CC BY
18
Вестник ТГУ, т. 10, вып. 1, 2005
Эту теорему можно переформулировать так. Определим оператор '■ L(Hl) —> L(Hk) фор-мулой:
(4rV)(^) = Y, V(y)-
\хПу\—р
Тогда при 1 ^ к < I, к + 1 = п, имеет место следующее разложение единичного оператора Е в L{Hk)\
\ I - к ) ^ fc(m) ^ Ы ’ 1к'
' 7 771=0
ЛИТЕРАТУРА
1. Кольцова С.В., Поленкова С.В. Интегральная геометрия на n-мерном симплексе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 4. С. 409-415.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
© С.В. Кольцова, С.В. Поленкова
Основные задачи конечной интегральной геометрии были сформулированы в [1]. В настоящей работе мы пишем формулу, восстанавливающую функцию на ¿-гранях в n-симплексе по ее интегралам по I- граням с использованием всех I > к.
Пусть М - множество, состоящее из п элементов (точек). Количество элементов в конечном множестве х мы обозначаем через |х|. Пусть Нк, к = 0,1,... ,п, - совокупность подмножеств х С М с |æ| — к. Пусть Ь(Нк) - пространство функций на Нк со значениями в С. Определим оператор ("интегрирование") Iik ■ L(Hk) —> L(Hl) формулой:
сы(у) = f(x)-
|æny|=min {&,/}
Для l > к и l < к имеем, соответственно,
(■Iikf)(y) = f(x), (hkf)(y) =
xCy xDy
кроме того, Ikk = E (тождественное преобразование). Введем в L{Hk) скалярное произведение:
(f,9)k = f(x)g(x).
х£Нк
Операторы 1ы и Iik сопряжены:
(hkf,4>)i = (f,hi<p)k-
Теорема. Пусть 1 ^ к < п/2. Всякая функция / 6 L(Hk) восстанавливается по ее "интегралам" Iikf,l > к, следующим образом:
п—к
/(*) = £(-1)^(4 ,k+j Ik+j,k
3=1
или, в операторной форме:
п—к
Е = 5^(-1)i+1/fc1fc+,■/*+,■,*. (1)
3=1
Доказательство. Пусть I ^ к. Вычислим (Akif)(x) = (Ikihkf){x)• По определению //* имеем __
(.Akif)(x) = ЕЕ /м.
хСуу Эи
где х,и £ Нк,у Е Н1. Переставляя суммирования, получаем
(Лы/)(*) =£/(«) Е 1, (2)
и yD(xUu)
Пусть \х П и| = к — s, s = 0,1,..., fc. Тогда дополнения к множеству х U и в М ив у состоят соответственно из п — к — s и I — к — s точек. Поэтому внутренняя сумма в (2) равна количеству способов, которыми можно взять I — к — s точек из п — к — s. Следовательно,
и««*)=£(;:£:;) е /<->•
s=0 |жПгг|=/г —s
Возьмем альтернированную сумму Аы по I:
,/)(*)=е ”:*:ss ) е /(«)• (з)
l=k s—0 |жПи|=А; — s
Она равна нулю, так как альтернированная сумма чисел в строке треугольника Паскаля равна нулю, если строка состоит более, чем из одного числа. Последнее условие обеспечивается условием к < п/2. Итак,
¿(-1)'-Чи=0, (4)
1=к
что и есть (1), так как Akk = Е. □
Замечание. Пусть к ^ п/2. Тогда найдется такое s = 0,1,..., к, что к + s = п, т.е. s = п — к. Для такого s сумма по I в (3) состоит только из одного слагаемого, равного 1, и вместо (4) получаем
¿(-1 )l-\Aklf){x) = (-I)”“* £ /(«).
1=к \хПи\=2к—п
Поэтому к правой части (1) надо добавить (—1 )n~klj?kk n\ операторы 1^ определены в [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Кольцова С.В., Поленкова С.В. Конечная интегральная геометрия и некоторые формулы
обращения // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. Т. 10. Вып. 1. С. 11-12.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА НА АЛГЕБРАХ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
© Н.А.Малашонок, В. Н. Казаков
Пусть А - алгебра С, А, © комплексных, дуальных, двойных чисел, соответственно (г = х+ гу, х,у 6 К, г2 = а, а — —1,0,+1). Показательная функция е2 определяется обычным рядом. Движением алгебры А назовем преобразование г •-> аг + Ь, где а = е,|р,^еК,ЬбА. «Скалярным произведением» векторов 2 = х + гу, ъи = и = ги из А называем действительное число (г, ю) — хи — ауу.
