Уравнения Лагранжа на алгебрах обобщенных комплексных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство. Пусть I ^ к. Вычислим (Akif)(x) = (Ikihkf){x)• По определению //* имеем __

СAkif){x) = ЕЕ/м.

хСуу Эи

где х,и £ Нк,у £ Н1. Переставляя суммирования, получаем

(Лы/)(*) =£/(«) Е 1, (2)

и yD(xUu)

Пусть |х П и| = к — s, s = 0,1,..., fc. Тогда дополнения к множеству х U и в М ив у состоят соответственно из п — к — s и I — к — s точек. Поэтому внутренняя сумма в (2) равна количеству способов, которыми можно взять I — к — s точек из п — к — s. Следовательно,

и««*)=£(;:£:;) е /<->•

s=0 |жПгг|=/г —s

Возьмем альтернированную сумму Aki по I:

,/)(*)=е ”:*:ss ) е /(«)• (з)

l=k s—0 |жПгх|=/г—s

Она равна нулю, так как альтернированная сумма чисел в строке треугольника Паскаля равна нулю, если строка состоит более, чем из одного числа. Последнее условие обеспечивается условием к < п/2. Итак,

¿(-1)'-Чи=0, (4)

1=к

что и есть (1), так как Akk = Е. □

Замечание. Пусть к ^ п/2. Тогда найдется такое s = 0,1,..., к, что к + s = п, т.е. s = п — к. Для такого s сумма по I в (3) состоит только из одного слагаемого, равного 1, и вместо (4) получаем

¿(-1 )l-\Aklf){x) = (-I)”“* £ /(«).

1=к \хПи\=2к—п

Поэтому к правой части (1) надо добавить (—1 )n~kIk'k n\ операторы 1^ определены в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Кольцова С.В., Поленкова С.В. Конечная интегральная геометрия и некоторые формулы

обращения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. Т. 10. Вып. 1. С. 11-12.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА НА АЛГЕБРАХ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

© Н.А.Малашонок, В. Н. Казаков

Пусть А - алгебра С, А, © комплексных, дуальных, двойных чисел, соответственно (г = х+ гу, х,у £ К, г2 = а, а — —1,0,+1). Показательная функция е2 определяется обычным рядом. Движением алгебры А назовем преобразование г •-> аг + Ь, где а = е,|р,^еК,ЬбА. «Скалярным произведением» векторов 2 = х + гу, ъи = и = ги из А называем действительное число (г, ю) — хи — ауу.

На плоскости А рассмотрим систему N точек с I голономными идеальными, вообще говоря, нестационарными связями. Эта система лежит на многообразии М. размерности п = 2М — I. Введем на М. криволинейные координаты с/„. Тогда для точки г Є Л4 имеем г = г(ц\,..., дп, і). Пусть

данная система точек движется согласно закону = 1,..., /V, под действием активных

сил, равнодействующая которых для каждой равна

Скорость точки г на плоскости Л определяется как і = dz/dt,t - время. Обозначим через г ускорение точки г. Инвариантные аффинные связности для А = С и А = В нулевые. Поэтому в этих случаях і = 'і. Для А = Л аффинные связности зависят от трех вещественных параметров А, В, С. В этом случае ускорение есть £ = г + Ахі + іСх2.

Для алгебр А имеет место принцип Даламбера-Лагранжа: ХХт.?% — Fj,dzj/dt) = 0. Перейдем к криволинейным координатам. Обозначим дг^ддк) = С}к• Заметим, что Т = (1/2) ^ mj(zj,zj).

Для €иі получим классические по форме уравнения Лагранжа II рода для кинетической энергии:

В случае, когда силы, действующие на систему точек, потенциальны, определяем функцию Лагранжа L традиционным образом и получаем уравнения: (d/dt) (dL/dqk) — dL/dqk =0, к — 1,... ,п. Для Л получаем следующие уравнения Лагранжа для кинетической энергии:

Поскольку скалярное произведение на дуальной плоскости «вырожденное», оно не зависит от ординат точек системы, то уравнение (1) описывает изменение только тех криволинейных координат, от которых зависят абсциссы точек.

Например, движение математического маятника с нитью длины I для любой плоскости А имеет одну степень свободы и требует для описания одну криволинейную координату - угол ip между нитью маятника и положением равновесия. Мы получаем одно уравнение Лагранжа. Для связи декартовых координат и криволинейных такая: х = lcosip\y = Isixup. Уравнение Лагранжа (оно одно) представляет классическое уравнение математического маятника: (р 4- (g/l)s\xup — 0. Для Ш> имеем: х = Iship; у = Ichip или х = /sh<yj; у = —Ichip. Уравнение Лагранжа, соответственно, ф + (g/l,)suup — 0 или х = Iship; у — Ichtp. Эти уравнения описывают движение по верхней или нижней ветви гиперболы. На дуальной плоскости: х = 1\у = /</?. Это тот случай, когда уравнения Лагранжа II рода не описывают движение, т.к. абсцисса точки постоянна, не зависит от ip.

Рассмотрим на дуальной плоскости пружинный маятник: однородный стержень длиной I и массой mi вращается вокруг начала координат; на стержень на пружине нанизан шарик массой m2; длина пружины в ненапряженном состоянии равна Ъ, а жесткость - к. Рассматриваем систему двух точек: центр тяжести стержня zi = (xi;yi) и шарик маятника zi = (х2 \ уъ)- В этом случае движение описывается двумя криволинейными координатами: углом ip между стержнем маятника и положением равновесия и длиной q пружины. Связь между декартовыми и криволинейными координатами такая: Xi = l/2\yi = -Cl2/8 + р1/2; ж2 = q; у2 = ~Cq2/2 + ipq. Абсциссы обеих точек не зависят от ip, поэтому уравнения Лагранжа второго рода будут описывать движение системы только по координате q , получим только одно уравнение: Ш29 + Am^q2 + kq = m2g — kb.

1. Молчанов В.Ф., Малашонок H.A. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного //V Державинские чтения: Матер, научн. конф. преподавателей и аспирантов. Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2000. С. 5-7.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

(1)

ЛИТЕРАТУРА