CC BY
28
УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
EQUATION OF TRANSVERSE VIBRATIONS PRESTRESSED TRANSVERSELY ISOTROPIC PLATE
П.А. Гелюх, P.H. Степанов
P.A. Gelukh, R.N. Stepanov
ГОУ ВПО МГСУ
В статье, предварительно напряженные трансверсалъно-изотропные пластины принимаются как трехмерные трансверсалъно-изотропные тела и формулируются приближенные уравнения поперечных колебаний.
Pre-stressed transversely isotropic plates are taken as three-dimensional transversely isotropic bodies and formulate approximate equations of transverse vibrations of pre-stressed transversely isotropic plates.
Пластинки или в общем случае плоские элементы являются основными элементами многих современных конструкций. Во многих случаях материал плоского элемента предварительно-напряжен, что приводит к повышению прочностных свойств элемента.
В настоящей работе излагается теория колебания такого элемента для одного случая предварительного напряжения материала плоского элемента с учетом вязкости, т.е. на основе теории вязкоупругих сред.
1. Общая постановка задачи. Предварительно-напряженнную трансверсально-изотропную пластинку постоянной толщины будем рассматривать как вязкоупругую среду в трехмерной постановке, на внешних поверхностях которой задаются нестационарные внешние усилия или напряжения.
Пусть предварительно-напряженное состояние однородно в плоскости (x,y), т.е. оно имеет вид
wo = cz (1Л)
Зависимости напряжений а от деформаций s для предварительно напряженной пластинки имеют вид:
г A fiu dw
= [+ A12 b")] + (1 + c)A13 )
ox oy oz
г A fiu dw
^yy = [ A12 + A11^)] + (1 + c) A13
ox oy oz
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
ди ,ду дж
^ = ^ [(—) + + (1 + с) Азз (—)
дх
ду
"дг■
,дм>.
(1.2)
^ = А44[^) + (1 + €)(—)]
дг ду
ди
дws
^ = А*«—) + (1 + €)(—)]
дг
1
дх
ди ду.
°ху =- (А11 - А12)[7Т + Т",
2 ду дх
Где А, вязкоупругие операторы и равны
А (о=а,, а*) -'¡/(г -оасж _ 0
1 - I /, (№
, = а,
(1.3)
Уравнения движения материала пластинки в перемещениях запишутся как 1
-I
2
{А11^Г + Т (А11 - А12)^ТГ + А44^Г} +Т (А11 + А12 ) дх 2 ду дг 2
дхду
д ж
д и
+(1 + с)( А13 + А44)—— = р1—т
дхдг
дг2
д2у 1
52-
52-
{А1^ТГ + ~ (А11 - А12^^Г + А44ТГ} +Т (А11 + А12 ) ду 2 дх дг 2
д 2и дхду
д ж д V
+ (1 + с)( А13 + А44 ) Т-Г- = Р1 -ТТ
дудг дг
(1.4)
д2
,д2ж д2ж
д2-
(1 + с){ А33 —г + А44 (—— + —т)} + (А13 + А44) —- + (А13 + А44)
дг
дх ду
дхдг
д2 V
дудг
д2 ж ~дё
В общем случае колебания пластинки вызываются внешними усилиями, приложенными к поверхности пластинки, т.е. граничные условия, принимают вид
^ = (x, У, г)
^ = ^ (х, у, г) (1.5)
^ = К(x, y, г), (г = ±й)
Начальные условия задачи будем считать нулевыми.
Таким образом, трехмерная задача о колебании предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластинки сводится к решению уравнений колебания (1.4) с граничными условиями (1.5) и нулевыми начальными условиями Общие решения уравнений (1.4) будем искать в виде Гсоб ду
Ъ^ЬЦА [С
0 - соб кх 0 Бт ду
}йд | и1 ехр(рг)<ф
( е)
ГО Ах Ю '
v = f——}dk f Slnq }dq fvlexp(pt)dp (1.6)
о sin kx 0 - cos qy (f)
cos kx cos qy w = I-}dk I-}dq I wl exp(pt)dp
о sin kx о sin qy (f)
Подставляя (1.6) в уравнения (1.4) для определения ul,vl,wl получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общие решения уравнений строятся стандартными методами и равны Ul(0) = Alch(al z) + A1 ch(a2 z) + A3 sh(al z) + A4 sh(a2 z)
Vl(0) = Blch(ßz) + B2 sh(ßz) (l.7)
Wl(0) = Alwl sh(al z) + A2o>2 sh(a2 z) + AJmlch(al z) + A4®2 sh(a2 z)
Где al,a2,ß - корни уравнений (l + c) A30 A^ - {[ A4(40) + (l + c) A3 ]A p P + (l + c)[ AO A3 + A4? -
-(A^ + A^40))2](k2 + q 2)}a2 + [ Al(0)(k2 + q2) + A p 2][(l + c) (k2 + q2) + A p2] = 0 (l.8)
AZ}ß2 -[j« " A(0))(k2 + q2) + Plp2] = 0
При этом
AQ042 -[All0(k2 + q2) + Mp2] (l9)
' a,- (k2 + q 2)(l + c)( Al(30) + a40))
Разложим гиперболические функции в выражениях в степенные ряды по аргументам и введем вспомогательные неизвестные, которые являются первыми слагаемыми в рядах.
ию = Al + A;Vl0 = Bl;Wl0 = aI®I«I + A^w (l l0)
U20 = Clal + C2a2;V20 = ßB2;W20 = Clal + C2a2
Переходя от постоянных Aj,Bj, Cj к переменным (l.l0), и обращая полученные выражения по k, q, p, для величин U ,V ,W, через величины Uj ,Vj ,Wj получаем
общее решение задачи Коши.
Рассмотрим продольные колебания предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластинки.
2. Поперечное колебание. Поперечные колебания пластинки вызываются внешними усилиями, удовлетворяющими зависимостям F* = —F~ = F ; Fj2 = Fjz = Fjz, при этом вспомогательные неизвестные Ul,Vl,Wl равны нулю. Основной характерной неизвестной является поперечное смещение W2 и из общих уравнений поперечного колебания нетрудно получить приближенное, имеющее вид
4/2010 ВЕСТНИК
_МГСУ
d2W h2 1 d4W
+ т ^ТТ^ A331 + 3 A?]-^2" -A[2(1 + c) - 2 An A331 -6 (1 + c)
я2
-3(A2 - An A33) A331 Ajj1] — AW2 + [2(1 + c)(An A33 - A2) A331 ]A X} = (2.1)
ot
=1[-a4-;(Fz )] - A441( ^ ^)
h ox oy
Ограничиваясь в рядах систем продольного и поперечного колебаний большим числом слагаемых, нетрудно получить приближенные уравнения более высокого порядка по производным от искомых функций. Предлагаемый подход позволяет строго выводить граничные условия по краям ограниченного в плане плоского элемента.
Литература
1. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах, М, 2007г.
2. Егорычев О.О., Колебания плоских элементов конструкций, АСВ, М, 2005г.
References
1. 1. Filippov I.G., Filippov S.I. Oscillatory and wave processes in continuous compressible media, M, 2007.
2. 2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.
Ключевые слова: предварительно напряженная трансверсально-изотропная пластина, продольное колебание, приближенное уравнение, граничные условия, уравнения колебания, задача Коши, вязкоупругая среда
Key words: pre-stressed transversely isotropic plate, the longitudinal vibration, the approximate equation, boundary conditions, wave equation, Cauchy problem, viscoelastic medium
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26
e-mail: rnstepanov@gmail.com Контактные данные: (495)183-24-01, e-mail: rnstepanov@gmail.com
Статья представлена Редакционным советом «Вестник МГСУ»
