CC BY
26
УДК 539.3 + 624.09
О.А. Егорычев, Р.Н. Степанов, Е.В. Запольнова
ФГБОУВПО «МГСУ»
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕЖАЩЕЙ НА ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ТРИ КРАЯ КОТОРОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТЫ, А ЧЕТВЕРТЫЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕН
Представлено решение уравнения собственных колебаний лежащей на деформируемом основании трансверсально-изотропной пластины, один край которой жестко закреплен, а три других шарнирно оперты. Задача решается методом декомпозиций, получено частотное уравнение для определения собственных поперечных колебаний пластины.
Ключевые слова: трансверсально-изотропная пластина, собственные колебания, шарнирное закрепление, жесткое закрепление.
На сегодняшний день известно достаточно много научных трудов зарубежных и отечественных авторов, посвященных изучению колебания пластин, однако, вопрос о колебании трансверсально-изотропных пластин изучен не полностью. Наибольший интерес представляют работы таких ученых, как С.А. Амбарцумян [1], В.В. Болотин [2], E.J. Brunelle [3], M. Levinson [4].
В данной статье будет рассмотрена задача о собственных колебаниях трансверсально-изотропной пластины, лежащей на деформируемом основании, три края пластины шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен. Приближенное уравнение поперечных колебаний трансверсально-изотропной пластины получено авторами ранее [5].
Граничные условия для данной задачи представлены в виде [6]
d2W
W = —r = 0; jc = 0,/15 ох
d2W
W = —y = 0; y = 0, (1)
ох
W-Щ--0; y-k. dy
Будем искать решение однородного уравнения в следующем виде:
W (x, у, t ) = W (x, у )exp ^ b)' (2)
где — частота собственных колебаний пластины.
Тогда уравнение поперечных колебаний трансверсально-изотропной пластины примет вид
W (х, y )(д2 +Б1А + Б 2) = 0, (3)
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2013
где В1 =
' 'ъе
- Аз
I + А,
ъ 4
В = —
2 + А2 (^Г + А, Г А {ъ
зЛ
(4)
у V -- х V -- х V -- х у
Введем безразмерные координаты и функции прогиба
А
х = —а; п
у = ¡^Р;
п
(5)
Ж (х, у ) = К (а,р)^.
п
Запишем уравнение (3) в новых координатах
где п =
V (а,в) ¡1
(( д4
да4 '
д
4 4 д4 V „ 1 ( д2
да2дв2
+ П
дв4
+ я
+ Я1 ~2 п
2 д2
2 + п 2
да2
дв2
Л ,4
+ я2 \
2 4
п У
= 0, (6)
¡2
В соответствии с методом декомпозиций сформулируем три вспомогатель-
ные задачи
1. 0 = / (а'Р = ^ = 0 а =
да2
4 д%
2. п
д 2¥
4 = /2 (а,Р) У2 = 0р = 0;
Зр4 2 др2
(8)
V^ = / М) V = ^ = о р = п;
Зр4 2 др р
3.
2п
2 3
да2др2
+ я 11 +я1~
2
П
д2 2 д2
др2
+ Я2лт
2 ггт4
П
V + / + / = 0,
(9)
где У; (а,Р) = ^ <П вт(па)вт(тр).
п, т =1
Будем приближенно полагать в заданных точках пластины [7]
V = V; V = 2(V1 + ),
где сПт — произвольные постоянные, i = 1, 2.
Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде 00 а(1) п3 п2
п,т=1 « 6
(10)
(11)
+
а¥з(Р) + ¥4 (Р);
00 а(2) оЗ п2
P2(«.P) = Z ^rSÍn(«a)sin(wp) + ^91(a) + ^-92(a) +
л,ш=1Л m 6 2
+ рф3(а) + ф4(а),
где у. (в) и ф. (а) — произвольные функции.
С учетом удовлетворяющего общего решения граничным условиям и вспомогательных задач определим у. (в) и ф. (а) — произвольные функции при а = 0
V4 (в ) = V2 (в ) = 0; (12)
при а = п
Vi (в) = Уз (в) = 0- (13)
Таким образом, для Vx (а,в) получим
» a(1)
V (а,в)= X "^Тsin (nа)sin (тв),
n, т =1 n
при в = 0
ф 2 (а ) = Ф 4 (а ) =0;
при в = П
3 w a(2)
Ф1 (а)=-— Z -frsin (na)(-1)m;
П п,т=1П m
1 х a?)
Фз (а) = т Z -TTsinМИГ •
2 n,m=i n m
Таким образом, для V2 (а,в) получим
« a(2)
V2 (а,Р)= Z "T^S™(Па)
-sin ") + в (-1)" т Х ' 2х '
( рП
V- п2,
Рассмотрим систему (9), (10) при n, m = 1
[cn°íi)+ci2°S)=0;
I C2iaíí + C22a1í) = 0,
(14)
(15)
(16)
(17)
(18) (19)
где cu [1 + n2 ] + + n2 + 1;
2n L -1 >тг
C12 = -B1
c2i =1;
2n2n2
2n4 1
/
1 +---1—2
2n n2
, 3n 1 + — 16
+ Í1 + ^ 1 + 4-11 + —| +1; 22n4n4 l 16 J n2 l 2n,
- -- _L
'22 - 4
П
/
i+ V 16
(20)
Нетривиальное решение (19) приводит к частотному уравнению вида
d^4 + d + d+ d + d5 = 0,
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2013
л A2 где d1 = 2
d, = Аб
(21)
d5 =
Полученные в данной работе результаты могут быть использованы для решения актуальных прикладных задач: вывода уравнения собственных поперечных колебаний трансверсально-изотропных пластин при различных способах закрепления, а также частотного уравнения собственных поперечных колебаний трансверсально-изотропных пластин при различных способах закрепления с помощью метода декомпозиций и аналитического метода.
Предлагаемая методика позволяет оценить влияние параметров конструкции на значения перемещений при поперечных колебаниях трансверсально-изотропных пластин, лежащих на деформируемом основании.
Библиографический список
1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М. : Наука, 1974. 446 с.
2. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек // Теория пластин и оболочек. Киев : Наукова Думка, 1962. С. 16—32.
3. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal, 1971, vol. 9, № 6, pp. 1018—1022.
4. LevinsonM. Free vibrations of a simply supported, rectangular plate: An exact elasticity solution. Journal of Sound and Vibration, Issue 2, 22 January 1985, pp. 289—298.
5. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Запольнова Е.В. Собственные колебания транс-версально-изотропной пластины, лежащей на деформируемом основании, один край которой упруго закреплен, а три других шарнирно оперты // Вестник МГСУ 2012. № 11. С. 45—55.
6. Филиппов И.Г., Чебан И.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоу-пругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 1988. 190 с.
7. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2005. 239 с.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
Об авторах: Егорычев Олег Александрович — доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-24-01, [email protected];
Степанов Роман Николаевич — кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-24-01, [email protected];
Запольнова Евгения Валерьевна — аспирант кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-24-01, [email protected].
Для цитирования: Егорычев О.А., Степанов Р.Н., Запольнова Е.В. Собственные колебания лежащей на деформируемом основании трансверсально-изотропной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен // Вестник МГСУ 2013. № 7. С. 27—32.
O.A. Egorychev, R.N. Stepanov, E.V. Zapol'nova
SELF-EXCITED OSCILLATIONS OF A TRANSVERSELY ISOTROPIC PLATE, ONE EDGE OF WHICH IS RIGIDLY FIXED AND THE OTHER THREE EDGES ARE HINGED, IF THE PLATE RESTS ON THE STRAIN FOUNDATION
Today, an enormous number of research papers by foreign and domestic authors cover the research into vibration of plates. Despite this variety, oscillation of transversely isotropic plates remains understudied. The most substantial contribution into this area of research was made by S.A. Ambartsumyan, V.V. Bolotin, E.J. Brunelle, and M. Levinson. The author provides the summary of a frequency equation describing self-excited oscillations of a transversely isotropic plate resting on the strain foundation, if one edge of the plate is rigidly fixed and the other three edges are hinged. The problem was solved using the approximate method employed to derive the frequency equation needed to identify self-excited oscillations of the plate. The formulas, derived by the author and designated for the identification of frequencies of free transverse vibrations of the plate, are suitable for practical application; they may be applied for the identification of the nature of dependence between natural frequencies of the plate and its geometry.
Key words: transversely isotropic plate, self-excited vibrations, rigidly fixed, hinged.
References
1. Ambartsumyan S.A. Obshchaya teoriya anizotropnykh obolochek [General Theory of Anisotropic Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 446 p.
2. Bolotin V.V. Sovremennye napravleniya v oblasti dinamiki plastin i obolochek. Kn. Teoriya plastin i obolochek [Modern Trends in Dynamics of Plates and Shells. In: Theory of Plates and Shells]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1962, pp. 16—32.
3. Brunelle E.J. Buckling of Transversely Isotropic Mindlin Plates. AIAA Journal. 1971, 9, no. 6, pp. 1018—1022.
4. Levinson M. Free Vibrations of a Simply Supported, Rectangular Plate: an Exact Elasticity Solution. Journal of Sound and Vibration. 22 January, 1985, no. 2, pp. 289—298.
5. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Zapol'nova E.V. Sobstvennye kolebaniya transversal'no-izotropnoy plastiny, lezhashchey na deformiruemom osnovanii, odin kray ko-toroy uprugo zakreplen, a tri drugikh sharnirno operty [Self-excited Oscillations of a Transversely Isotropic Plate Resting on the Strained Foundation Bed, if One of the Plate Edges Is Flexibly Fixed, while the Three Other Edges Are Hinged]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 11, pp. 45—55.
ВЕСТНИК -г юм 1
7/2013
6. Filippov I.G., Cheban V.G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkou-prugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988. 190 р.
7. Egorychev O.O. Kolebaniya ploskikh elementov konstruktsiy [Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, ASV Publ., 2005, 239 p.
About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-01;
Stepanov Roman Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-01;
Zapol'nova Evgeniya Valer'evna — postgraduate student, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-01.
For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Zapol'nova E.V. Sobstvennye kolebaniya lezhashchey na deformiruemom osnovanii transversal''no-izotropnoy plastiny, tri kraya ko-toroy sharnirno operty, a chetvertyy zhestko zakreplen [Self-excited Oscillations of a Transversely Isotropic Plate, One Edge of Which Is Rigidly Fixed and the Other Three Edges Are Hinged, if the Plate Rests on the Strain Foundation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 7, pp. 27—32.
