Канонические представления на комплексных гиперболических пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления; граничные представления; комплексные гиперболические пространства.

Аннотация: Дано разложение канонических и порожденных ими граничных представлений на комплексных гиперболических пространствах.

Комплексное гиперболическое пространство G/K, где G = SU(n — 1,1) K = U(n — 1), мы реализуем как единичный шар D : zz' < 1 в C” , где z - вектор-строка (z\,... ,zn-\), штрих

означает транспонирование. Граница S шара D есть сфера zz' = 1 размерности 2п — 3. Группа G действует на D и S дробно-линейно:

za + y (aß

г ^ г ■ д = —----д =, ,

у гв + 5

где матрица д Є С записана в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1. Подгруппа К состоит из блочно диагональных матриц. Об означим через (/, К) о и (ф, ^>)s скалярные произведения по евклидовым мерам йг и йв на О и 5, соответственно.

СС максимально вырожденных серий "надгруппы" (С = 8Ь(п, С) А именно, это представления Кх, х Є С, группы С, действующие в Я (О) по формуле

(Rx(g)f)(z) = f(z • g)(zß + s)

— 2\ — 2n

Скалярное произведение (/, К) о инвариантно относительно пары (Кх, К_х_п). Это позволяет распространить Кх на пространство “&(О) обобщенных функций на О. Преобразованием Березина назовем оператор Ях'-

(Ях /)(г) = с(Х) [ |1 — г7Ш,\2Х /(ад)

■Уд

где с(Х) - некоторый множитель. Этот оператор сплетает Кх и К-\-п. Форма Березина (/,Ь)х = = (Ях /, Ь)в инвариантна относительно пары (Кх, К^).

Каноническое представление Кх порождает два граничных пред ставлення Ьх и Мд. Первое из них действует в пространстве Т(О) обобщенных функций, сосредоточенных на 5. Второе - в многочленах Тейлора от р = 1 — г~г! функц ий / Є Я (О). Обозначим ч ерез ст и с*т коэффициенты Тейлора функций /(г) и (1 — р)п-2/(г). Это - функции из 'Е(Б). Обозначим через Т(В), к Є Н, подпространство в Т(О), натянутое па 5(т')(р), т = 0,1,... ,к.

В разложении Кх участвуют представления Т.о Є С:

{Та(д)^)(в) = <р(в ■ д)\вв + 5\2а, <р Є Я(в).

Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Они неприводимы для всех а, кроме а € N = {0,1, 2,...} и а € 1 — п — N.

Определим преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями:

]л,а<р)(г) = р-л-°-п I | 1 - ^ ф) ¿в,

(Рд,./)(в) = / 11 - гз'І2"рХ-° /(г) ¿г.

.Уд

Эти преобразования сплетают Т\-п-а с Дд и Дд с Та, соответственно. Они сопряжены друг другу. Имеет место следующая формула:

Рд,а = Л(А) а) Р-Л-п,а7

ГД0

) Г(-Л + ст)г(-А - а - п + 1)

ЧКа) =--------Г(-Л)Г(-Л - п +1)-------•

а

А - к, -п - А + ¡и -А - п - к, А + 1 + I, где к,1 Є N. Полюсы простые, если пары последовательностей не пересекаются. Вычеты рл^ преобразования Пуассона в простых полюсах ^ являются операторами, действующими из 'Е(Б) в Х(Д). Например, ]элд-к есть с точностью до множителя оператор

«л *(V) = ¿МГ тткгрц №л-кГV • 6<к-\р),

г=0 ^ '■

где т - некоторые дифференциальные операторы на Б, инвариантные относительно К. Вычеты рд,^ преобразования Фурье являются граничными операторами. Например, рд,-д-п-к есть с точностью до множителя оператор

т=0

Для А общего положения граничные представления Рд и Мд дпагоналпзуемы с помощью операторов £д )к и Ъд,к, соответственно.

А

1к : (—п — 1)/2 + к < Ие А< (1 — п)/2 + к, к €

Для А € 1о имеем формулу обращения и формулу Планшереля:

/ = I и (а) Рд, 1-п-а Рд,а / (1р, (1)

(/,Ъ)д = 1'ш(а)А(А,а) {Рд,а /,Рд, 1-п-а % (1р, (2)

где интегралы берутся с а = (1 — п)/2 + гр по р € М. Они получаются из формулы Планшереля с мерой и для квазирегулярного представления.

Продолжим разложения (1) и (2) аналитически по А в полосу !к+\, к € N. При этом полюсы а = А — т и а = 1 — п — А + т, т = 0,1,... ,к, подпнтегрального выражения пересекают линию интегрирования - прямую Ие а = (1 — п)/2 - и дают к + 1 дополнительных слагаемых в правых частях. Мы получим:

/к

+ ^2 Пд,т (/), (3)

т=0

где пдmm = ш(1 — n — X + m) рд,A-m о Fa,i-n-A+m, интеграл означает то же, что и в (1). Операторы пдmm проектируют на пространства Tm(D) и ортогональны относительно формы Березина. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (3).

Итак, для X из полосы Ik+i, к £ N, к пространству D(D) нужно добавить пространство Tk(D). На полученном пространстве представление Ra раскладывается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как Ra для полосы Io, второе разлагается в сумму к + 1 неприводимых представлений Ti-n-\+m, m = 0,1,...,к. Имеет место формула обращения (3) и формула Планшереля для формы Березина.

Для X из полосы I-k-i, к £ N дополнительные слагаемые получаются из-за полюсов а = —X—

— n — m и а = X + 1 + m, m = 0,1,... ,к, подиптегральпой функции, это - полюсы преобразования Фурье. Мы получаем

k

+ У^у ПА , m (f),

m=0

где n\,m = j(X + 1 + m)-1 P\tA+i+m о b\,m. Операторы Пд^, m ^ k, можно распространить па пространство Tk (D), состоящее из функций f с Тейлора порядка к f (z) = Co + cip +

+-----+ Ck pk + o(pk ')■

Итак, для X из полосы I-k-i, к £ N представление Ra, рассматриваемое па пространстве Tk+i(D), распадается в сумму двух слагаемых. Первое из них действует в подпространстве функций f таких, что cm = 0 m = 0,1,..., к и разлагается как R^ толосы Io. Второе разлагается в прямую сумму к + 1 неприводимых представлений T-A-n-m, m = 0,1,... ,к. Что касается продолжения в полосу I-k-i разложения (2), то полюсы подинтегральной функции, пересекающие путь интегрирования, оказываются полюсами второго порядка, так что добавочные слагаемые даются громоздкими формулами.

Abstract: decompositions of canonical and generated by them boundary representations on complex hyperbolic spaces are given.

Keywords: canonical representations; boundary representations; complex hyperbolic spaces.

Грошева Лариса Игоревна к. ф.-м. н., доцент

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Larisa Grosheva

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov

e-mail: [email protected]