О разрешимости краевой задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Разложение канонических представлений на плоскости Лобачевского // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 142—144.

2. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве, (см. настоящий том)

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ НА ПЛОСКОСТИ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

© Э.Н. Деребизов

В настоящей заметке мы описываем все конечномерные подпространства функций /(х, у) класса С°° на плоскости К2, инвариантные относительно группы С движений плоскости (параллельные переносы и вращения).

Сразу видно, что пространство 5* многочленов от х,у степени ^ к является инвариантным относительно (3. Однако, это не все такие пространства. Например, в пространстве размерности 6 содержится инвариантное подпространство размерности 4 с базисом х2 + у2,х,у, 1.

Удобно от переменных х, у перейти к переменным г = х + 1у, г = х — ¿у.

Теорема. Всякое неразложимое (7-инвариантное конечномерное подпространство в С00 (К2) задается парой чисел р, <7 6 N = {0,1,2,...} и состоит из многочленов /(г, г) степени ^ р по г и степени ^дпог. Его размерность равна (р + 1)(<? + 1).

Доказательство. Алгебра Ли д группы (7 имеет своим базисом следующие три дифференциальных оператора:

д д Т .( д _д\

дг' дг' 1 \ дг 2 дг ) ’

Соотношения коммутации

д д' п [А /1 . д [А /1

дг' дг = и, дг' ~гдг дг'

Пусть К - подгруппа в (?, состоящая из вращений. Оператор Ь отвечает этой подгруппе.

Пусть V - конечномерное пространство в С°°(Е2), инвариантное относительно С. В силу компактности группы К пространство V распадается в прямую сумму собственных относительно К подпространств. Возьмем какой-нибудь собственный вектор / из V: Ь/ = гтп/, тп € Ъ. Из соотношений коммутации получаем, что векторы (д/дг)/ и (д/дг)/ являются собственными для Ь с собственными числами г(гп—1) и г(т+1), соответственно. В силу конечномерности V существуют числар и ц из N такие, что (д/дг)р+х/ = 0, но (д/дг)р/ ф 0, и (д/дг)(,+1 / = 0, но (д/дг)4/ ф 0. Следовательно, / есть многочлен от г и г степени р и <7, соответственно. Так как / - собственный для К, то / = Сгргч, так что тп = р - д. Действуя на / операторами д/дг и д/дЪ, мы получим все многочлены от г и г степеней не больше р и </, соответственно. Полученное подпространство в V неразложимо. □

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

© Э.Л. Казарян

Пусть П - ограниченная область в К", п ^ 2, с гладкой границей 5. Будем говорить, что функция и(х) в области П удовлетворяет условию Гельдера (непрерывна по Гельдеру) с показателем а 6 (0,1), если

88

/ vial |u(x) -u(x')|

<«)<“> := sgpg.s'en |а._ж>[а < +oo-

(1)

Пусть С1+а(П), I = 0,1,2,..., - банахово пространство, элементами которого являются непрерывные в П функции, имеющие непрерывные производные до порядка I включительно с нормой

Мп+а) = Щ вир^иСх)! + ^2 эир^Мх))^,

1*1=0 |*м

где к = (&1, ¿2,..., кп) - мультииндекс, к% ^ 0, г = 1,2,... ,п, £)* = дк1+ "+кп/дх*' . . .¿?х*" В области П рассматривается задача:

д2и

(2)

L(u) = Hau(x>u>u*)fo^T +o(x,u,ti,) = 0,

М(и) =

ди

b(x,u,uz) + ^biix^)— + b0(x,u)

= 0,

в предположении, что уравнение (3) равномерно эллиптично, т.е.

51 a»j0е.«,«*)&& ^ И£|2> " = const > 0,

И

^[6р,.(х,и,р) -»-¿¿(х,и)]соз(п,х<) ^ ^maxdul.lpl),!/! >0

(3)

(4)

(5)

(6)

Вопрос разрешимости краевой задачи (3)-(4) сводится к вопросу существования неподвижных точек у некоторых преобразований в банаховых пространствах [1], [2]. Для этого запишем граничное условие (4) в следующем виде:

db{x,u,p) I

dp, lp=tu,

Пусть v G С1+а(П). Обозначим:

dt + bi(x,u)

«i, +u> = {-6(x,u,0) - b0(x,u) + u} .

J S IS

Sjj(x) = dij(x,v,vx), a(x) = a(x,v,vx),

bi(x) = [ Jo

1 db{x,v,p)

дРх

dt + bi(x,v),

ip(x) = -b(x,v(x), 0) -b0(x,v(x)) + v(x) и рассмотрим следующую задачу:

^2aij{x)uxixj + а(х) = 0, Jb(x)ux,- + uj |^= ф(х),

(7)

(8)

Задача (7)-(8) является линейной задачей относительно функции и(х) и при некоторых предположениях решение этой задачи единственно и принадлежит С2+“(П).

Получаем, вообще говоря, нелинейное преобразование и = Ф(г>). Неподвижные точки этого преобразования будут решениями задачи (3)-(4).

Пусть Ь0 и Мо - дифференциальные операторы того же вида, как Ь и М, соответственно, причем задача (3)-(4) для этих операторов однозначно разрешима в С2+а(П).

Исследуемую задачу (3)-(4) включим в семейство задач, зависящих от параметра т € I = [0,1]:

Ьт(и) = тЬ{и) + (1 - т)Ьо(и) = 0, х € П,

Мт(и) = тМ(и) + (1 - т)Мо(и) =0, х € 5. При т = 1 задача (9)—(10) переходит в задачу (3)-(4).

(9)

(10)

Определим преобразование А: элементу (u,v,t), где и € C2+“(ü), v 6 C1+a(fi), reí, ставим в соответствие пространство пар элементов {/,<р}, где / G ip G C1+Q(S), (оно определяется аналогично

с помощью формулы (2) с нормой I/In“* + Ms+Í^)-

Существование и единственность решения задачи (9)-(10) вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Пусть В\ и В-х - два банаховых пространства, u,v,t - элементы из В i, В-2 и I, соответственно. Предположим, что А - непрерывное отображение прямого произведения В\ хВ2х/ в банахово пространство В\, имеющее при каждом v производную по Френе Au(u,v,t), непрерывную по (и, V, т) и удовлетворяющее следующим условиям:

1) для любого решения уравнения

Au(u,v,t) = 0, (11)

оператор Au(u,v,t) имеет ограниченный обратный;

2) множество всех решений уравнения (11), отвечающих всем т € I, компактно в В\;

3) при некотором фиксированном т из I существует единственное решение и уравнения (11). Тогда при каждом т е [0,1] уравнение Au(u,v,t) = 0 однозначно разрешимо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

2. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Наука, 1957.

О ДОПУСТИМЫХ КОМПЛЕКСАХ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

В ПРОСТРАНСТВЕ С"

© С. В. Кольцова

Обозначим через Нп$ многообразие двумерных плоскостей в С". Оно имеет размерность 3п - 6. Почти всякую плоскость из 2 можно задать уравнениями ц = а*а;п_1 + + 7*, г = 1,...,п - 2.

Комплексом называется любое п-мерное подмногообразие в НП 2- Если с каждой двумерной плоскостью в комплекс входит некоторое однопараметрическое семейство параллельных ей двумерных плоскостей, то такой комплекс назовем комплексом общего положения.

Пусть комплекс К общего положения допустим в смысле [1]. Тогда [2] его можно задать уравнениями:

Х{ — а,х„ _ 1 + Р^Хп +71) 1 = 1,...,» 2, (1)

7« + ' 7п-2 + £* = 0, 1 = 1,...,» - 3, (2)

ОРп-2

А + ^» = 0, 1 = 1,...,» —3, (3)

где = ^¿(а 1, • • • ,<*П-г./^п-г), = £*>»(<*1,... ,ап-2,Рп-г) - достаточно хорошие функции от п - 1 переменных ,а„-2,/Зп-2- Таким образом, в качестве локальных координат на К мы берем п переменных

0(1, ... , ап-2, $п—21 7п—2-

Теорсма1. Для того чтобы комплекс К общего положения, заданный уравнетчиши (1), (2), (3) был допустим, необходимо и достаточно, чтобы функции ф{ и удовлетворяли системе уравнений

дгрг _ у? дф± дф3 . .

дап-2 “ да, д()п-2 ’ ди>{ _ ? / дш{ дфj дф{ ди] \

дап-2 ~ “ \docj дрп-г + доц д(Зп-2 ) ’