Смешанные задачи теории упругости для составного плоского клина Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО ПЛОСКОГО КЛИНА

© 2008 г. Д.А. Пожарский

Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 344029, г. Ростов-на-Дону, пл. Страны Советов, 2, tmm@rgashm. т

Rostov-on-Don State Academy of Agricultural machine building, 344029, Rostov-on-Don, Strani Sovetov Sq., 2, [email protected]

Получены интегральные уравнения контактных задач для двухслойного упругого клина и симметричных задач о разрезе в трехслойном упругом клине. Предполагается шарнирное сцепление между слоями, а внешние грани свободны от напряжений либо находятся в условиях скользящей заделки. Построены асимптотические решения.

Ключевые слова: контактные задачи, трещины, упругий клин.

The integral equations are obtained for the contact problems for a two-layered elastic wedge and for the symmetric cut problems for a three-layered elastic wedge. It is supposed that the layers are hinged one to another, the outer faces are stress-free or subject to sliding support. The asymptotic solutions are constructed.

Keywords: contact problems, cracks, elastic wedge.

Получены интегральные уравнения контактных задач для двухслойного упругого клина и симметричных задач о разрезе в трехслойном упругом клине. Предполагается шарнирное сцепление между слоями, внешние грани свободны от напряжений либо находятся в условиях скользящей заделки. Построены асимптотические решения. Ранее аналогичные задачи рассматривались для однородного клина [1, 2] и для случая полного сцепления между слоями [3].

Пусть клин состоит из клиньев £21={г£[0,со]; ф£[-а,0]} и £22={ге[0,ао]; ф£[0,Р]}, шарнирно сцепленных по лучу ф=0 (г,ф - полярные координаты). Тело 0.п (п= 1.2) имеет упругие характеристики (1„ (модуль сдвига) и V,, (коэффициент Пуассона). В грань ф=(3 под действием силы Р без трения и перекоса вдавливается плоский штамп. Осадка штампа равна 5. Грань ф=-а свободна от напряжений (задача А) либо находится в условиях скользящей заделки (задача Б). При помощи преобразования Меллина задачи А и Б сводятся к интегральному уравнению относительно контактного давления о, =-(/(г) в области контакта ф=(1 а<г<Ь:

J qip) к\ In — \ dp = лв^д (a<r<b),

(1)

,/ч °?Z(m) , лЕ k(t) = J-cosutdu н--,

о м 2

L(u) =

h(u) L2{U)

(2)

E = lim uL(u).

H-s-0

Для задачи A (e=91/92, 9„=G„/(l-v„), п= 1,2) L\ (и) = {sblau + и sin 2a){úü./3u + и sin 2/3) + + 2e(sh 2 сш - и 2 sin 2 cr) (ch2/?w - со s 2/?),

2 2 2 £2 (и) = 2(sh2«M +Msin2a)(sh pu-u sin /3) +

2 2 2 + 2e(sh ccu -u sin a)( sh2/?» + »sin 2fl).

ДлязадачиБ ¿j(m) = (ch2aM-cos2oO(sh2/?M+MSÍn2/?) +

+e(sh2aM + uún2a){ сЫри - eos 2/?).

При e—>0 или e—>co (слой Q| очень мягкий или жесткий) функции L(u) для задач А и Б в пределе совпадают с известными символами для однородного клина с одной свободной гранью или при скользящей заделке одной грани.

Рассмотрим клин ¡rC|0./): <у£\-а.а+2\\\\. на биссектрисе которого имеется разрез (трещина), находящийся в раскрытом состоянии под действием заданной нормальной нагрузки оф=-р, a<r<b, ф=р±0. Клин является трехслойным и состоит из шарнирно сцепленных

клиновидных слоев -а<ф<0, 0<ф<2(3 и 2(3<ф<а+2(3. Внешние грани свободны от напряжений (задача В) или находятся в условиях скользящей заделки (задача Г). Предполагается симметрия задач В, Г относительно линии трещины, поэтому можно рассматривать только область -а<ф<Р, которая состоит из тел £2„ (//=1.2). таких же, как в задачах А, Б (с теми же упругими характеристиками). Требуется найти форму раскрытия трещины иф^Дг), а<г<Ь, ф=(3-0, затем может быть определен коэффициент интенсивности нормального напряжения на концах трещины. С учетом связи между задачами В и А, Г и Б можно получить интегральное уравнение относительно/(г), а<г<Ь: ь

Ы P)dp.^ipr+cx m = l^duX3) г) в2 о ¿С")

а Р

Функции L(u) в задачах В и Г такие же, как в задачах А и Б; постоянная С должна быть определена из условия j(a)=0 или /(Л)=0.

Применяя регулярный асимптотический метод [1] и вводя обозначения )=2(\п(Ыа)) '. х=/.1п(/7д)-1. ф(х)=гд(г)/(а02), Ро=Р1(ад2), найдем решение задач А и Б в виде

<р(х) =

Ex ~2

b0 (1 — 2x2) b0 Ex

2 кХ

4 Äz

b1 (1- 8x 2-8x 4) -3- +

2 b2 Ex- 3b1E( x- 4x3) Ш4

■я 7

(4)

Для задач В и Г аналогичное решение имеет вид f (т)в2 ^1-x 2

Иx)=-т= =-:-V(x), f?(x) =

x

1 + — + 2Ä

2

6с0+х х + 2х

.3

6 Л

2

48/.

з

| 120(с1 + с2х2)+х4 | ( 1

120Я4 U5

1 do 1 do

Со = — +—, с, =-+ —+

12 2 320 16

2

do 5dy 1 di

(6)

+—+ 4 8

'2

240 2

dm = ( inJE" L~1(M)]" XdU • (7)

(2m +1)! °

На основании (6) для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещины получим выражения:

Ka= lim в2^2к(т-а)f\r) = р ^i/(-1) (8)

r->a+0 V л

Kb=- lim e242n(b-r)f \r) = pj^/7(1) •

г->ъ-о V Л

Асимптотики (4), (6) дают приемлемую точность при l>2/ß.

В таблице даны значения постоянных (2), (5), (7) для случая пары материалов цинк-железо (первый материал прилегает к области контакта или трещины), когда е=2,156, а=30°.

(—1) m 00

bm = ^ L(u)]u2m+1du (m = 0,1). (5)

(2m +1)! о

2

Значения постоянных (2), (5), (7)

ß 45° 60° 75° 90° 45° 60° 75° 90°

Задача А Задача Б

E 7,026 3,561 1,860 1,047 0,5047 0,6106 0,6785 0,6808

bo -8,042 -3,718 -1,717 -0,8096 -0,3011 -0,4372 -0,4620 -0,4104

b, 2,156 0,7320 0,2623 0,09613 0,4333 0,1602 0,07877 0,04206

Задача В Задача Г

do 1,928 1,133 0,6614 0,3769 0,2004 0,2777 0,2619 0,2152

di -1,471 -0,5247 -0,2031 -0,08007 -0,4277 -0,1553 -0,07327 -0,0378

Для задачи А, как показывают расчеты, возможно нарушение контакта вблизи вершины клина. Это происходит, например, при Р=45°, /.=2. когда на основании формулы (4) и значений, приведенных во втором столбце таблицы, имеем ф(-0,9)<0. Для задачи В значение Ка (8), как правило, больше, чем для задачи Г, что объясняется свободными от напряжений гранями (величина критической нагрузки при этом меньше). Например, при Р=45°, /.=2 на основании формул (6), (8) и значений, приведенных в шестом столбце таблицы, имеем /\"*,= 1.009 для задачи В и К*а=0,8021 для задачи Г, где К*а= Ка(Ьж/1уУ2/р=т](-1).

При малых значениях параметра X для решения уравнений (1), (3) можно использовать сингулярный асимптотический метод [1].

Работа поддержана грантами РФФИ 08-01-00003 (задача А), 06-01-00022 (задача Б), грантом «Михаил Ломоносов» Минобрнауки РФ и германской службы DAAD (задачи В и Г).

Литература

1. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М., 1986.

2. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М., 1993.

Александров В.М., Пожарский Д.А. Плоские контактные задачи для составного упругого клина //

Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2006. № 6. С. 27-30.

Поступила в редакцию

15 февраля 2008 г.