Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

<мм-(кгГ-"ЫЬГ",ад-

Теорема. Оператор Апереводит базис хи из Pol (К"-1) в базис в Pq(K"_1) с множителями:

А^хи = ыг{ц,е)6^\

где г = ui + ... + ип-1, и

и>г{ц,є) = 2n_1 7ТП-2 Г(—/І - п + 1)Г(// + 1 - г) • [cos (/і + 7Г - cos (є + 7г] ,

и обратно, оператор переводит базис 6^(х) в базис хп с множителями:

л ^ Ы - + Н

Г(/х — г + 1)

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотова Н.Б. Полиномиальное квантование на пространстве SL(n, R)/GL(n - 1,R) // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 141-142.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА И ФУРЬЕ, СВЯЗАННЫЕ С КАНОНИЧЕСКИМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ НА КОМПЛЕКСНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Л.И.Грошева

Настоящая работа распространяет нашу работу [1], где была рассмотрена плоскость Лобачевского, на произвольное комплексное гиперболическое пространство С/К, где (7 = БII(гг - 1,1), К = Щл - 1). Это пространство можно реализовать как комплексный шар Б : гг' < 1 в С"-1, где г - вектор-строка (гг,..., гп—1), штрих означает транспонирование. Группа С? действует на Ю дробно-линейно:

га + 7 / а в \

*= и 6 )'

здесь матрица д Е (7 записана в блочном виде соответственно разбиению тг = (п -1) +1. Пусть 5 - граница шара £>, она есть сфера гг' = 1 размерности 2п - 3. Группа б действует на 5 транзитивно. Подгруппа К состоит из блочно-диагональных матриц.

Инвариантная относительно (7 мера на И есть с1ц(г) = р~п<1г, где р = 1 — гг', (1г - евклидова мера на £>. Пусть (Г, /)о ~ скалярное произведение в Ь2(0,(1ц(г)).

Представления Та группы (7, связанные с конусом, действуют (мы используем компактную картину) в 15(5) по формуле

(Та(9)<р)(*) = ф-9)\г0 + 6\2".

Скалярное произведение (гр,(р)$ в Ь2(5,<&), где с/з - евклидова мера, инвариантно относительно пары (Та,Т1-п-а). Представления Т„ неприводимы для всех а € С, за исключением а £ N = {0,1,2,...} и а 6 1 — п - N.

Оператор Аа на ^(5), задаваемый формулой

(А^)(*)= [ |1-вР|а-а"-а'*(*)Л.

сплетает Та и Т\-п-а. Он умножает константы на множитель

]{ст) = 27г”— 1 (1 — п — 2сг)/Г2(-сг).

Оператор Аа имеет простые полюсы в точках а таких, что 2а £ 1 — п + N. Вычеты в полюсе д обозначаем Ар и Лц). _

Каноническое представление Л\, А 6 С, группы С действует в Т>(Б) по формуле

Ш9)тг) = /(г-д)\13г + 5\-2Х-2п.

Скалярное произведение (Р, /)о инвариантно относительно пары Это позволяет распро-

странить Яд на пространство Т>'{0) обобщенных функций на В.

Представление /?а порождает два граничных представления Ь\ и М\ - точно так же, как в [1].

Пусть А,о Е С. Преобразование Пуассона Ра,*: &(£) —> С°°(£>) и преобразование Фурье Рх<1Т: Т>(И) —► ^(5’), связанные с каноническим представлением, определяются следующим образом:

{Р\,аЦ>)(г) = р-х-а~п !^\\- г$\2<гч>(8)<18,

(Л,г/)М= [ \\-гз'\2аРХ-ЧШг.

Эти преобразования сплетают Т\-п-а с Я\ и Яд с Та, соответственно. Они сопряжены друг другу:

<^, ¥>/>5 =

Для /С-финитных функций ^ и 2(7 ^ 2 имеет место разложение:

оо оо

(Рх^Нг) =р-*-°->"]Г(С^)(5)р* +Р~Х+а~1 ^(Оа>^)(8)рк, к=0 к=0

где 2 = гз, р = 1 - г2, Са,к и Дг,* - некоторые непрерывные операторы в Х>(5). Они выражаются через операторы А„ и Ига^\

Со,к = Ах-п-оУУа'Ь, -Ост,* = ао)№а<к-

Оператор (дифференциальный) Иопределяется следующим образом. Пространство Р(5) распадается в прямую ортогональную сумму неприводимых относительно К подпространств #(и,и), и,« е ^ пространство Н(и,у) состоит из ограничений на 5 однородных гармонических многочленов от г;-, г^ степеней однородности и, V по г, г, соответственно. Оператор И^ на подпространствах Н(и, и) есть умножение на числа и)„,к{и,и), задаваемые производящей функцией:

ОО

р<т+п-1Р(и + а + п - 1, V + а + п- 1; 2ст + п; р) = цу.*(ц, у)рк,

к—0

где ^ - гипергеометрическая функция Гаусса. Оператор Ша>к имеет простые полюсы по а в точках а = (-п - т)/2, тп = 0,1,..., к — 1, к ^ 1.

Преобразование Пуассона Рад- имеет полюсы пост в точках

о — А — к1 о — 1 — тг — А + /, к, / Е N. (1)

Если полюс принадлежит только одной из серий (1), то он - простой, а вычеты соответственно равны

(-1№)-1Яа - к)аКк, -(-1 уц'.г'ъ,, о лА-,,

где £л,* ~ оператор (граничная проекция) Р(5) —► Е*(Р){, задаваемый в точности такой же формулой, что и в [1]. Он дает диагонализацию представления Ь\ при 2А + п - 2 $ N.

Пусть полюс [I принадлежит обеим сериям (1). Тогда 2А + п — 2 Е N. Пусть /х - простой. Это может быть, если А 6 N и /х € N. Тогда вычет равен сумме величин (2). Пусть, наконец, /х - не простой. Тогда он - второго порядка. Старший лорановский коэффициент (коэффициент при (а — ц)~2) равен

-2^-^,,оАх-, (к>1), 2^-ЛмКа,* (МО- (3)

Из-за недостатка места мы не пишем вычеты. Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении Ь\. Их количество равно [(2А + п)/2].

Преобразование Фурье Ра,* имеет полюсы по а в точках

а = — А — п — к, а — А +1 +1, к, I € N. (2)

Если полюс ц принадлежит только одной из серий (3), то он - простой, а вычеты соответственно равны (\/2)j(-\-n- к)Ь\,к и (-1/2)Л_а-п-(Ьа,/. гДе Ьх,к ~ граничный оператор Т>(Б) —► 1^(5), определяемый через коэффициенты Тейлора ат(/) функции / по р:

Кк = £ {£(-1)' ( П~2 ) ИГ-А-п-М-т-ДатШ. т=0 1(=0 ' ' J

Они сплетают Я\ с Т-х-п-к и дают диагонализацию представления М\ для —2А - п — 2 £ N. Для полюса ц второго порядка (тогда ц = -X — п - к = X + I +1 и еще ц < 0 для целого А) старший лорановский коэффициент равен .4_а-п-/Ьа,/ при к ^ I и 1(ц)Ьх,к при к ^ I. Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении Мх для —2А-п—2 6 N. Количество таких клеток равно [(-2А-п)/2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями // Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 44-46.

РАЗЛОЖЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НА КОМПЛЕКСНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Л.И.Грошева

Настоящая работа является распространением нашей работы [1], в которой рассматривалась плоскость Лобачевского, на произвольное комплексное гиперболическое пространство Б = С/К, где С = БЩп—1,1), К = и(п -1). Мы даем разложение канонических представлений Да, А 6 С, группы С на пространстве Б. Мы отсылаем к [2] за основными определениями: реализация пространства Б в виде комплексного шара гг' < 1 в С"-1, его граница 5, представления КхуТа (Х,о £ С), сплетающий оператор Аа, преобразования Пуассона и Фурье Рх,а и Р\,<г, пространство Е* (Б) обобщенных функций на Б = Б и Б, сосредоточенных на 5, граничные проекции £а,* : ^(5) ^к(Щ, граничные операторы 6а,к ■ Т>{Б) -> Т>(5) и т.д.

Мы ограничимся разложением представлений Да, для которых А лежит в полосах /*: (1/2)(—1-п)+/с < ЛеА < (1/2)(1 -п) + к, к € Ъ, на комплексной плоскости.

Теорем а 1. Пусть А £ /0. Тогда каноническое представление Я\ разлагается в прямой интеграл представлений Та непрерывной серии (а = (1/2)(1 — п)+1р) с кратностью 1. А именно, сопоставим каждой функции / е Т)(Б) совокупность {Ра,*/}, а = (1/2)(1-п) + гр. Это соответствие (7-эквивариантно. Справедлива формула обращения:

/ОО

ы(а)Рл,1-„-.Рл,./ ,|Лмм (1)

■ оо бт=(1/2)(1-п)+ч>

где

ш(а) = -7г-2п(2ст + п — 1) • зт(2сг + п)ж ■ Г2(-<т)Г2(<т + п — 1).

О

Для вещественных А € /о эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений. Разложение (1) справедливо не только в смысле поточечной сходимости, но и в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций Т>'(Б).

Продолжим аналитически по А разложение (1), рассматриваемое в Т>'(Б), из полосы 10 в полосу /*+ь к £ N = {0,1,...}. Полюсы а = X - гп » а = 1 - п - Х + тп, тп = 0,1,... ,к, подинтегральной функции (это