О некоторых оценках решений краевых задач уравнений с дивергентной главной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

здесь /* = (1 — р)(п 3^2/, а ат(1г) - коэффициенты Тейлора функции /г в разложении по степеням р. Операторы Ь\,к сплетают Я\ с Т^х-п-2к и дают диагонализацию представления М\ для А ^ (—п — 4)/2 - N.

Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении М\, их количество равно [(—2А — п)/4].

Пусть 1к,к £ - полоса (—2 — п)/2 + 2к < 11еА < (2 — п)/2 + 2к, в С. Разложение представления

Да для для X Е 1к делается аналогично [2]. Например, для А € То представление Да разлагается в прямой интеграл представлений Та непрерывной серии (а = (2 —п)/2+гр) с кратностью 1. А именно, сопоставим каждой функции / £ Г>(В) совокупность {-Ра1СГ/}. Это соответствие (7-эквивариантно. Справедлива формула обращения:

/ОО

^(ст)РА,2-п-<7 ^А,а / ( Ф,

-оо (т=(2-п)/2+гр

где ш(а) = [А-К]{(т) ¿(2 — п — с)]-1. При сг = (2 — п)/2 + гр множитель и [а) есть плотность меры Планшереля для квазирегулярного представления.

Для других полос ограничимся формулами для граничных операторов тт\<т для 1к+1 и Па,то для 1-к-1, к 6 М, ш = 0,1,... к:

^^

^А,т “ 2 | ]{2 71 А + 2гп) £а,т 0 Г\ 2 — п—А+2т 1

771!

ПА,т = ^(А + 2 + 771) Р\,\+2+2т ° ,т-

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 84-86.

2. Грошева Л.И. Разложение канонических представлений на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 86-88.

3. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 44-46.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УРАВНЕНИЙ С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ

© Э.Л. Казарян

Пусть П - ограниченная область в пространстве Е", Г - граница области П, Qr - цилиндр О х [0, г], т.е. совокупность точек (х, t) пространства Мп+ с х в fi, t € [0,т].

Напомним определение некоторых пространств, введенных в [1], состоящих из функций, непрерывных в смысле Гельдера.

Будем говорить, что функция и(х), определенная в удовлетворяет условию Гельдера по а: с показателем а £ (0,1) и константой Гельдера (и)[^ в области П, если

и(х) - и(х') , ,(а)

sup ...... ,1 = Ы)о < +0°.

\х — х \а N /п

где sup берется по х,х' £ О таким, что |х — х'\ ^ ро, ро - некоторое малое число.

Пусть I - нецелое положительное число и [/] - его целая часть. Банахово пространство Hl (Ti) состоит из непрерывных в fl функций и(х), которые имеют в Г2 непрерывные производные до порядка [/] включительно и для которых величина

М

Mn = (u)q + £(и)о} (!)

з=о

конечна, где

(w)q0) = luln0) = maxn|u|,

<«>«> = £ I<!*)« = (4ml«>ii"W).

m^.j |m|^[/]

мы используем мультииндексные обозначения: т — \т\ = т\ + ... + тп,

D? = П (д/дхЛт<.

Равенство (1) определяет норму в Н1(й). Обозначим через Hl'l^2{Qr) банахово пространство

функций u(x,t), непрерывных в QT вместе со всеми производными вида DlDsxu при 2г + |s| < I и с

конечной нормой

м& = <«>&+£<“>£■ (2)

3=О

Мы будем рассматривать пространства Н1(П) и Hl,l/2(QT) при I = 2 4- а и I = 1 + а, а 6 (0,1). Обозначим через £7- множество точек (х, t), х 6 Г, t 6 [0,т]. Стандартным образом вводятся пространства Н1(Г) и Н1'Ч2{Ит)-

Рассматривается следующая задача: ищется такая функция oj(x,t), что

п ^

^ ~ °> ОМ) € <2т, (3)

г= 1 г

п

'^2ai(x,üj,ux) cos(n,Xi) +Ljt = {x,t) 6 £r> (4)

¿=1

ш(ж,0) = oJo(x), x £Г, (5)

где n - нормаль к Г, внешняя по отношению к П. В предположении, что выполнены условия

п

'^aipi'zvp2, f,fx <Е LooiQr), (6)

г=1

где v — v(\üj\) - положительная непрерывная функция, в работе получены априорные оценки для тах |ш|, тах |шж|,тах \ujt \ на Qt решения задачи (3)-(5) и доказана гельдеровость функций с

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

КОНЕЧНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ

© С.В. Кольцова, С.В. Поленкова

Интегральная геометрия (в смысле Гельфанда) изучает интегральные преобразования, ставящие в соответствие функциям на многообразии X их интегралы по подмногообразиям из некоторого семейства Y. Таким образом, эти преобразования переводят функции на X в функции на Y. Основные задачи состоят в описании образов и ядер этих преобразований и нахождении формул обращения,