Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими преобразованиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

zg : zg = Ьг. Представление Тт имеет старший вес (т, 0,О, — т). Пусть Lm - билинейная форма на

Мт, инвариантная относительно Тт с нормировкой Lm( 1, 1) = 1. Такая форма единственна.

Подпространство М%f (через Vя обозначается подпространство Я-инвариантов в пространстве К) одномерно, базисом служит 0m(z) = {(z~1 )„i} • Этот Я-инвариант порождает ядро Пуассона Рт(х, г) = {Тт(д~1)вт) (^)> где х = и преобразование Пуассона Т,п по формуле СР,пФ)(х) = Lm (Pm(x, •), ф).

Оно отображает Mm на пространство 6'т(Л') многочленов на -V степени тп и сплетает Т„, с представлением сдвигами. Форме Bt отвечает форма Lm с множителем: Вк(Ттф\/Ртф2) = w(/b, m) Ьт(ф\, ф%), где

ui(k, тп) = а (к, m)/a(m, m), а(к, m) = (к — т)! (Л + т + п — 1 )!/&!".

С другой стороны, ядро Пуассона определяет еще преобразование Фурье Ткт '■ -4л.(Л') —► Мт, а именно, {TkmF){z) = , г), F). Оно сплетает Uk с Тт и сопряжено преобразованию Пуассона:

Lm{FkmF1 Ф) — Bk(F, Vrnф). Композиция этих преобразований есть скалярный оператор: ТктпРт — и>(к, т)Е.

Функция Фт = Ттв,п из .S’m(.V) называется сферической функцией. Она инвариантна относительно Я, следовательно, есть функция (многочлен степени т) от хпп:

Чт(х) = (-1)т ^(-т> т + п — 2; 1;

где F - гипергеометрическая функция Гаусса.

Пусть Ф 6 Лк(Х)н. Сопоставим Ф оператор F ь-* Ф * F в .4*(Л') - свертку с Ф : (Ф * F)(x) = В к (и(д~}) Ф, F), х = д~'х°д. Свертка с Ек = г*п - тождественный оператор.

Подведем итоги. Представление Uk разлагается в прямую сумму ТЬ + ... + 7* без кратностей соответственно разложению Лк(Х) = .S'o(.V) +... + Sk(-Y). Пространство Ак{Х)н является коммутативной алгеброй относительно свертки. Единицей служит Ек. Функции ui(k, т)~1 Фт, 0 т ^ к, образуют полную ортогональную систему идемпотентов, так что Ек = 52w(^> т)-1Фгп. Последнее разложение равносильно формуле Планшереля:

к

Bk(F, F)=Y^ ш(к, т)-1 Lm(TkmF, TkmF).

т=0

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах // Итоги науки и техники. Совр. пробл. матсм. Фунд. напр. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 59, 5 — 144.

2. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. In: Proc. Tambov Summer School-Seminar ’’Harmonic analysis on homogeneous spaces”, Aug 26 — 31, 1996// Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т.З. Вып. 1. С. 65 - 78.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА И ФУРЬЕ. СВЯЗАННЫЕ С КАНОНИЧЕСКИМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

©Л.И. Грошева

Изучение граничных представлений, порождаемых каноническими представлениями на эрмитовом симметрическом пространстве С/К, было начато в [1] для ключевого примера - плоскости Лобачевского. Далее было замечено, что в изучении граничных представлений решающую роль играет мероморфная струк тура сплетающих операторов (мы называем их преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями). Цель настоящей работы - изучить эту мероморфную структуру для плоскости Лобачевского - единичного круга И : гг < 1 в С. На И действует группа С! = 811(1,1) дробнолинейно. Пусть 5 есть окружность г! = 1 и О = ОII5.

Элементарные представления Т„,<т 6 С, группы С действуют в Т>(3) по формуле

(Т„{д)<р)(и) = <р(и ■ д)\Ьи + а\~-а"2, « ■ д =

an + b _ ( а b \ Ьи + я ’ J \ b а )

Оператор Аа на Л(5'), задаваемый формулой

2*

(А„ч>){и) = J |1 - иу\~2о~2(р{1>)(113, V — е'^, о

сплетает Та и Он умножает константы на множитель Лег) = 2яТ(—2<т — 1)/Г2(—а). Эти оператор

и множитель мероморфны по а с простыми полюсами в <т 6 — 1/2 + М (К = {0, 1, 2,...}). Вычеты в полюсе // обозначаем Л,, и _/(//).

Каноническое представление Яд, А 6 С, группы С! действует в Л(Л) по формуле (Яд(<7)/)(г) = /(г!))х х \Ьг + а|~2А_4. Представление Яд порождает два представления Ь\ и М\, связанных с границей 5. Представление 1\ есть ограничение представления Яд на пространство Е(О) = и£*(1)), где

к

состоит из обобщенных функций ^т(«)й(тНр)> 'Рт € Л (б'), 6 дельта-функция Дирака, Р = 1—22.

т=0

Представление £д есть верхняя треугольная матрица с диагональю Т_д_ 1,7’_д, 7’_д+1,________

__ ОО

Для функции / 6 Л(7)) рассмотрим ее ряд Тейлора ^ в*(/)Р* с коэффициентами из Л(.$’).

Аг=0

Представление Мд действует в столбцах «(/) = (п0(/),(/),...) : М\(д)а(/) = «(Яд(</)/). Оно есть

нижняя треугольная матрица с диагональю 71 д_2,Т_д_з,_________

Рассмотрим преобразования Пуассона Яд,<, : Л(б') —» 0^(0) и Фурье Яд)<т: Л(О) —► Л(£), связанные с каноническим представлением /?д. Мы отсылаем к [2] за определениями. Они сплетают, соответственно, Т-„-1 с Яд и Яд сГ„. Для Л’-финитных функций <£> 6 Л(,9) преобразование Пуассона Рх,о<Р может быть разложено в ряд по степеням р:

ОО ОО

*=0 *=о

где С'*,*;, Оа>к - некоторые непрерывные операторы в 'Р(.Ч). Они выражаются через А0 и операторы введенные в [1]: Са,к — ^-сг-],к< Во,к — Л<^)^гг,к- Операторы имеют простые ПОЛЮСЫ ПО (Г в

полуцелых <7, таких, что (—к — 1)/2 ^ <т <С —3/2. Отображение Р\„ мероморфно по а с полюсами в двух сериях точек: <т = А — к, и <т = — А — 1 + / (&, / (Е К). Если полюс /< принадлежит только одной из серий, то он - простой. Напишем вычеты:

Р\,х-к = ^ ^ Л А - к)£\'к, Яд,-д-1+/ = ^ (а ,( о Лд_/, (1)

где ^д /,. - следующие операторы 'Л(5) —- Ек(О):

к /.!

£а,*Ы = Е("1Г• *{к~т)(р)-

т—0 ' '

Они сплетают 7’_д_]+*: с Ь\. Тем самым они дают диагонализацию представления Lд при А ^ 1/2 +К, см. [1]. Пусть полюс /« принадлежит обеим сериям, тогда 2А + 1 € N. Если А 6 N. то полюс - снова простой, и вычет равен сумме правых частей (1). Если же А 6 —1/2 + Н, то полюс // - второго порядка. Старший лорановский коэффициент (коэффициент при (<т — //)~2) равен

2ЦрО.1 о Л_„_, (к 2 /), (* < /).

И з-за недостатка места мы не пишем вычеты. Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении 7д. Их количество равно А + 1/2.

Преобразование Фурье сопряжено преобразованию Пуассона, см. [2]. Поэтому мероморфно по а с полюсами в точках двух серий: а = -А - 2 - к, ег = А + 1 + / (£, / € М). Полюсы /< - простые, за исключением случая, когда А € —3/2 — Ми // принадлежит обеим сериям, тогда // второго порядка. Если ц принадлежит только одной из серий, то вычеты таковы:

Яд, — А —2—к = ^(“А ~ 2 — &)&д,ь Яд,А+1+/ = --Л_А_2-| о 6д/,

где граничные операторы бд,* : 'Р(D) —+ Т>($) определяются через коэффициенты Тейлора:

к

bx,k(f) = J2 W-x-2-k, t-m(am(/)).

m=0

Они сплетают Яд и Т-д-г-л- 11 дают диагонализацию представления Мд для А £ — 5/2 — N. Для полюса // второго порядка старший лорановский коэффициент равен Л_^_|оЬЛ/, Д/1)6дд., соответственно, при & ^ /, А- ^ /. Полюсы второго порядка для А £ —5/2 — N дают жордановы клетки второго порядка в разложении Мд. Количество клеток равно —А — 3/2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Grosheva L.I. Representations on distributions on the Lobachevsky plane concentrated at the boundary. In: Proc. Tambov Summer School-Seminar ’’Harmonic analysis on homogeneous spaces”, Aug. 26-31, 1996 // Tom 3, вып. 1, 46 - 49.

2. Молчанов В.Ф. Канонические представления и надгруппы (см. этот том).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА. СВЯЗАННОЕ С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ

© О.В.Кольцова

Пусть С - группа СЦп,С). Возьмем разбиение п = П\ + «г + ... + пг числа м на натуральные слагаемые и представим матрицы д £ (< в блочном виде соответственно этому разбиению. Пусть I), 2.

подгруппы в С, состоящие, соответственно, из следующих блочных матриц: диагональные, нижние треугольные с единичными матрицами по диагонали, верхние треугольные с единичными матрицами по диагонали.

Рассмотрим следующее преобразование Радона. Пусть / - достаточно хорошая функция на С, например, бесконечно дифференцируемая быстро убывающая (или финитная). Сопоставим ей функцию у?

на С х С :

¥>(01,02) = J /{9\12д2)(1г, (1)

г

где (1г - инвариантная мера на Z. Задача состоит в том, чтобы восстановить / по у?, а именно, выяснить, можно ли это сделать, и если можно, то написать формулу обращения.

Семейство К подмногообразий д^12д2 в О имеет размерность п2 (над С). В качестве локальных координат на К можно взять параметры матриц 6 £ О, <^1X2 £ %+ , а именно, почти всякая точка из К может быть записана в виде С Г' Это вытекает из разложения Гаусса: почти всякая матрица д £ С может быть записана в виде д = гбС,, и из того факта, что О входит в нормализатор подгруппы 2Г.

Наш результат состоит в том, что, во-первых, отображение Радона / <р, см. (1), является

инъективным, и, во-вторых, мы пишем явную формулу обращения. Эту формулу достаточно написать для значения / в единице Е группы С.

Рассмотрим функцию <р(д\,д2) для д\ = £,д? = £ /), £ Z+. При фиксированном 6 £ П

соответствующие точки С-1^С из К образуют цикл в К размерности <Ит2.

Для каждой диагональной клетки Л,- матрицы 6 рассмотрим ее характеристический многочлен х(6», А) = (1е1 (\Е — 6;). Для всяких двух клеток й, и рассмотрим результант их характеристических многочленов: й(х(6|, •), (х(^;, '))• Он есть некоторый многочлен от матричных элементов матриц 6,-

и 6], обозначим его /?(#,-, 6;). Сопоставим ему два дифференциальных оператора, заменяя матричные элементы производными по этим матричным элементам и по комплексно сопряженным к ним. Образуем дифференциальный оператор (с. постоянными коэффициентами)