Канонические представления на пространстве Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

е = ш, рассматриваемого на пространстве Т>'(}(^) обобщенных функций на Е, сосредоточенных в Е. Следовательно, если Р1 £ то функция /, определенная формулой

f(z) = [ k(z,wГF(w)dw, (1)

О

принадлежит Мш. Равенство (1) показывает, что многочлен К {г,и))т есть "производящая функ-ция"для элементов пространства Мт. На пространстве Мт существует единственная с точностью

до множителя билинейная форма Ьт (/, К), инвариантная относительно пар (тт, Тт) и (Тт,Тт^.

Эта форма есть Р(г)к(г) ¿г, где F связано с / посредством (1).

ЛИТЕРАТУРА

1 .Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для касательного расслоения проективного пространства // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. №. 5. С. 1067-1070.

1. Болотова Н.Б. Некоторые реализации максимально вырожденных представлений алгебры Ли группы БЦп, К) // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 83-84.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

© Л.И.Грошева

В настоящей работе мы переносим на пространство Лобачевского результаты из [1], [2] о разложении канонических и граничных представлений. Изложение в большой степени параллельно [1],

И-

Мы используем "модель Клейна": пространство Лобачевского размерности п — 1 реализуется как единичный шар 5 : (и,«) < 1 в К"-1. Здесь (•, •) - стандартное скалярное произведение. Группа С? движений есть группа С? = 80о(гг — 1,1), она действует на В дробно-линейно:

иа + 7 ( а в \

и и ■ а = — а = с >

У и/3 + 6’ У V 7 6 )

матрица д 6 & записана в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1. Стационарная подгруппа точки 0 есть К = 80(п — 1).

Пусть 5 - граница шара В, она есть сфера («, в) = 1 размерности п — 2. Группа О действует на 5 транзитивно.

Представления Т„ группы С?, связанные с конусом, действуют в 2?(5) по формуле

(ГЛзМЫ = Ф ■ д)(з0 + 6)а.

Скалярное произведение (^,(^)5 из Ь2(5,с1з), где - евклидова мера, инвариантно относительно пары (Уст,Тг-п-тг)- Представления Т„ неприводимы для всех а £ С, за исключением сг £ N = {0,1,2,...} и а 6 2 - п - N.

Оператор Аа на Х>(5), задаваемый формулой

(А^)(«)= [ (1-(М»2-п->(^,

Js

сплетает Та и Т^-п-о- Он имеет простые полюсы в точках а Е (2 — п)/2 + N. На константах А„ есть умножение на число

¡{а) = 2~а 7г("-2)/2 Г ((2 - п)/2 - а) /Г(-а).

Каноническое представление Да, А 6 С, группы О действует в Т>(В), В = В и 5, по формуле

(.11х(д)Ш = Пи-д)(и/3 + 6)-х-п.

Скалярное произведение (Г,/)в из Ь2(В,с1и), где (1и - евклидова мера, инвариантно относительно пары (Да,Д_х_п)- Это позволяет распространить Да на пространство V(В) обобщенных функций на В.

Представление Да порождает два граничных представления Ь\ и М\ - точно так же, как в [3] и [1]. Эти представления даются соответственно верхними или нижними треугольными матрицами с диагоналями Тг-п-А+гт или Т_а-п-2ш, теМ.

Пусть Л, а 6 С. Преобразование Пуассона Да,ст: Р(5) —> С°°(В) и преобразование Фурье Ра,ст: Т>(В) —> 17(5), связанные с каноническим представлением, определяются следующим образом:

(Ра,,¥>)(«) = р{-х-°-п)/2 1(1 - (и, 8)Уф)Ь,

(Р\,<т/)(«) = [ (! ~ (и,з))ар{х~а)/2 /(и)с?и.

J в

Эти преобразования сплетают Т-2-п-е с Ра и Да с Тст, соответственно. Они сопряжены друг другу:

(Ра ,,/,¥>) я = (/,Р_а_„,^)в-

Для /^-финитных функций (/з и Л. (т общего положения имеет место разложение:

СЮ СЮ

(Ра,,¥>)(«) =р(-А—")/2 £(а,*¥>)(«)/ +р(-^-2)/2 £(Д^)(5)/,

А:=0 к=О

где и = г в, в £ 5, р = 1 — г2, Со-,* и Ро-.л ~ некоторые непрерывные операторы в Р(5). Они выражаются через операторы Аа и = -Аг-п-аЖт,*, Р<т,л = (ст). Оператор (дифференциальный) определяется с помощью производящей функции:

/* \7/9 _ (О “I- Т1 2 + / (7+71—1 + / п \ ^—V / \ к

(1 -р)г/2р(-----------------,-----2-----; о; р) \

' ' £=0

где Р - гипергеометрическая функция Гаусса, щ = 1(3 — п — I) - собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами Д$ на 5. Тогда

Преобразование Пуассона Р\1<т имеет полюсы по а в точках а = А —2к, а = 2 — п — А+2/, к, I £ N. Если полюс принадлежит только одной из этих серий, то он - простой, а вычеты соответственно равны

(-1)* (-1У

2—^1—Я А - Щ£\,к, —2 ———£А,г°А\-2Ь где ^А.к - оператор (граничная проекция) Р(5) —>• Е*(В) (по поводу Т,к(В) см. [3]):

ш<р) = ¿(-1)" ^ ^А-2МЫ ■ ¿^-6Чр)-6=0

Он сплетает Тг-п-л+г/; с Ха- Операторы £а,й дают диагонализацию представления Ь\ для параметра А ^ (4 — п)/2 + N.

Если полюс ц - не простой, то он - второго порядка. Такие полюсы дают жордановы клетки второго порядка в разложении Ь\. Их количество равно [(2А + п)/4].

Преобразование Фурье Да,о- имеет полюсы по а в точках а = —\ — п — 2к, о = А + 2 + 2/, к, I Е N. Если полюс /х принадлежит только одной из этих серий, то он - простой, а вычеты соответственно равны ,?(-А - га - 2к)Ь\,к и (-Л_А_п-2г) ° &а,ь где &а,* ~ граничный оператор Т>(В) —> Р(5):

к

ЬхАЛ = Е ^-Л-»-2*.*-т (От(Л),

771=0

здесь /* = (1 — р)(п 3^2/, а ат(1г) - коэффициенты Тейлора функции /г в разложении по степеням р. Операторы Ь\,к сплетают Я\ с Т^х-п-2к и дают диагонализацию представления М\ для А ^ (—п — 4)/2 - N.

Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении М\, их количество равно [(—2А — п)/4].

Пусть 1к,к £ - полоса (—2 — п)/2 + 2к < 11еА < (2 — п)/2 + 2к, в С. Разложение представления

Да для для А Е 1к делается аналогично [2]. Например, для А £ То представление Да разлагается в прямой интеграл представлений Та непрерывной серии (а = (2 —гг)/2+гр) с кратностью 1. А именно, сопоставим каждой функции / £ Г>(В) совокупность Это соответствие (7-эквивариантно.

Справедлива формула обращения:

/ОО

^(ст)РА,2-п-<7 ^А,а / ( Ф,

-оо (т=(2-п)/2+гр

где о;(ст) = [47г^'((т)¿(2 — п — с)]-1- При а = (2 — п)/2 + гр множитель и»(сг) есть плотность меры Планшереля для квазирегулярного представления.

Для других полос ограничимся формулами для граничных операторов тт\<т для 1к+\ и Па,то для 1-к-1, к 6 Н, ш = 0,1,... к:

^^

^А,т — 2 | j (2 71 А + 2гп) £л,т 0 УЛ,2 — п—А+2т>

771!

ПА,т = .7 (А "Ь 2 + 771) -Рл,А+2+2т ° ^А,т-

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 84-86.

2. Грошева Л.И. Разложение канонических представлений на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 86-88.

3. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 44-46.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УРАВНЕНИЙ С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ

© Э.Л. Казарян

Пусть П - ограниченная область в пространстве Е", Г - граница области П, Qr - цилиндр О х [0, г], т.е. совокупность точек (x,t) пространства Мп+ с х £ fi, t £ [0,т].

Напомним определение некоторых пространств, введенных в [1], состоящих из функций, непрерывных в смысле Гельдера.

Будем говорить, что функция и(х), определенная в удовлетворяет условию Гельдера по а: с показателем а £ (0,1) и константой Гельдера (и)[^ в области П, если

и(х) - и(х') , ,(а)

sup ...... .1 = (и О < +°°>

\х — х \а N /п

где sup берется по х,х' £ О таким, что |х — х'\ ^ ро, ро - некоторое малое число.