Разложение канонических представлений на комплексном гиперболическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из-за недостатка места мы не пишем вычеты. Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении Ь\. Их количество равно [(2А + п)/2].

Преобразование Фурье Е\>а имеет полюсы по а в точках

а — —А - п - к, а - А + / 4-1, к, I Е N. (2)

Если полюс р, принадлежит только одной из серий (3), то он - простой, а вычеты соответственно равны (1/2),7'(-А — п — к)Ь\'Ь и (-1/2)Л_а-п-/&а,ь гДе &а,к ~ граничный оператор Т>(0) —> ®(5), определяемый через коэффициенты Тейлора ат(/) функции / по р:

Ь\,к = X) { Е^1)' ( П~12 ) ^-А-п-М-т-Д «„,(/).

т=О ч /=0 )

Они сплетают Л\ с Т-х-п-к и дают диагонализацию представления М\ для —2А — п — 2 $ N. Для полюса р второго порядка (тогда ц = —А —п — к = Х + 1 + 1 и еще (г < 0 для целого А) старший лорановский коэффициент равен Л_а-п-*&а,/ при к ^ I и j(^J.)b\<k при к ^ I. Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении М\ для — 2А—п—2 € N. Количество таких клеток равно [(—2А—п)/2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями // Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 44-46.

РАЗЛОЖЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НА КОМПЛЕКСНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Л.И.Грошева

Настоящая работа является распространением нашей работы [1], в которой рассматривалась плоскость Лобачевского, на произвольное комплексное гиперболическое пространство D = G/К, где G = SU(n—1,1), К = U(n — 1). Мы даем разложение канонических представлений R\, А Є С, группы G на пространстве D. Мы отсылаем к [2] за основными определениями: реализация пространства D в виде комплексного шара гг' < 1 в С"-1, его граница 5, представления Rx^Ta (А,сг є С), сплетающий оператор Аа, преобразования Пуассона и Фурье P\i(T и F\t(r, пространство Е*(D) обобщенных функций на D = DUS, сосредоточенных на 5, граничные проекции : T)(S) -» S*(P), граничные операторы бд,* : "D(D) -> V(S) и т.д.

Мы ограничимся разложением представлений R\, для которых А лежит в полосах /*: (1/2)(-1—п)+£ < ReA < (1/2)(1 — п) + к, к Є Z, на комплексной плоскости.

Т е о р е м а 1. Пусть А 6 /о- Тогда каноническое представление R\ разлагается в прямой интеграл представлений Тс непрерывной серии (а = (1/2)(1 — п) + {р) с кратностью 1. А именно, сопоставим каждой функции } £ Р(£>) совокупность {Р\<а}}, а = (1/2)(1 — гг) -+-г/?. Это соответствие С-эквивариантно. Справедлива формула обращения:

1=[ ш(<т)Ра,1-п-<т^А1(Т/ ар, (1)

У-оо <т=(1/2)(1-т»)+«р

где

и((т) = ^7Г-2п(2а + п - 1) • Бт(2<7 4- п)п • Г2(-а)Г2(а + п - 1).

О

Для вещественных А Є /о эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений. Разложение (1) справедливо не только в смысле поточечной сходимости, но и в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций Х>'(£)).

Продолжим аналитически по А разложение (1), рассматриваемое в Т>'(Б), из полосы /0 в полосу /*+ь к Є N = {0,1,...}. Полюсы <т = А- тист = 1- п- А + т, т = 0,1,..., Л, подинтегральной функции (это

- полюсы преобразования Пуассона Р\д_п-<г) пересекают линию интегрирования Re А = (1 —п)/2 и дают дополнительные слагаемые. Мы получим

/ОО к

+ X ,т(Л, (2)

■°° т=О

где символ интеграла обозначает правую часть (1) и

/______________________1\т

т = 2 j j'(l TI А + TTl) £а т ° F\,1—п—А+т• (3)

т!

Операторы (3) распространяются и на £*(£>). Тогда на пространстве T>i¡[D) = T>(D) + Е*(£>) оператор

7Га,ш есть оператор проектирования на образ V\tTn оператора £л,т- Разложение (2) тоже распространяется

на обобщенные функции / из Е*(£>). В этом случае интеграл в (2) исчезает, и (2) дает разложение / по ее проекциям на V\¡m.

Т е о р е м а 2. Пусть А € h+i, D{D)> fe € N. Тогда пространство V(D) должно быть дополнено до пространства T>k(D). На этом пространстве T>k{D) представление R\ распадается в сумму двух слагаемых: первое слагаемое разлагается как R\ в теореме 1, а второе разлагается в сумму k + 1 неприводимых представлений Т\-п-\+т, т — 0,1,..., fc. А именно, сопоставим функции f (Е T)k(D) совокупность {F\,of, к\,т{})}, гдеа = (1/2)(1 -n) + ip, т = 0,1,..., к. Это соответствие G-жвивариантно. Функция / восстанавливается по формуле обращения (2).

Для вещественных А в интервале ((1 - п)/2,0) эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений.

Теперь продолжим (1) аналитически по А в полосу А: £ N. Здесь дополнительные слагаемые

получаются из-за полюсов о = —А - п — т и о = А + 1 + т, т = 0,1,..., к, подинтегральной функции, это

- полюсы преобразования Фурье F\í<x. Мы получаем

/ОО 00

+ X п*,т(/),

•°° т=0

где символ интеграла обозначает правую часть (1) и

Па,тп = j(А + 1 + m)_1 Ра.А+1+тп о Ьл,т-

Оператор Па,™ является оператором, отображающим V(D) на образ преобразования Ра,а+1+ш-

Пусть Tk(D) - пространство функций / на D класса С°° на D и на S и имеющих разложение Тейлора порядка к на границе:

f{z) = a0(s) + a¡ (s)p + ... + ak{s)pk + o(pk), где z = rs, 0 < r < 1, s € 5, am G V(S), p = 1 - г2. Пространство Tk(D) содержит T>(D).

T e о p e м a 3. Пусть A € I-k-i, к 6 N. Тогда представление R\, рассматриваемое на Tk(D), распадается в сумму двух слагаемых. Первое из них действует в подпространстве функций / таких, что am(f) = 0, т = 0,1,и разлагается как R\ в теореме 1. Второе действует на сумме образов преобразований Пуассона Ра,а+1+»п, тп = 0,1,...,fc, и разлагается в прямую сумму k + 1 неприводимых представлений Т_л-n-mi m = 0, l,...,fc (действующих соответственно в образах преобразований Рх, а+i+nij*

В разложении канонических представлений жордановых клеток (как в разложении граничных представлений) нет.

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Разложение канонических представлений на плоскости Лобачевского // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 142—144.

2. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве, (см. настоящий том)

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ НА ПЛОСКОСТИ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

© Э.Н. Деребизов

В настоящей заметке мы описываем все конечномерные подпространства функций f{x,y) класса С°° на плоскости R*, инвариантные относительно группы G движений плоскости (параллельные переносы и вращения).

Сразу видно, что пространство 5* многочленов от х,у степени ^ к является инвариантным относительно G. Однако, это не все такие пространства. Например, в пространстве Si размерности 6 содержится инвариантное подпространство размерности 4 с базисом х2 + у2,х,у, 1.

Удобно от переменных х,у перейти к переменным z = х + iy, z = х — гу.

Теорема. Всякое неразложимое G-инвариантное конечномерное подпространство в С00 (К2) задается парой чисел р, q 6 N = {0,1,2,...} и состоит из многочленов f(z,z) степени по z и степени ^ q по z. Его размерность равна (р + 1)(<7 + 1).

Доказательство. Алгебра Ли g группы G имеет своим базисом следующие три дифференциальных оператора:

д_ д_ (

dz’ dz’ 1 \ dz dz)

Соотношения коммутации

д д' = 0, [А ,1 . д \9 /1

dz ’ dz dz' ~1дг' .dz .

Пусть К - подгруппа в (7, состоящая из вращений. Оператор Ь отвечает этой подгруппе.

Пусть V - конечномерное пространство в С°°(М2), инвариантное относительно (7. В силу компактности группы К пространство V распадается в прямую сумму собственных относительно К подпространств. Возьмем какой-нибудь собственный вектор / из V: Ь/ = гт/, т € Ъ. Из соотношений коммутации получаем, что векторы (д/дг)/ и (д/дг)/ являются собственными для Ь с собственными числами г(т—1) и г(т+1), соответственно. В силу конечномерности V существуют числа р и ^ из N такие, что (д/дг)р+1 / = 0, но (д/дг)р/ ф 0, и (д/дг)ч+1 / = 0, но (д/дг)4/ ф 0. Следовательно, / есть многочлен от г и г степени р и <7, соответственно. Так как / - собственный для К, то / = Сгргч, так что тп = р - ц. Действуя на / операторами д/дг и д/&г, мы получим все многочлены от г и г степеней не больше р и q, соответственно. Полученное подпространство в V неразложимо. □

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

© Э.Л. Казарян

Пусть П - ограниченная область в К", п ^ 2, с гладкой границей 5. Будем говорить, что функция и(х) в области П удовлетворяет условию Гельдера (непрерывна по Гельдеру) с показателем а 6 (0,1), если