CC BY
20
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ НА КОНТУРАХ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ В ТРЕЩИНОВАТЫХ ГОРНЫХ МАССИВАХ
Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р техн. наук, профессор, А.А. ХОДЖИБОЕВ**, канд. техн. наук, О.А. ХОДЖИБОЕВ*, инж.
*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан
734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, tiees@mail ru **Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджа-бовых, 10, [email protected]
Решены задачи концентрации напряжений и распределения перемещений по контуру подземных сооружений, устраиваемых в анизотропных, трансверсально-изотропных и квазиизотропных горных массивов, численным моделированием на основе граничных уравнений.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: - трещиноватый горный массив - подземные сооружения -анизотропия - трансверсально-изотропный массив - квазиизотропный массив.
Рассматривая модель линейно-деформируемого породного массива, необходимо учитывать различие деформационных свойств пород для разных направлений. В механике горных пород в основном рассматриваются два частных случая анизотропии [1]. В первом случае предполагается, что через каждую точку породного массива проходит поверхность изотропии и массив является трансверсально-изотропным. Во втором случае горный массив принимается квазиизотропным. Для оценки нарушенности горных пород применяются различные методы. Наряду с такими методами, как реометрический, ультразвуковой, радиометрический, электрометрический и др., применяется и сейсмический метод, в основе которого лежат зависимости кинетических и динамических параметров упругих волн от степени трещиноватости [12].
Уравнения равновесия, неразрывности деформаций и геометрические являются общими уравнениями механики деформируемого твердого тела независимо от физико-механических свойств тела. Общих уравнений недостаточно для исследования напряженно-деформированного состояния тела. Необходимы дополнительные уравнения, связывающие деформации с напряжениями, отражающие механические свойства определенных геомеханических моделей породных массивов. К линейно-деформируемым можно отнести также трещиноватые породные массивы [2].
Физические уравнения для трансверсально-изотропной модели породного массива, когда ось z перпендикулярна к плоскости изотропии (an = a22, a23 = ai3, = a44), могут быть представлены в виде [7]:
sx = a11ax + a12Gy + a13CTz , Yyz = a44Tyz , £y = a12ax + a11CTy + a13az , Xxz = a44Txz , (1)
£z = a13(CTx + ay ) + a33az , Yxy = a66Txy ,
где
a66 = 1/G12 = 2(1 + v)/E = 2(1/E + v / E) = 2(a11 - a12), E,v - модуль упругости и коэффициент Пуассона в плоскости изотропии oxy .
В случае плоской деформации, когда Уу7 = ух7 = е7 = 0, из (1) получим
£х = а11Ох + а12Оу + а13О7, £у = а12Ох + а11Оу + а13О7 =
Уху = а66тху = 2(а11 - а12)тху ,
V = ТХ2 = 0, О7 ="а13/ а33(ох + Оу ). Внося (3) в (2), получаем
£х = Р11Ох + р12°у, 1
£у = Р12Ох + Р11°у, |
Уху = Рввтху = а66тху = 2(а11 - а12)тху ,
Р11 = а11 - а123 / а33 , Р12 = а12 - а123 / а33 . Из решения (4) находим
(3)
(4)
О
= Ъ11£х + Ъ12еу , Оу = Ъ12ех + Ь11£у , тху = ь66Уху ,
(5)
где 6ц = рп/Ъи = Р12/Ро , Ро = РЦ -А2,, ¿66 = 1/Р66 = 1/2(011 -а12). Физические уравнения (1) можно также записать в виде
1 / ч V
£х = Е(ох -уСу) -Е1 О7 ,
=
Уу7 = п 7у7 ■ 01
1
V
£у = Е Су-Уах) -Е,
-уи ч 1
^ = + Оу ) + ТГ °7:
Е1 Е1
ухг
о
(6)
=
уху = ~0Тху,
где Е,у - модуль деформации и коэффициент Пуассона в плоскости изотропии оху, V! - коэффициент Пуассона для деформации в плоскости изотропии при сжатии в направлении, нормальном плоскости оху, Е1,О1 - модули деформации и сдвига для направлений, нормальных к плоскости изотропии.
В случае плоской деформации в плоскости оуг, когда а ^ да и
£х = Ухг = Уху = 0 , из (6) находим
Ох =^у +
VlE
о.
(7)
1 V
£у =— --
у Е у Е
V\E V<J1! + —— ст.
V
Е1
V О
--О7 =
Е1 7
1 -V2
--
Еу
.2
1 -V
Е у
- V (1 , е1
VI Е1
V\E
voy + —1— О у Е
7
1 /
v1 1
Оу О7 =-Е1 Е1
+ V л
V
Е1 Е1
О =
/
+ ^
V Е12 - Е1
Е
1 -v12 -1 Е
1 v1
V
Е1 Е1
/
О7 -ТГ(1 + ,
Е
(8)
(9)
Ууг п 7 уг . °1
1
г
1
7
1
Компоненты напряжений выражаются через функцию напряжений
д 2Ф
& 2
д2Ф ду 2
т — — ' у2
д2Ф
дудг
Дважды продифференцировав (8) - (10), учитывая (11), из уравнения неразрывности деформаций
д2£, _>
дг 2
д2е,
д V
у2
ду2 дуд2
получим
1 — V2 д4Ф
Е дг
4 + Е
2 Е \ д4Ф
1 — VI —
1 Е1
ду 4
2—(1 + v) —
д4Ф
ду 2дг 2
— 0
(12)
(13)
Полагая, что модуль деформации в плоскости изотропии больше, чем в перпендикулярных ей плоскостях (Еу > Е2), характеристические уравнения для (13) представим в виде
здесь
¿11 —
1 — V
Е
/ + 2Ь12 + Ь66 и2 + ¿11 — 0 Ь22 Ь22
П „ ч , 1 ( 2 Е ^
, Ь12 — —-М1 +v), ¿22 — — 1 — П2 —
(14)
Е
Е
Е
1
¿66 — тт, G1
откуда следует, что для решения (14) необходимы упругие постоянные Е , Е1, V , и V!, т.е. всего пять параметров геомеханической модели породного массива. Предполагая, что корни (14) являются мнимыми, причем попарно сопряженными, примем у — и уравнение (14) представим в виде
/ — 2Ь12 + ¿66 у2 + ¿Л — о, ¿22 ¿22
У1,2 —
2^2 + ¿66
Ь
22
1
2
2Й12 + ¿66^
¿
22
— 4^1 / ¿22 N2.
(15)
(16)
Модуль деформации в произвольной точке плоскости оуг выражается
формулой [7]
Ев —
«Ив
Ег
1 2^
+(—
у2
Ег
)sm2вcos2в +
есд^П
Еу
—1
Муг —
VlE
Е1(1 — V)
(17)
где в — полярный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси г в направлении против движения часовой стрелки. Корни У1 и у2 уравнения (15) имеют фундаментальное значение в решении задачи упругого пространства, находящегося в плоском деформированном состоянии, от действия единичных сил. Такие решения позволяют построить разрешающие граничные интегральные уравнения.
Пусть в неограниченном упругом теле действуют массовые силы X{(х), распределенные в ограниченной области ^. Действие этих сил вызывает де-
=
1
формацию тела, убывающую по мере удаления от области ^ и принимающую в бесконечности нулевое значение. Система уравнений равновесия в плоскости оуг трансверсально-изотропного тела представляется в виде
О дт
- + -
у7
+ 2 = 0,
дт
у7
д7 ду Записав закон Гука в виде Иу7 1
8 =-Е" О + т
у7
1
д7
+
дОу
ду
+ У = 0.
И
у7
Е7
Еу у
1
л. . . Иу7
£у = Ё~ (Оу - Иу7О7 ) = О 7 +— Оу,
Еу
Еу
(18)
(19)
получим
=
О7 = _2 87 + Иу7 2 еу, 1 - Иу7 1 - Иу
у7
О у = И
Е, Еу
уг _2 87 +
1 - И
у7
л -2 У 1 - Иу
у7
Ту7 = 01Уу7
Иу7 = И
У7
Е
Е„
Геометрические уравнения записываются так:
ди7
ди
8У=-
У
У у7 =
диу ди7
д7 ду
д7 у ду у7 Представив (20) в (18), с учетом (21) получим
Ъ
д2и7
11"
д7
+ ¿12
д 2иу
- + о
д2иу
дуд7 дуд7
+ Г
д 2и7
2
Г д2и2 +Г в1Цр + 01
22 д и7 , д и7
-7 + Ъ12 —7 + Ъ22
дуд7 дуд7
ду
д2и} ду 2
+ X = 0,
+ У = 0,
(20)
(21)
(22)
2 2 2 2 2 Е
где ¿11 = £7 /(1 - Иу7 ), ¿12 = Иу7Е7 /(1 - Иу7 ), ¿22 = Еу /(1 - Иу7 ), Иу7 = Иу7Е7 .
Еу
В работе [3] решением Кельвина для плоской деформации получены фундаментальные решения, соответствующие частному решению (22). Используя эти фундаментальные решения, получим граничные интегральные уравнения для численного анализа плоской задачи теории упругости анизотропного тела. Проведя сплайновую аппроксимацию граничных параметров, систему интегральных уравнений преобразуем в систему алгебраических уравнений п п п п
I 7 +1 7у = I ер +1 ^}ру],
7=1 7=1 7=1 7=1
I С7их7 + I ^/иу/ = I ЦРщ + I 7у7 .
7=1 7=1 7=1 7=1
1
О =
О -
Здесь их, иу — компоненты искомых перемещений на контуре отверстия; Рх, Ру — поверхностные напряжения; п — число граничных элементов. Коэффициенты при неизвестных и коэффициенты в правой части (23) выражаются в интегральной форме:
а- — | в-(4)Р*4,4У(4¥4, ¿у — | в- (4)Р*(4,4)Л4М4,
4 4
с- — | Bj(4)Р*х4,4)J(4)d4, ^ — | в-(4)Р*(4/,4)J(4У4,
— I в-(4)иХх(4/,4)J(4¥4, Уу- — I в-(4)и*у(4/,4)J(4У4, (24)
4 4г
— I в-(4)и*ух4,4)J(4)44, Иу — I в-(4)и*у(4/,4)^4)^4,
4/ 4
у у у у
ач — ач + СЧ5Ч , — + Сч5ч ,
где В(4) — базисный В — сплайн; J(4) — якобиан параметрического представления. Коэффициенты (24) определяются численным интегрированием в пределах
у
носителя базисного сплайна. Входящие в (24) функции Р (4/,4) и и(4/,4) являются фундаментальными напряжениями и перемещениями. При заданных напряжениях на поверхности из решения (23) определяется вектор перемещений на контуре полости в анизотропной среде в условиях плоской деформации. Затем, используя геометрические уравнения, вычисляются относительные деформации, и на последнем этапе определяется вектор тангенциальных напряжений.
На основе предлагаемого алгоритма разработана программа и получены результаты концентрации напряжений в подземных сооружениях Рогунской ГЭС. Геометрия выработок подземных сооружений (машзал и помещение трансформаторов) приведена на рис. 1. Дискретная модель подземных сооружений состоит из 126 граничных элементов нулевого порядка. Инженерно-геологические условия участка гидроузла: грунты сложены песчаниками и алевролитами, слои которых наклонены под углом 70 — 75° от горизонта по часовой стрелке [4,11,6].
Для площадки строительства Рогунской ГЭС основанием и средой почти всех сооружений гидроузла являются песчаники и алевролиты с
Е — 2,6 -104 — 3,8 -104МПа [5]. Для трещиноватого горного массива механические характеристики определяются по методике [9]:
Е2 — Е1 / (1 + ц), ц — 5 / И4, О12 — Е1 / 2(1 + ^ + ц), Е3 — Е1, ^ — ^/(1 + ц), Vз2 — Vl2, V23 — (Е2/Eз)vз2, Vзl — (Е3 /El)Vlз — Vlз , (25) здесь Е1, Vl - модуль деформации и коэффициент Пуассона в плоскости изотропии, И - расстояние между трещинами, 5 - ширина раскрытия трещины, 4 — 3 • 10—4 - постоянная величина. При заданных Е1, ^ , И, 5 из (25) получаем остальные параметры Е2, Е3 — Е1, О^, Vl2 — 0.057, Vlз — 0.2, Vз2, V2з, Vзl — Vlз, которые необходимы для решения задачи в условиях плоской деформации.
в
Нумерация контрольных точек. Анизотропия массива горных пород.
Согласно [10], машзал и помещение трансформаторов располагаются в едином тектоническом блоке, где сжимающие горизонтальные и вертикальные
напряжения соответственно равны о° = -35 МПа, <г° = -26 МПа. На рис. 2 и 3
показаны эпюры нормальных перемещений (ип считается положительным, если его направление совпадает с направлением внутренней нормали) и тангенциальных напряжений (растягивающее и3 считается положительным) на контуре подземных сооружений.
Для сравнения результатов напряженно-деформированного состояния контуров подземных сооружений Рогунской ГЭС при различных расположениях пластов горных пород и для изотропной модели в таблице приведены значения тангенциальных напряжений и нормальных перемещений контрольных точек. В таблице приведены значения напряжений и перемещений только для контрольных точек и эти значения могут не совпадать с экспериментальными значениями, которые получены при вычислениях и далее приведены для сравнения. Нумерация контрольных точек согласно рис. 1.
В таблице приведены значения тангенциальных напряжений в [МПа] и
нормальные перемещения ип в [см] контрольных точек контуров подземных
сооружений Рогунской ГЭС, при следующих данных: Е = 3.8 -104МПа -модуль деформации материала среды в направлении напластования; V1 = 0,3 -коэффициент поперечной деформации материала среды в направлении напластования; h = 40 см-толщина ненарушенного слоя; 8 = 0,03 см-ширина раскрытия трещин (к и ¿-параметры трещин). Остальные необходимые параметры определяются по формуле (25).
Для случая квазиизотропной модели геосреды с модулем деформации
Е = 9000 МПа, V = 0,3 от действия тектонических напряжений =-35 МПа, <т° = -26 МПа эпюры ип и приведены на рис. 2 и 3.
Рис. 2. Эпюра нормальных перемещений при расположении пластов под углом 75° от горизонтали по ходу часовой стрелки
Рис. 3. Эпюра тангенциальных напряжений при расположении пластов под углом 75° от
горизонтали по ходу часовой стрелки
Сравнение результатов показывает, что максимальное нормальное перемещение и п =26,93см возникает в случае квазиизотропной среды примерно в середине левой стены машзала. Из трех рассмотренных случаев анизотропии наибольшее значение нормальных перемещений соответствует вертикальному расположению пластов, где и п = 22,05см возникает также в середине левой стены машзала.
Таблица
Тангенциальные напряжения < и нормальные перемещения ип контрольных точек контуров подземных сооружений Рогунской ГЭС.
Напряжение и перемещение Контрольные точки Расположение пластов горных пород Квазиизотропия
у = 0° у = 90° у = 105°
<, МПа 1 -82.7 -93.75 -86.9 -77.93
2 -12.7 31.75 23.66 7.8
3 -156 -128.3 -118.99 -117.83
4 -20.5 12.3 -7.8 -2.03
5 -29.27 -23.35 -24.62 -21.72
6 -9.4 -37.69 -32.94 -21.25
7 -24.5 5.26 0.4 -7.5
8 -14.92 -104.8 -94.03 -94.87
9 -19.7 5.08 0.8 -5.4
ип , см 1 1.48 -1.55 -1.4 0.9
2 9.477 19.89 18.75 19.6
3 1.9 -1.2 -1.2 1.3
4 9.5 22.05 18.47 19.67
5 -4.56 -9.96 -9.78 -14.99
6 4.04 1.33 1.55 4.47
7 7.46 16.7 15.55 20.57
8 2.7 0.5 0.9 4.59
9 1.43 2.69 2.45 2.99
Следует отметить, что изменение нормальных перемещений по высоте левой стены помещения трансформаторов имеет знакопеременный характер. Конвергенция стен машзала имеет максимальное значение более 51см при квазиизотропной модели массива (рис. 2). Знакопеременный характер изменения нормальных перемещений также наблюдается на подошве помещения трансформаторов при вертикальном и наклонном расположении пластов, а также при квазиизотропии.
Знакопеременный характер изменения и п также наблюдается на кровле машзала при вертикальном и наклонном расположения пластов.
Анализ результатов концентрации тангенциальных напряжений показывает, что максимальное растягивающее напряжение возникает примерно в середине правой стены машзала (< = 33 МПа), а при наклонном расположении пластов - < = 25 МПа.
Концентрация напряжений наблюдается в угловых зонах, где резко возрастают значения тангенциальных напряжений, что свидетельствуют об особенности прямого угла. В угловых точках напряжения < стремится к бесконечности
[8], а максимальные сжимающие напряжения возникают в ключевой точке арки машзала при горизонтальном расположении пластов = -150 МПа).
При наклонном расположении пластов в середине кровли машзала =-118 МПа.
Из анализа результатов, приведенных в таблице, следует, что наибольшие напряжения возникают в точках 3 и 8, соответствующих середины кровли машзала и помещения трансформаторов.
Из таблицы следует, что анизотропия механических характеристик горных пород значительно влияют на напряженно-деформированное состояние контуров подземных сооружений.
При горизонтальном расположении пластов горных пород нормальные перемещения точек стен более два раза уменьшаются чем, при их вертикальном расположении.
Л и т е р а т у р а
1. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика горных пород. - М.: Недра, 1975. -272 с.
2. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механические процессы в породных массивах. М.: Недра, 1986. - 272 с.
3. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: «Мир», 1987. - 524 с.
4. Гуртовик Ф.И., Золотое О.Н., Куперман В.Л., Мостков В.М., Осадчий Л.Г. Оценка современного состояния строящегося подземного машинного зала Рогунской ГЭС// Гидротехническое строительство. - 1992, №3, с. 22-26.
5. Количко А.В. Инженерно-геологические условия строительства плотины Рогунской ГЭС// Гидротехническое строительство. - 1981, №10, с. 11-15.
6. Количко А.В. Современное состояние подземного машзала Рогунской ГЭС// Гидротехническое строительство. - 2002, №4, с. 35-39.
7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1974, 415 с.
8. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000. - 282 с.
9. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород. - М.: «Недра», 1975. - 223 с.
10. Семенов И.В., Горбов В.А. Исследование подземных выработок напорно-стационарного узла Рогунской ГЭС на сейсмические воздействия// ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, Л., 1982.
11. Сироджев Б.С., Петров В.И., Старков В.И., Ищук А.Р., Шварц А.В. Землетрясение 15 июня 1995 г. в районе строительства Рогунской ГЭС. - Душанбе, «Дониш», 1997. - 54 с.
12. Техника контроля напряжений и деформаций в горных породах. - Л.: Наука, 1978. - 229 с.
DISPLACEMENTS AND STRAINS OF COUNTOURS OF THE UNDERGROUND STRUCTURES IN CRACKED ROCK MASSIF
J.N. Nizomov, A.A. Hojiboev, O.A. Hojiboev
Problems of strain concentration and distribution of displacements around the contour of underground structures which are located in anisotropic and transverse isotropic rock massif are solved with numerical solution based on boundary integral equations.
KEY WORDS: fissured massif, underground structures, anisotropy, transversely isotropic massif, quasi-isotropic massif.
