Контактные задачи для неоднородного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-40-42

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ*

© 2018 г. Д.А. Пожарский1

1Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия

CONTACT PROBLEMS FOR AN INHOMOGENEOUS LAYER

D.A. Pozharskii1

1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia

Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико- Dmitrii A. Pozharskii - Doctor of Physics and Mathematics,

математических наук, профессор, заведующий кафедрой Professor, Head of the Department of Applied Mathematics,

прикладной математики, Донской государственный тех- Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-

нический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, Don, 344000, Russia, e-mail: pozharda@rambler.ru 344000, Россия, e-mail: pozharda@rambler.ru

Рассмотрены трехмерные контактные задачи теории упругости о взаимодействии жестких штампов с неоднородным слоем, материал которого характеризуется переменным по глубине коэффициентом Пуассона и постоянным модулем сдвига. Модуль продольной упругости также изменяется по глубине соответствующим образом. Другая грань слоя лежит без трения на недеформируемом основании или на основании Винклера (задачи A и B соответственно). Задачи сведены к интегральному уравнению (ИУ) относительно контактных давлений, для ядра которого построены точные выражения. При заранее неизвестной области контакта для решения применен метод нелинейных граничных интегральных уравнений (ГИУ), который позволяет одновременно определить область контакта и давления в этой области. Расчеты сделаны для пирамидального и конического штампов при изменении относительной толщины слоя и параметров закона неоднородности. Ранее для аналогичных задач с более сложными законами неоднородности использовалась аппроксимация символа ядра ИУ. Рассмотренный тип неоднородности можно считать простой моделью, на которой можно установить основные эффекты контактного взаимодействия.

Ключевые слова: контактная задача, неоднородный упругий слой.

Three-dimensional contact problems of the elasticity theory are investigated on the interaction between rigid punches and an inhomogeneous layer with variable Poisson's ratio in depth and constant shear modulus. In this case the longitudinal modulus of elasticity is also variable in depth. The other layer face lies without friction on a rigid or Winkler base (problems A and B, respectively). The problems are reduced to an integral equation with respect to the contact pressures, the kernels are constructed in exact forms. For a priori unknown contact domain, the method of nonlinear boundary integral equations is used which make it possible to determine the contact zone and the contact pressures simultaneously. Calculations have been made for pyramidal and conical punches for different values of relative layer thickness as well as for different parameters of the nonhomogeneity law. Earlier for similar problems for more complicated functionally graded materials, approximations have been used for symbol functions of integral equations. In this paper, the nonhomogeneity law can serve as the simplest model which helps to discover the principal effects of the contact interaction.

Keywords: contact problem, inhomogeneous elastic layer.

Исследованы трехмерные контактные зада- грань лежит без трения на жестком основании или

чи теории упругости о взаимодействии жестких на основании Винклера (задачи A* и B* соответ-

штампов с неоднородным слоем. Рассмотрим уп- ственно). Граничные условия имеют вид

ругий слой {-<»<xi, x2«», 0<x3<h} с параметрами Х3 = 0: 031 = 032 = 0, <033 = -/'8(xi)8(x2);

упругости G (модуль сдвига) и vfe) (коэффициент х3 = h: о31 = о32 = 0, A*) u3 = 0;

Пуассона, -1<v(x3)<0,5). Тогда модуль продоль- B*) u3 =aG-1a33 (a = const)

ной упругости E(x3)=2G(1+v(x3)) также зависит от Решая задачи A* и B* при использовании из-

глубины. Пусть на одной грани слоя действует вестной техники [2], получим нормальные переме-

нормальная сосредоточенная сила P, а другая щения в форме

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00017).

40

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

1 /-J-^

мз(хъ*2,0) = JQ(u)Jo(xu)du, x = VX1 + X2

A*) Q(u) =

4%G 0

4sh2 (hu) u(2L + e2 L1 + E?L2)'

El =exp(-hu), E2 =exp(hu),

h h L = Jy(s)ds, Li = Jy(s)exp(-2us)ds, 0 0

h 1

L2 =Jy(5)exp(2u5)d5, у(У)=--—,

0 1-v(s)

Qi

(1)

B*) Q(u)=-

Ql=4sh1(кu)-(Ех -£г)(а1 +«2), 02 = 2Ъ + + Е2^2 + (ХЕ1 + ЬЕ )а2 -- (Ь2 Е1 + ЬЕ2)аь

где ./0(х) - функция Бесселя.

Рассмотрим контактные задачи А и В, в которых граничные условия при Х3 = к точно такие же, как в задачах А* и В*, а другая грань взаимодействует с жестким штампом при отсутствии трения и перекоса. Под действием силы Р штамп испытывает осадку 8, а форма его основания описывается функцией Дхьх2) в области контакта О. При заданных величинах О, к, 8, а и функциях у(х3) и Дх\,х2) требуется определить область контакта О и контактные давления ст33=-д(х\,х2) ((х\,х2) е О), которые должны обращаться в нуль на краю области контакта. Затем можно найти интегральную характеристику давлений Р.

На основе фундаментальных решений (1) контактные задачи сводятся к следующему ИУ относительно функции д(х\,х2)

Л Ч(£, Ц)К(Х1, Х2, £, гОйЗД = 8- / (X, Х2),

Q2'

(2)

Для закона неоднородности (3) главная часть ядра ИУ (2) для обеих контактных задач будет вида

, что связано со значением интеграла [3]

<х> 1

| Зо(Ви)йи =—. о к

Для задачи В в ядре ИУ (2) дополнительно возникает двумерная 8-функция Дирака, связанная со значением интеграла [3]

<х>

|иЗо(Вии)йи = 2л5(х! -^)8(Х2 -г|).

о

Поэтому для задачи В ИУ (2) становится ИУ второго рода. Метод нелинейных ГИУ здесь также применим. Предположим, что неизвестная область контакта содержится в прямоугольнике {|х\|<Ъ, |х2|<с}, Ъ>с. Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем):

/ х1 / Х2 / £ / | / 8

х = —, х/ = —, £ =— = —, 8 =—, 1 Ь 2 Ь ' £ Ь Ь' Ь

я'= R, 2=2h, в=£

Ь'" b

q /(х1, x2) =

hJ ^_1-v(0)

2%G

q(x1, x2),

р = |1-У(0)|Р ^/(х/ х/) = /(хьХ2) и т.д.

2%ОЬ2 ' , Ь

Безразмерный параметр X характеризует относительную толщину слоя, п - частоту осцилляций закона неоднородности (3). В новых обозначениях ИУ (2), (3) для задачи А можно записать в форме (для задачи В это делается аналогично)

JJ q(£,n)

q

11 / R

R + 2 4 2

dtßn = 5- f(xh x2), (xb x2) e Q

(х1, х{) еО, К(х1, х2, £, |) =

= ^(иУо(Яи)фи,Я = 7(х1 -£)2 + (х2 -I)2.

о

Допустим, что функция у(х3) разлагается в ряд Фурье на отрезке [0,к] и далее ограничимся двумя членами этого разложения [2]

у(хз) = а + а2 ео8(лик-1хз), (3)

где а\, а2 - постоянные, которые будем выбирать из условия 0 <у(хз) <1/2.

Для решения задач А и В применим метод нелинейных граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий одновременно определить область контакта и давления в этой области [3].

уф = J[X(u)+аУ(и)и0 (Ш^и, X (и) = °Ь(и) 1 -1, 0 8Ь(и) + и

= [оЬ(и) -1][и + (1-9(и)Жи)] = и2 () [ВД + и][и + (1+ а6(и))8И(и)]' ( ) и2 +к2п2' В таблице приведены значения силы Р при 8=е= 1 и различных значениях X, а, п для разных форм штампов. При этом /(хьх2) = тах(|х11,| хг |) для

пирамидального штампа, /(хьх2) = ^(Ро)^/хр + х^ -для кругового конического штампа с углом 2р0 при вершине, /(хьх2) = -^Лх^+Бх^ - для некругового

конического штампа (А<В). Угловые точки штампов сглаживаются.

При уменьшении X (утончении слоя) значения давления и силы Р возрастают (таблица), что объясняется жестким основанием на нижней грани

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

слоя. С уменьшением угла раствора кругового конического штампа область контакта и сила P уменьшаются, однако давление в точке первоначального контакта возрастает. Как видно из таблицы, при возрастании n (с ростом частоты осцилляции закона неоднородности) сила P уменьшается при a>0 и возрастает при a<0.

Значения силы P в контактной задаче A / The values of the force P in the contact problem A

n(a=1/4) n(a=-1/4)

1 2 3 1 2 3

Пирамидальный штамп

1 0,722 0,707 0,703 1,138 1,166 1,178

2 0,417 0,404 0,393 0,582 0,614 0,627

Круговой конический штамп, Ро=45°

1 0,563 0,550 0,547 0,884 0,908 0,917

2 0,331 0,316 0,309 0,454 0,482 0,494

Круговой конический штамп, р0=60°

1 1,360 1,334 1,325 2,119 2,169 2,194

2 0,772 0,745 0,736 1,109 1,159 1,177

Некруговой конический штамп, A=0,5, ,ß=1

1 0,770 0,755 0,750 1,215 1,244 1,255

2 0,441 0,422 0,415 0,621 0,654 0,667

Это объясняется тем, что в приповерхностном слое под штампом (при малых фиксированных х3) с ростом п значения коэффициента Пуассона у(х3)

и модуля упругости E(x3) снижаются, если a>0, и возрастают, если a<0. Для задачи B значения давления и силы P меньше соответствующих значений для задачи A, что объясняется наличием основания Винклера.

Литература

1. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит, 2006. 240 с.

2. Borodachev A.N. Elastic equilibrium in a layer in-homogeneous with depth // International Applied Mechanics. 1988. Vol. 24, № 8. P. 753-758.

3. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001. 406 p.

References

1. Aizikovich S.M., Aleksandrov V.M., Belokon' A.V., Krenev L.I., Trubchik I.S. Kontaktnye zadachi teo-rii uprugosti dlya neodnorodnykh sred [Contact problems of the theory of elasticity for inhomogeneous media]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 240 p.

2. Borodachev A.N. Elastic equilibrium in a layer in-homogeneous with depth. International Applied Mechanics. 1988, vol. 24, No. 8, pp. 753-758.

3. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001, 406 p.

Поступила в редакцию /Received

10 января 2018 г. / January 10, 2018