источником магнитных помех для инклинометра, вызывая магнитные аномалии и соответствующую девиацию измерения ориентации.

Анализ публикаций. В некоторых случаях подобные вопросы решаются путем определения основных коэффициентов магнитной аномалии, создаваемых самим объектом на этапе его создания и изготовления. А именно, путем его вращения на равные углы поворота, последующим вычислением погрешностей измерения и дальнейшего их учета при обработке результатов измерения.

Известен следующий способ компенсации магнитной девиации, который применяют в инклинометрии [2]. Инклинометр в лабораторных условиях устанавливают на специальный поворотный стенд, способный задавать основные углы поворота (азимут, зенитный и визирный углы) с достаточной точностью. После чего последовательно для каждого из углов с шагом в 300 задают образцовые углы поворота в диапазоне 0...2п (3600). Показания инклинометра для каждой комбинации всех трех углов записывают в специальный файл конфигурации. В дальнейшем полученные данные используют для аппроксимации магнитной девиации конкретного инклинометра. При этом азимутаппроксимируют непрерывным гармоничным рядом Фурье, а зенитный угол - релейной или ступенчатой зависимостью.

Основным недостатком данного методы является то, что в реальных условиях буровой его применить невозможно ввиду сложности задания образцовых углов поворота с необходимой точностью. Так как вследствие большой глубины скважины угол поворота на поверхности может значительно отличаться от угла поворота самого инклинометра. Таким образом, данный

86

Вісник ПДАБА

способ позволяет компенсировать лишь магнитную девиацию, возникающую вследствие конструкции самого инклинометра.

Интересным является метод определения магнитной девиации, применяемый в навигации [4]. Когдасамолет или корабль направляют по заданному образцовому курсу и снимают показания приборов, которые в дальнейшем используются для аппроксимации магнитной девиации рядами Фурье третьего порядка.

Недостатком данного способа является то, что он применим лишь для крупногабаритных объектов, которые могут быть легко сориентированы в заданном направлении. Направить же траекторию скважины по образцовым углам невозможно, а сам инклинометр можно сориентировать с необходимой точностью лишь в лабораторных условиях.

Цель статьи.Постановка задачи. Таким образом для процесса бурения данный способ не может быть применен, так как для компенсации технологических магнитных аномалий необходимо проводить процедуру их определения непосредственно на месте бурения, а для компенсации влияния обсадных труб - даже несколько раз для одной и той же скважины и для одного и того же инклинометра. Следовательно, необходимо разработать технологию определения параметров магнитной девиации инклинометра непосредственно в условиях буровой. Это возможно осуществить путем вращения бурового инструмента с закрепленным инклинометром на заданные углы в диапазоне 0°...360° С с регистрацией его показаний и последующим вычислением параметров магнитной девиации.

При этом особые сложности вызывает тот факт, что технически точно выставить инклинометр на заданный угол не представляется возможным, так как глубина скважины может составлять несколько километров и вращение бурового инструмента не поверхности Земли может не соответствовать реальному повороту инклинометра. При этом вращается вся буровая колонна, а ее вращение допускается лишь в одном направлении, которое совпадает с технологическим. Данный режим не позволяет точно устанавливать инклинометр по заданным углам поворота с постоянным шагом. В реальности вращение происходит в диапазоне 0о.360о, но с неодинаковым шагом. То есть, при заданном шаге вращения, к примеру, 30°, реально один из поворотов может оказаться равным 28,5°, а следующий 31,2° и т. п. Вернуть буровую колонну даже на незначительный угол поворота в обратном направлении не представляется возможным. В результате складывается ситуация когда вращение производится на неодинаковые, хотя и вполне известные, углы.

Таким образом, возникает задача разработать математический метод определения параметров магнитной девиации инклинометра в случае использования неодинаковых углов поворота объекта в процессе его юстировки.

Изложение основного материала. Поставленная задача решается путем разложения функции девиционной погрешности в ряд Фурье и ее последующую аппроксимацию тригонометрическим полиномом второго порядка, коэффициенты которого определяются для неодинаковых частей интервала 0... 2п.

Девиацию в этом случае компенсируют согласно формуле:

а’ = а’ + (-5(а')),

где а' - измеренный угол азимута, полученный по показаниям первичных преобразователей инклинометра;

8(а') - магнитная погрешность, полученная из тригонометрического полинома второго

порядка с коэффициентами, вычисленными для неодинаковых частей интервала 0...2п.

Для определения и последующей аппроксимации магнитной девиации буровой инструмент и инклинометром вращают непосредственно на буровой на заданные углы поворота не стараясь обеспечить идеальную точность поворота, а лишь фиксируя реальный угол поворота и показания инклинометра. При этом обратное вращение бурового инструмента не производится. Соответствующие повороты и замеры производят в диапазоне 0...2п.

Магнитная девиация 5 вычисляется как разница между истинным углом азимута а и углом азимута а' полученным по показаниям инклинометра:

5(а') = а-а’ (1)

Далее аппроксимируем магнитную девиацию тригонометрическим полиномом второго порядка для непрерывной периодической функции с периодом 2п[1]:

5(а’) = A + Bsin а’ + Ccos а’ + Б8Іи2а’ + Есов2а’ (2)

87

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

Для удобства введем следующие обозначения ~2 = A, a1 = C, a2 = E, b1 = B, b2 = Би найдем такие значения данных величин, чтобы функция (2) отражала реальные значения экспериментальных данных в диапазоне 0...2п для i = 0,1,2...N.

Для вычисления искомых коэффициентов воспользуемся методом наименьших квадратов [3]. Для этого составим функцию:

Ф(ао, a!, bi, a2, b2)= ^[ O- + a1 cos a' + b sin a' + a2 cos2a' + b2 sin 2a' - 5i]2

(3)

Тогда искомые коэффициенты согласно методу наименьших квадратов определяются путем приравнивания нулю соответствующих частных производных уравнения (3):

дФ дФ дФ дФ дФ

— = 0,— = 0,— = 0,— = 0,— = 0

da0 da1 db1 da2 db2

В развернутом виде уравнение (4) имеет вид:

N

^[ 0° + a1 cos а' + b1 sin а' + a2 cos2a' + b2 sin2a'-5i] = 0

i=0 N

^[ O0 + a1 cos a' + b1 sin a' + a2 cos2a' + b2 sin2a'-5i]cos a' = 0

i=0

N

^[ -Of + a1 cos a' + b1 sin a' + a2 cos2a' + b2 sin2a'-5i]sin a' = 0

i=0

N

^[ a- + a1 cos a' + b1 sin a' + a2 cos2a' + b2 sin2a'-8Jcos2a' = 0

i=0

N

^[ O0 + a1 cos a' + b1 sin a' + a2 cos2a' + b2 sin2a'-5i]sin2a' = 0

i=0

Для решения данной системы в матричном виде введем следующие обозначения:

NN N N

A1 =^ cos a ', A2 =^ sin a ', A3 =^ cos2a ', A4 =^ sin2a ',

=0

N

A5 = ^ cos2 a '

A6 = ^ sin a' cos a', A7 = ^ cos2a' cos o'

(4)

(5)

A8 =^ sin 2a'cos o', A9 =^ sin2 o', A10 =^ sin a'cos2a', (6)

A11 = ^ sin 2a' sin a', A12 = ^ cos2 a', A13 = ^ sin 2a' cos2a', A14 = ^ sin2 2a',

1=0

N

i=0

i=0

B1 =2«i, B2 =^8i

cos O'

i=0

i=0

B3 =^5isin o', B4 = ^5icos2a ', B5 =^5isin2a '.

i=0 i=0 i=0

Данные коэффициенты можно использовать лишь для одинаковых интервалов поворота инклинометра, то есть в лабораторных условиях. Однако, как следует из вышесказанного, это неприемлемо для условий реальной буровой. Тогда для неодинаковых углов поворота инклинометра коэффициенты (6) будут иметь несколько иной вид. А именно:

NN N N

A1 =^ cos a', A2 =^ sin a', A3 =^ cos2a', A4 =^ sin2a',

i=0

i=0

i=0

* N +1 1 . . 1 . N

A5 =-----+ — A3, A6 =— A4, A7 = > cos2a, cos a,,

5 2 2 3 6 2 4 7 '

n n +11

A8 =^sin2a'cosa', A9 =— ----—A3, A10 = A8 -A2, (7)

2 2

0

88

Вісник ПДАБА

Ajj = А, - A7 A12 = Z cos2 a',

A14 = N +1 — A12,

і=0

A13 Z sin 2a' cos2ai,

і=0

B, =Z81. B2 = Z8,

cos a2

B3 =Z5isina', B4 =ZSicos2a', B5 =ZSisin2a'.

і=0 i=0 i=0

С учетом (7) выражение (5) может быть записано в следующем виде:

N +1

-----а0 + А,а, + A2b, + Аза2 + A4b2 = B,

2

А (N +1 А

2

'а0 +

22

Аі

2

+ “Т^ |а1 + “1^1 + А7а2 + А8Ь 2 = B2

А,

і—2а0 +——а, + 2 0 2 1

А (N +1 А

|Ь1 + (А8 А2)а2 + (А1 А7 )b 2 B3

22

А

-^1а0 + А7а1 + (А8 — А2 )b 1 + А12а2 + A13b2 = B4

А

2

—4 а0 + А8а1 + (А1 — А7 )b1 + А13а2 + (N + 1 — А12 )b2 = B5

(8)

Выражение (8) можно записать в матричном виде как:

AX =V, (9)

где

А =

N +1 А, А2 А3 А4

2

А, N +1 + А3 А4 А7 А8

2 2 2

a2 А4 N +1 — А3 А8 — А2 А1 — А7

2 2 2

А3 2 А7 А8 — А2 А12 А,3

А± 2 А8 А1 — А7 А,3 N +1 — А12

. (10)

Из выражения (9) ясно, что матрицу Xискомых коэффициентов магнитной девиации можно найти из уравнения:

X=A-V, (11)

где А-1 - матрица обратная матрице А.

Таким образом, все необходимые элементы матрицы Анаходятся из выражений (7) по результатам соответствующих измерений при вращении бурового инструмента с жестко закрепленным инклинометром вокруг собственной оси непосредственно на буровой на углы поворота с неодинаковыми интервалами в диапазоне 0.. .2п. При этом согласно выражению (11) находим искомые значения коэффициентов (ао, а,, b,, а2, b2), которые в свою очередь, будучи подставленные в выражение (2), позволяют найти 5(a') и в конечном итоге вычислить истинное значение азимута из выражения (2) по формуле:

a = a' — S(a')

Возможно также магнитную девиацию, математически описываемую тригонометрическим полиномом второго порядка (2), представить в виде ряда Фурье, коэффициенты которого вычисляются в виде интегралов [3]:

§=f(a)=2а0

ад

+ Z (ап cosna + bn sinna),

n=1

(12)

89

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

1 ZJt

an = If(a)cosnada, n = 0,1,2,...да,

П 0

1 2п

bn = — |f(a)sinnada, n = 1,2,...да

(13)

Если функция разлагается в ряд Фурье, то хорошее ее приближение достигается и при конечной сумме членов ряда Фурье. Соответственно выражение (2) магнитной девиации, принятое в навигации, является многочленом Фурье второго порядка:

5 = f(a) = ~ + ^(an cosna + bn sinna), k = 2,

(14)

коэффициенты которого могут быть вычислены по формулам:

1 2 п 1 2 п

an = — |5cosnada, n = 0,1,2. bn = — |5sinnada, n = 1,2. (15)

пі пі

0 ^ 0 Таким образом, коэффициенты девиации из уравнения (2) выражаются через коэффициенты тригонометрического многочлена Фурье таким образом:

A = ^0, B=bb C=ab D=bb E=a2, (16)

2

1 2п 1 2п 1 2п

гдеa0 = — |5(a)da, a1 = — |5(a)cosada, a2 = — |5(a)cos2ada, а „ а 0 Jl 0

1 2п 1 2п

bj = — |5(a)sinada, b2 = — |5(a)sin2ada.

ТГ j ТГ j

п

п

(17)

0 0 Обычно диапазон измерения 0...2л делят на N равных частей, а для приближенного вычисления интегралов (17) применяют формулы прямоугольников, трапеций или Симпсона. Для вычисления интегралов, используя формулу прямоугольников, интервал (0,2п)

. 2п

разделим на N равных частей с помощью точек a0 = 0, a1, a2,.....aN-1, aN = 2п ai = i^-j-,

л 2п

Aa = —, тогда многочлен Фурье определяется:

N,

2 N2 2 г

an ^T7 |5icosndi, bn =— fosmndi, n = 0,1,2. (18)

N i=0 N i=0

Для формулы трапеций разложение сигналов с феррозондов, включая пятую гармонику, таково:

N-1

a0 = ^ [f(a 0 ) + f(a1) + ... + f(a N-1)!

N 2

an = — n N

2п

4п

f (a 0) + f (a1) cos— + f (a 2) cos— +... + f (a N-1) cos

2(N -1)

N

п

bn = N

. 2п

. 4п

. 2(N -1)

f(a1)csin — + f(a 2)sin~ + .. + f(a N-1)sin

N N N

п

(19)

n = 1,2,3,4,5

Как мы уже выяснили, в процессе бурения точно задать равные части интервала 0...2я, разворачивая всю колонну труб, практически невозможно. Поэтому запишем для приближенного вычисления интегралов (17) в случае неодинаковых частей интервала математические выражения, используя метод трапеций:

1 N-1 Г 1 , і

an =— Z[5i+1 cosnai+1 +5i cosnaiJ(ai+1 -ai),n = 0,1,2,3,...

2п i=0

90

Вісник ПДАБА

1 N-1 г , , і

bn = —X|5I+iSinnaM +8;sinnai J(ai+1 -ai),n = 1,2,3,... (20)

2n i=o

И девиация в случае учета третьей гармоники n=1,2,3 (шестерной составляющей девиации) запишется в виде тригонометрического полинома Фурье третьего порядка:

5(a) = + a1 cos a' + b1 sin a' + a2 cos2a' + b2 sin2a' + a3 cos3a' + b3 sin3a'. (21)

В формулах (20) 5 i = a i - a i.

Если выражение девиации ограничивается полиномом второго порядка n = 1,1,2, то в выражении (21) а3 = b3 = 0.

Выводы. В связи с технологическими ограничениями, связанными с направлением вращения буровой колонны, для определения и последующего учета магнитной девиации инклинометра непосредственно на буровой применен специальный метод определения параметров искомой магнитной девиации.

Данный метод отличается, прежде всего, тем, что позволяет проводить повороты буровой колонны на неодинаковые интервалы. При этом углы этих поворотов четко фиксируются и вместе с показаниями инклинометра вносятся базу измерений.

Предложен математический алгоритм обработки полученной информации на основе тригонометрических рядов Фурье и метода наименьших квадратов, с использованием неодинаковых интервалов.

Предложенный алгоритм определения магнитной девиации существенно упрощает данный процесс и значительно расширяет возможности его применения непосредственно на буровой.

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Браславский Д. А. Авиационные приборы / Д. А. Браславский, С. С. Логунов, Д. С. Пельпор. - М. : Машиностроение. - 1964. - 740 с.

2. Пат. 2186966 Российская федерация Е21В 47/02, G01C 9/00. Способ определения и компенсации магнитной девиации инклинометра / Сидоров А. А.; Харбаш В. Я.; Шурыгин С. В.; заявитель и патентообладатель Общество с ограниченной ответственностью предприятие «АРКОН». - № 2000122591/03; заявл. 28.08.2000; опубл. 10.08.2002, Бюл. № 16.

3. Толстов Г. П. Ряды Фурье. Уч.-изд. л. - М.: Государственное издательство физикоматематической литературы. - 1960. - 390 с.

4. Школин Д. А. Расчет и компенсация магнитной девиации / Школин Д. А., Харбаш В. Я. // Успехи современного естествознания. - 2005. - № 3. - С. 62 - 63.

91