Разложение канонических представлений на плоскости Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

Ф(£,р)Ф(ц,?/) Ф(^і г7)Ф(uі v)

Назовем ядром Березина. В терминах матриц имеем В(х;у) = с(/г, £)-^г (х.у)},1,е.

Многочлен F(x) = F(£,1]) на X называется контравариантным символом следующего оператора А (действующего на функции ^(О)1

Соответствие ^ н-► А определено на А-ц~п, оно д-эквивариантно. Таким образом, мы получили два отображения Ль* ^ (”ко”) и ^ А ("контра”).

Композиция О = (контра) о (ко), отображающая оператор в оператор, не рассматривалась в теории Березина. В нашем случае мы можем дать описание ее: А получается из О сопряжением относительно лебеговой меры (1£.

Композицию В = (ко) о (контра) назовем преобразованием Березина. Оно определено на А-ц-п и является интегральным оператором, ядром которого служит ядро Березина.

Преобразование В может быть выражено через оператор Лапласа-Бельтрами А на X, а именно

Отсюда выводим асимптотику: — 1 — /г-1Д (/* —► — оо), откуда, в свою очередь, следует справед-

ливость принципа соответствия.

Больше того, мы можем написать полное асимптотическое разложение для Б при // —+ —оо:

1. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметрических пространствах. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1975, том 39, No. 2, 363-402.

2. Болотова Н.Б. Конечномерный анализ на симплектическом полупростом симметрическом пространстве. Вестник Тамбовского Университета, 2002, том 7, вып. 1, 43-44.

3. Molchanov V.F. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2,

1996, vol. 175 (Adv. Math. Sc.i.-31), 81-95.

РАЗЛОЖЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

© Л.И.Грошева

В настоящей работе мы даем разложение канонических представлений Я\, А Е С, группы С = .811(1. 1) на плоскости Лобачевского Г) : гг < 1. Мы отсылаем к [2] за основными определениями (представления Ял, Тс, А, о- 6 С, сплетающий оператор Аа, преобразование Пуассона Р\ет, преобразование Фурье Fл,^r, пространство Е^-(Л) обобщенных функций на О = О П 5, сосредоточенных на границе круга Г), операторы : ^{3) —*■ Ел-(Л), граничные операторы Ь\д. : 'Р(Г)) —* Т>($) и др.)

Мы ограничимся случаем Ке А 6 /*, где 7* - интервалы (—3/2 -1- к, -1/2-1- к), к £ 2, на вещественной оси.

Г(—f.i + т) Г( /.і - г - n + 1)

Г(—/|)Г(—/z-n+І) т(т+1)=д

где = а(а — 1)...(« — в + 1). Отсюда вытекает, что на всяком £Г{Х) преобразование В есть дифференциальный оператор - некоторый многочлен от А.

ЛИТЕРАТУРА

Случай (А): Яе Л 6 /о- Используя теорему Планшереля для плоскости Лобачевского (это - хорошо

в прямой интеграл представлений непрерывной серии Та)сг = —(1/2) + ір, р Є М, с кратностью 1. А именно, сопоставим каждой функции / Є Т>(Г)) совокупность компонент Фурье {Р\,<т/}, & — — (1/2) + гр. Это соответствие Сг-эквивариантно. Имеет место формула обращения:

где и(ст) = (47Г“)~1 (‘2(7 + 1)^<г7г. Для Л 6 /о мы получаем разложение унитарного канонического представления [1]. Формула (1) остается верной и для КеА > —3/2. Ограничение Не Л 6 /о позволяет нам рассматривать (1) и на пространстве Т>'(0).

Случай (В): ИеА Е /*+1, к 6 N. Продолжим (1) аналитически по Л из полосы ИеА 6 /о в полосу ИеА (Е Ь+1 • Полюсы а — \ — т и <г = —А — 1 + т, т = 0,1,..., к, подинтегральной функции (это - полюсы Р\]_с_ 1) пересекают линию интегрирования Не А = —1/2 и дают дополнительные слагаемые. Получим

Операторы (3) распространяются и на Ejk(D). Тогда на пространстве Т>*(D) = V{D) -f ^k(D) оператор 7Гл,т есть оператор проектирования на образ V\,m оператора £л,т- Разложение (2) распространяется на обобщенные функции / из Efc(D). В этом случае интеграл в (2) исчезает, и (2) дает разложение обобщенной функции / по ее проекциям на V\<m.

Таким образом, в случае (В) пространство V(D) должно быть дополнено до Vk{D). На этом пространстве представление R\ распадается в сумму двух представлений: первое разлагается как R\ в случае (А), второе разлагается в сумму Т!_л — i, Т-\,..., T-x-i+k• А именно, сопоставим каждой / 6 Vf.(D) совокупность {Fx,of, 7ГА,т(/)}, где а = —(1/2) + ip, т = 0,1 ,...,к. Это соответствие (7-эквивариантно. Функция / восстанавливается с помощью формулы (2).

Для —1/2 < А < 0 получаем разложение унитарного канонического представления [1].

Случай (С): ReA 6 I-k-i> к Е N. Продолжим теперь (1) аналитически по А в полосу ReA € I-k-i-Здесь полюсы (т = —А — 2 — т и а = А + 1 + т, т = 0,1,..., к, подинтегральной функции (полюсы F\i<7) дают дополнительные слагаемые. Получаем:

где г = ги, и G -S', а„, G X>(.S'), р = 1 — г2.

Представление Ял, рассматриваемое на пространстве T^.(D), расщепляется на два слагаемых. Первое действует на подпространстве, состоящем из функций /, для которых ат = 0 при т = 0, 1,...,к, оно разлагается, как Яд в случае (А). Второе действует на сумме образов преобразований Пуассона Рд,А+1+т, т = 0,1,..., к, и разлагается в прямую сумму к + 1 неприводимых представлений Т_д_ 2, 71- А-з, • • •, Т— х—2—к (образ каждого преобразования Пуассона (/-инвариантен).

известный результат), получаем, что каноническое представление Яд (определенное на Т>(0)) разлагается

(1)

к

(2)

где символ интеграла обозначает правую часть (1) и

(3)

к

где символ интеграла обозначает правую часть (1) и

Пд,т — “Ь 1 “Ь Р\,\+\+т ° Ьх,гп'

Оператор Пл,ш - проектор на образ преобразования Пуассона Рл,л+і+т-

Пусть Тк{0) - пространство функций / на П класса О’00 на Г) и на 8 и имеющих разложение Тейлора порядка к на границе:

/(г) = «0(гх) + аі(и)р + ... + ак(и)рк + о(рк),

ЛИТЕРАТУРА

1. Верхиик Л.М., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления группы 8Ь(2, К), где Я - кольцо функций. Успехи матем. наук, 1973, том 28, N0. 5, 83-128.

2. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями. Вестник Тамбовского ун-та. 2002, том 7, вып. 1, 44-46.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ НЕПРЕРЫВНО ОБРАТИМЫХ ОПЕРАТОРОВ

©В.В. Кузнецов

Пусть /р = /р(2, X), р G [1;4-оо) - банахово пространство (с естественно заданной нормой) двусторонних последовательностей элементов из банахова пространства X. Рассмотрим оператор А из алгебры End /р линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве 1р.

Введем следующие обозначения: А = ((iij) - матрица оператора A; dk(A) = supt_J=Jfce^||a,j||; |И||р -норма оператора А.

Ниже рассмотрен вопрос о взаимосвязи скорости убывания величин dn-(A~l),k € Z, при условии экспонециального убывания последовательности (dk(A))k€^, т-е- ПРИ выполнении условий:

dk(A) ^ 67^1, где fc € Z, 0 < 7 < 1. (1)

Теорема. Пусть для непрерывно обратимого оператора А Е End lpyp Е [1;+оо), выполнены условия (1). Тогда оператор А обратим в любом из пространств lq (q £ [1;-|-оо]) и

1И-Ч1, ^ №%■ (i +, 27lli4~,‘.lh,„) ■ (* + -> + 8с7|М"1||’>

1-7 + 2с7І|і4-1||рУ \ 1 - 7

причем элементы матриц обратного оператора А~1 удовлетворяют условиям:

<4М-1) ^ ^17!**, где к Є 2,

для любых

71 Є ( 1 -

1 - 71

+ 71

(' і-7 + 2стіИ-Чір;1) " с,^|и 1|ір'і

Следствие. Пусть непрерывно обратимый оператор А £ End /р является трехдиагональным (т.е. dk(A) = 0, \к\ ^ 2, к 6 7L). Тогда оператор А обратим в любом из пространств lq(q Є [1;+оо]) и

ІИ-ЧІ, < |М-'||Р.(32|И||Р.|И-Ч|Р+|И| +2) ,

р 11-™ IIP

-1

причем элементы матрицы обратного оператора А удовлетворяют условиям:

1*1+1

ЛИТЕРАТУРА

1. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projection // SIAM J. Numer. Anal.,

1997, vol. 14, 616-619.

2. Demko S., Moss W.F., Smith P.W. Decay rates for inverses of band matrices // Math. Comp., 1981, vol. 43, 207-212.

3. Demko S. Spectral bounds for 1111|oo // J. of Approximation Theory., 1986, vol. 48, 207-212.