CC BY
16
МЕХАНИКА
УДК 539.3
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, НАГРУЖЕННОГО ПОЛОСОВЫМ ШТАМПОМ НА ГРАНИЦЕ
© 2012 г А.В. Белоконь1, А.И. Болгова2
1Южный федеральный университет, ул. Б. Садовая, 105/42, г. Ростов-на-Дону, 344006, [email protected]. гы
2Южно-Российский государственный технический университет (НПИ), ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская область, 346428, bolgova@hotbox. гы
'Southern Federal University, B. Sadovaya St., 105/42, Rostov-on-Don, 344006, [email protected]
2South Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute), Prosvescheniya St., 132, Novocherkassk, 346428, bolgova@hotbox. ru
Рассмотрена задача о вдавливании полосового жесткого штампа в границу упругого анизотропного полупространства в системе координат, повернутой относительно главных кристаллических осей. Определена зависимость контактных давлений от угла, на который повернут полосовой штамп, и произведено сравнение с задачей, когда угол поворота равен нулю. Последняя задача является плоской и зависит от двух компонент перемещения, в то время как задача в повернутой относительно главных кристаллических осей системе координат содержит все три отличные от нуля компоненты перемещений. Несмотря на это, контактное давление без учета трения между штампом и полупространством не зависит от угла поворота, а с учетом трения возникает слабая зависимость от него.
Ключевые слова: анизотропное полупространство, полосовой штамп, интегральное уравнение, контактное давление.
The problem of the stripe hard stamp pressing in the boundary of elastic anisotropic half-space in a coordinate system turned relative to the principal crystalline axes was considered. The dependence of the contact pressure on the angle of the stripe stamp turn was determined. The comparison with the problem when the rotation angle is zero was made. The last problem is two-dimensional and depends on two components of translation vector. At the same time the problem in a coordinate system turned relative to the principal crystalline axes has three different from zero components of translation vector. However, the contact pressure without friction between stamp and half-space doesn't depend on the rotation angle, but taking into account the friction the weak dependence arises.
Keywords: anisotropic half-space, stripe stamp, integral equation, contact pressure.
Рассматривается упругое анизотропное полупространство в системе координат, повернутой относительно главных кристаллических осей, на границе которого вдавливается полосовой жесткий штамп. Изучен случай, когда на границу действуют нормальные и касательные напряжения, не зависящие от координаты, совпадающей с полосой. Это позволило построить интегральное уравнение, определить контактные давления в зависимости от угла, на который повернут полосовой штамп, и произвести сравнение с задачей, когда угол поворота равен нулю. Последняя задача является плоской и зависит от двух компонент перемещения, в то время как задача в повернутой относительно главных кристаллических осей системе координат содержит все 3 отличные от нуля компоненты перемещений.
1. Постановка задачи. Пусть ортотропная среда занимает область П={|х1|<да, |х2|<®, -®<х3<0}, и в главных кристаллических осях матрица упругих коэффициентов представима в виде [1]
c11 c12 c13 0 0 0
c21 c22 c23 0 0 0
c31 c32 c33 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c55 0
0 0 0 0 0 c66
Осуществим поворот системы координат {х} на угол в вокруг оси х3, тогда в новой системе координат {у} матрица упругих постоянных принимает вид
«11 «12 «13 0 0 «16
a21 «22 «23 0 0 «26
«31 «32 «33 0 0 «36
0 0 0 «44 «45 0
0 0 0 «54 «55 0
«61 «62 «63 0 0 «66
причем связь между коэффициентами матриц упругих постоянных в новой и старой системах координат дается формулами:
1 = «ц(9) = cncos4 9 + 2cn cos2 9sin2 9 +
üy
+ 4c66 cos2 9sin2 9 + c22 sin4 9 , a22 = a22 (9) = ü1l[9 + "^]'
a12 = a12 (9) = 1 cn sin2 29 + c12 (sin4 9 + cos4 9)-
2 1 2
- c66sin 29 + — C22 sin 29 = 021,
ü13 = ü13 (9) = C13 cos2 9 + C23 sin2 9 = Ü31, ü33 = a33 (9) = c33 ,
Ö45 = Ü45(9) = (c44 — c55)sin9cos 9 = 054 a16 = a16 (9) = 1 c66 sin49 +1 c12 sin49 —
— 1 (c11 cos2 9 — c22 sin2 9)sin 29 = a61,
4
2 (c
Ü23 = Ü23(9) = c13 sin2 9 + c23 cos2 9 = Ü32 a55 = a55 (9)= ü44[0 + f]'
a66 = a66 (9) = c66 o°s2 29 — — 1 [c12 — 1 c11 — 1 c22 ] sin2 29'
a26 = a26 (9) = 1 (c22 cos 2 9 — c11 sin2 9)sin 29 —
— 1 (c12 + 2c66 )sin49 =
4
J62,
«36 = «36(9) = (c23 - c13)cos 9 sin9 = «63 , «44 = «44(9) = c55 sin2 9 + C44 cos2 9 .
Таким образом, напряжения через деформации в новой системе координат {y} определяются формулами:
<jl=au £1+ a12 s2+ a13 s3+2 a16 s6, o2=
=Ü2! Si+ Ü22 £2+ Ü23 S3+2 Ü26 £6,
z3=a13 s1+ a23 s2+ a33 s3+2 a36 s6, ct4=2 a44 s4+2 a54 s5, (1) ^=2 a45 s4+2 a55 s5, z6=a16 s1+ a26 s2+ a36 s3+2 a66 s6. В (1) принято
Z= an, z2= CT22, z3= CT33, ст4= CT23, z5= CT13, ст6= CT12,
1 du s = - 1
s3 =
Ф1
du3
Ф3
s2 =
дЫ2_
Ф2
s4 = 1 2
s5 = I 2
du ÖM3 —1 + —3
^3 %
d"2 + U
^ 1 ( s6 = 1 2
Л
/
/
v
du1 du-2
dy2 дУ1
\
(2)
Введем безразмерные величины:
У1
У2
У3
X = ¿i. , y = , z = ^ , Ъ =_0_
a a a J ü55
k CT
s =
k
a = Uk
-, ak = — •
ü55 a
(3)
Уравнения равновесия в этом случае примут вид
skk = 0, k=1, 2, 3.
(4)
Подставим в (4) выражения (1), (2) и, учитывая (3), применим к полученному преобразование Фурье по координатам х и у, найдем
(
22 l
д
(
*
ü1 +
¿12 + Ъ45
д
2 l
dz 2
* , da3
a2 + d13~^ = 0 >
dz
2 l
d12 + Ъ45 2"
dz 2
*
a* +
2 l
и d а 22 + Ъ44-7
dz 2
da* ,-4 a2 + а23^3 = 0 ,(5)
dz
- * ~ * (
, da , dao ¿13 —L + а 23 —2 +
d
2 l
a33 + Ъ33-7
dz 2
a* = 0 •
йг йг
^ да -Здесь а* = | | а* (х, у, г )егух+1ауёхёу,
—да—да
ё11 = —(ь11У2 +Ъ66 «2 + 2Ъ16ау) ё12 = —[(ь12 + Ъ66 )аУ + Ъ16 У2 + Ь26«2 ]
ё13 = —г(Ъ13У + Ъ36а + Ъ45а + У) ,
ё22 = —(ъ66У 2 + Ъ22«2 + 2Ъ26аУ),
ё23 = —г[У(Ъ36 + Ъ45 ) + а(Ъ23 + Ъ44 )] , ё33 = —(у2 + Ъ44а2 + 2Ъ45ау).
2. Прежде чем переходить к контактной задаче, предположим вначале, что на границу полупространства действует полосовая нагрузка
,3 (х, у,0)= ^ —,1х* 1,1УКда
(6)
a55
0,| X |> 1,| y |<ю,
s4 (x, y,0) = 0 , |x |<да, |y |<да,
(7)
s IX.
(x, У,0) = -
т( X)
| X |< 1,| У
a55
0,| X |> 1,| У |<ю.
Применим преобразование Фурье к граничным условиям (7). В этом случае получим
да да(х, у№х+1ау<кф=^^^ т(у),
—да—да а55
i ¡ s4 (x, у,0)^х+1аУахаУ = 0 ,
(8)
—да —да да да
„5
(х, y,0)^X+'аУахау = ^^ s (у),
1 I (х.
—да—да а55
где Т(у)= 1 /{х^ёх, Б(у)= }т(х)егухаХ. —1 —1 В силу линейности рассматриваемой задачи преобразованные по Фурье перемещения ак(х,у, ¿) с учетом (7), (8) можно представить в виде
а* (у, а, г) = 2л§(а) [ъ| (у, а, г)Т (у) + ё* (у, а, (у) а55
откуда ak (х, y, z) = — J —^-Щ- (у,0, z)e гухау +
± да —(у),
2Л —да a55
+Т- да S(y)a* (у,0, zУ'ухау •
2Л —да a55
Из (9) следует, что
a
ак(х, у, г)= ак(х, г), (10)
но тогда в системе дифференциальных уравнений (5) и в формулах (6) следует положить а=0, а под ак сле-
дует понимать
«к = i «к (x,z )eiYxdx.
Далее будем искать решение системы (5) в виде функции, убывающей при г^-®:
«к* = Ake^Y z, z < 0, Re 1 > 0.
(11)
Подставляя (11) в (5) и учитывая, что а=0 в (6), получим однородную систему Ми , „2), , .Л(_„
y2 (- Ъп + ¿2 ^ +y2 (- Ьб + b45^2 A - iy\y\(bl3 + 1)A3 = 0,
A + Y2 (- Ъбб + Ъ44^2 A
Y2 (-\б + Ъ45^2
- Н#23 + Ъ45 )^A3 = 0,
- iY|Y|(Ъ13 + 1M - iY|Y|(Ъ23 + Ъ45 )A2
+ Y2 (-1 + Ъ33£2 )A3 = 0,
(12)
'33*
которая имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю. Вычислим его.
(¿44 - ¿2 к, +
"45 Ъ33
Ъ441 -1 -Ъ33Ъ11 + (1 + Ъ13)
+ Ъ45 (- 2(^45 + Ъ36 ^ + Ъ13 )+ Ъ45 + 2Ъ33Ъ16 I-
11 +(1 + Ъ13)2 )
+
- Ъ33Ъ66 +(Ъ^ + Ъ
(ъ45 + Ъ36 J2
+ Z2 [(Ъ66 + Ъ44Ъ11 - 2Ъ45Ъ!6 ) +
A1k =
А^ к, Y) ' A2k А^ к, Y)' Ах = (?2 - Ъп ^2 - Ъбб )-(Ъ45^2 - Ъцб Ц2, А1к = iY3 |y|L1kA3k , А2к = iy3 |y|L2kA3k ,
Lk =[(f + Ъ13 W2 - Ъбб )-
-(Ъ45 + Ъ36- Ъ16| к , L2k = [(ъ45 + Ъ36Ш - Ъ11 А
(1 + Ъ13-Ъ16)Jк .
(14)
-(1 +
¿13 Лк45* к - ¿16/Р к • (15)
Таким образом, преобразованные по Фурье перемещения с учетом (13)-(15) принимают вид
„ * _ ilY v L «1 =— Z
Y к=1 А1(^ к )
* = jM 3 Ь2к
2 Y к=1 А1(^ к )
* к И z
к\Y z
3
«3 = Z A3^
(16)
к=1
Воспользовавшись формулами (1), (2), (10) и граничными условиями (7), получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов
А3к-
3 Рк
к=1 а^ к )
ZT^At = 0, Z
'к
Au =
A = s(y)
^ а (п \3к = Г
к=1 А1(^к ) lY «55 _t (y)
3
к=1 Al(^k T3 Ma55
В системе (17) введены обозначения:
Рк = W kL2k + ¿45^ kL1k - b45A1(^ к ), tk = ¿45^ kL2k + ^kL1k -A1(^к ), mk = b31L1k + ¿36 L2k + ¿33^ k A1(^ k )
(17)
Решая систему (17), найдём
.A^iK t(y) , Mi k H S(y) G |y|a55 G iy a55
A31 =-
(18)
где
G1 = P2t3 " P3t2 > G2 = -P1t3 + P3t1 > G3 = P1t2 " P2t1 >
H1 = P3m2 - P2m3 > H2 = P1m3 " P3m1 >
H3 = P2m1 - P1m2 , (I9)
G = Pt2m3 + P2t3m1 + P3t1m2 - P3t2m1 -
-P2hm3 - P1t3m2 •
Пользуясь формулами (18), (19), (16), вычислим
*
a3 при z=0:
«3
+ ¿11(^66 -(к45 + ¿36 )2^)+ (13)
+ ¿16 (445 + ¿36 )(1 + ¿13 )- ¿33^16 )- ¿661 + ¿13 ^ -
-¿>11*66 -¿126 )= 0.
Из этого уравнения определим €к и из первых двух уравнений системы (12) - связь между Ак.
Д1к . _ &2к
= A3! + A32 + A33 = F (e^|T(Y) +
z=0 |y| «55
-F2 (e)
ш.
iY «55
(20)
где F(0) = A1(l 1G +A1^ 2 G +A1^ 3 )G3 ,
F A1(^ 1H1 + A1(^ 2 )H2 +4(13 )H 2 ( ) G '
Взяв обратное преобразование Фурье от (20) и воспользовавшись стандартными интегралами [2]
7cos Yt -e~y | | 7sinYt , л J-dY = - ln t\, J-—dY = — sgn t, легко най-
0 Y 0 Y 2
ти после несложных преобразований F(0) 1 tfe)^ F2(0)^ 2 a55
= Fe J dx n«55 _1 - x
(21)
Таким образом, перемещение и3 при х3=0 под действием касательной и нормальной нагрузок определено.
3. Воспользовавшись соотношением (21) и полагая И3(х,0) = -(§ + ех - /(х)), где 8 - глубина внедрения
штампа; е - угол поворота штампа; Ах) - форма штампа, получим интегральное уравнение
а ^-Ш («- / '(х)),
^ х
2F (e)
f (e)
-¿
-¿ < х < а. (22)
Перейдем к изучению контактной задачи. 1. Рассмотрим случай наклонного плоского штампа, лежащего без трения (г(х)=0, /'(х) = 0). Будем предполагать, что штамп внедряется под действием силы Р0 и момента М=Р0е. В этом случае уравнение
-да
+
d, = -лт(е)е, у(е)=
а /(&)
(22) принимает вид 1 4 ^ ^ -
—Ъ х —Ъ < х < а.
Будем предполагать, что под действием силы и момента штамп поворачивается и занимает область —Ъ < х < а, где 2а - длина штампа (рис. 1).
=A(b+x), найдем
A = -леу(е), P0 =леу(е)
b + a 2 '
(24)
И с учетом (24) контактное давление, ограниченное в точке —Ь, имеет вид
t(x)=—^ . W a — x
(25)
Из условия
+ a, откуда s =
е = —1 P0
P0e = — J xt (x)dx найдем [2]
—b
P0
2 ^sy(e)
2%(a — е)у(е)
Подставляя e в (24) и (25), находим
ь(е)=
2Pn
т(е)
— a = 3a — 4e , t(x) =
— P0^b
+ x
2n(a — e)J a — x
0.031
s(e) 0.03-
0.029
0.028
Рис. 1. Плоский наклонный штамп с отрывом в точке -Ь
Решение уравнения, неограниченное в точках — Ь и а, имеет вид [3]
!-) —р0 —7(9)(х + °,5(Ъ — а)) (23)
Пу1(Ъ + х)(а — х) Положив числитель в (23) - р° - %еу(9)(х + °,5(Ъ - а))=
Рис. 2. Зависимость угла поворота штампа от в
Отметим, что если е>0,75а, то штамп вообще не будет контактировать с полупространством; е<0,5а -занимает область [—а; а], причем /(—а)^0.
2. Рассмотрим задачу о вдавливании параболиче-
х
ского гладкого штампа...........
(е=0, ф:)=0, f '(x) = —). В
R
этом случае контактное давление имеет вид [4] t(х) = —Му1 а2(9) — х2 , |х| < а,
R
причем
a2 =
2Pq R лу(е)'
(26)
(27)
Таким образом, приходим к выводу, что точка отрыва -Ь и контактное давление зависят только от эксцентриситета е. Если 0<Ь(в)<а, то эксцентриситет должен находиться в пределах 0,5а<е<0,75а; если е=0,5а, то Ь(в)=а, и контактное давление принимает
/ \ — 2Р4а + х / \ _ вид t(x) =-у , 4— а) = 0 .
Наконец отметим, что независимость точки отрыва —Ь(в) и контактного давления /(х) от угла поворота в не приводит к независимости угла поворота штампа е от в. Если материал полупространства — рутил (с„=27,3; с33=48,4; с44=12,5; с66=19,4; с12=17,6; с!з=14,9), Р0=— 1, а=1, е=0,3, то е(в) имеет вид (рис. 2), и наибольшее относительное изменение е(в) составляет примерно 9,67 %.
Из (26, 27) видно, что и область контакта, и контактное давление зависят от в. На рис. 3 приведено контактное давление при в=0 и в=п/4 (пунктирная линия), на рис. 4 показано изменение а(в). Наибольшие относительные изменения соответственно равны 4,91 и 4,68 %.
t(x, 0.001) 1
-3 -4
Рис. 3. Параболический штамп. Контактное давление при в =0 (сплошная линия) и в =п/4 (пунктирная линия)
0.74
а(е) 0.72 -
0.5 1
9
Рис. 4. Зависимость области контакта параболического штампа от угла в
0.03
0.5
1.5
е
0
x
3. Рассмотрим задачу о вдавливании наклонного штампа, контактирующего с полупространством с трением. Будем считать, что трение подчиняется закону Кулона, тогда интегральное уравнение (22) принимает вид
J ( ) dE, - rcY1 (0)kt (х) = -л т(0)в , -b < х < а. (28)
-b х
Здесь приняты те же обозначения, что и в предыдущем пункте, и, кроме того,
т(х) = М(х), Y1(0) = F2|) •
Будем считать, что под действием силы Р0 и момента М штамп занимает положение, указанное на рис. 1, причем контакт штампа и полупространства осуществляется лишь на участке [-Ъ, а]. Неограниченное решение уравнения (28) имеет вид [3]
t(x) = [-tc6y(0)cos ла^х + b ^ a + а(а + b)j +
+Л0 cos ла]/(лУ(х)), (29)
где С0 - произвольная постоянная, определяемая из условия
J t(x)dx = - p).
(3G)
—ъ
X(х) + х)/2+а(а -х)>2-а а = -1 аШ§(ку1 (в)). (31)
' л
Из (29), (30)
С0—Р0. (32)
Для того чтобы найти ограниченное решение в точке —Ь, положим в (28) с учетом (32)
Ъ — a
t(ç) - [—rtsy(e)cos x + — P0 cos лй]/лХ (ç) - A(h + Ç). Тогда
A = -Y(e)rtscos лa s = -
(a + Ъ) I —
■ + a(a +
2Pn
лу(е)(а + b)(l - 2a) ' Учитывая (33), (29) и (31), получим
2P0cos яа (b + x)K-a n(a + b)(l- 2a) (a - x)>2-a . Найдем момент М по формуле
Î = - J xt (x)dx.
-b
(33)
(34)
(35)
Подставляя (34) в (35) и вычисляя возникающие интегралы [2], получим
- P0 [3a — Ъ — 2a(a + Ъ)J
Î ---.
4
Из (36) Ъ -(3 — 2a)a — ,4M ч 1 + 2a P0 (l + 2a)
(36)
Отсюда вытекает,
что штамп займет положение, указанное на рис. 1,
(l - 2a)a <M (3 - 2a)a
если
2
Pa
4
опрокинется, если
M (3 - 2a)a , r ,
— -'— ■ займет область I-a; al, если
Po 4 M< (l - 2a)a
Pn
2
Следует отметить, что фактически все параметры данной задачи зависят от угла поворота в.
Схема расчета:
По формуле (31) определяем а (рис. 5), наибольшее относительное изменение а(в) от а(0) составляет 5,34 %; задав Р0, Ми а, найдем Ь(в); по формулам (33), (34) найдем угол поворота штампа е(в) и контактное давление ^х).
a(e)
Рис. 5. Изменения показателя а при особенности в зависимости от угла в
Литература
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., 1978. 287 с.
2. Градштейн И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М., 1962. 1100 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи мате-
матической теории упругости. М., 1966. 708 с.
4. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику
контактных взаимодействий. Ростов н/Д, 2005. 108 с.
Поступила в редакцию
27 марта 2012 г.
0.0114
0.0108
e
