CC BY
23
Пусть I - нецелое положительное число и [/] - его целая часть. Банахово пространство Hl (Ti) состоит из непрерывных в fl функций и(х), которые имеют в Г2 непрерывные производные до порядка [/] включительно и для которых величина
М
Mn = (u)q + £(и)о} (!)
з=о
конечна, где
(w)q0) = luln0) = maxn|u|,
<«>«> = £ I<!*)« = (4ml«>ii"W).
m^.j |m|^[/]
мы используем мультииндексные обозначения: т — \т\ = т\ + ... + тп,
D? = П (д/дхЛт<.
Равенство (1) определяет норму в Н1(й). Обозначим через Hl'l^2{Qr) банахово пространство
функций u(x,t), непрерывных в QT вместе со всеми производными вида DlDsxu при 2г + |s| < I и с
конечной нормой
м& = <«>&+£<“>£■ (2)
3=О
Мы будем рассматривать пространства Н1(П) и Hl,l/2(QT) при I = 2 4- а и I = 1 + а, а 6 (0,1). Обозначим через £7- множество точек (х, t), х 6 Г, t 6 [0,т]. Стандартным образом вводятся пространства Н1(Г) и Н1'Ч2{Ит)-
Рассматривается следующая задача: ищется такая функция oj(x,t), что
п ^
^ ~ °> ОМ) € <2т, (3)
г= 1 г
п
'^2ai(x,üj,ux) cos(n,Xi) +u>t = (i,i) 6 Er, (4)
¿=1
ш(ж,0) = oJo(x), x £Г, (5)
где n - нормаль к Г, внешняя по отношению к П. В предположении, что выполнены условия
п
'^aipi'zvp2, f,fx <Е LooiQr), (6)
г=1
где v — v(\üj\) - положительная непрерывная функция, в работе получены априорные оценки для тах |ш|, тах |шж|,тах \ujt \ на Qt решения задачи (3)-(5) и доказана гельдеровость функций с
ЛИТЕРАТУРА
1. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
КОНЕЧНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
© С.В. Кольцова, С.В. Поленкова
Интегральная геометрия (в смысле Гельфанда) изучает интегральные преобразования, ставящие в соответствие функциям на многообразии X их интегралы по подмногообразиям из некоторого семейства Y. Таким образом, эти преобразования переводят функции на X в функции на Y. Основные задачи состоят в описании образов и ядер этих преобразований и нахождении формул обращения,
если это возможно. Вместо функций можно рассматривать другие объекты (дифференциальные формы и т.д.). Интегральная геометрия связана с различными областями математики (теория представлений групп Ли, дифференциальные уравнения, интегральные операторы Фурье, обобщенные функции и т.д.), она имеет приложения в физике, технике, геологии, медицине (томография) и др.
С другой стороны, аналогичные конструкции могут быть применены к дискретным, в частности, конечным множествам. Такую теорию можно назвать конечной (дискретной) интегральной геометрией.
Сформулируем общие задачи конечной интегральной геометрии. Пусть М - конечное множество. Пусть ХиУ- два набора его подмножеств. Для некоторых пар (х, у) € X х У определено отношение инцидентности Я С X х У. Преобразование I ставит в соответствие функции / на X функцию // на У по формуле
(и )(у) = X
(ж,у)€Я
Требуется описать образ и ядро (нулевое подпространство) этого преобразования I и найти формулу обращения, если ядро нулевое. Эти задачи можно рассмотреть в несколько более общей ситуции: пусть с(х, у) - некоторая функция на X х У, тогда
{1/){у)= c(x’У)f(x)■
(х,у)еЯ
В частности, "оператор Лапласа" на графе укладывается в эту схему: множества X и У совпадают с множеством вершин графа, две вершины инцидентны, если они соседние, т.е. соединены ребром, функция с(х,у) зависит только от у и равна 1 /¿(у), где ¿{у) - количество вершин, соседних с у.
Если на множествах X и У действует группа С, так что преобразование I сплетает представления группы С? в функциях на X и У, то возникает задача о разложении ядра и образа этого преобразования I на неприводимые подпространства. В частности, если даже ядро не равно нулю, интересно найти формулу обращения для функций из ортогонального подпространства.
С другой стороны, конечная интегральная геометрия может служить источником новых идей для классической интегральной геометрии: например, задача о нахождении формулы обращения для функций, ортогональных ядру, и т.д.
В [1] нами получена формула обращения для преобразования, которое функциям на множестве вершин п-мерного симплекса ставит в соответствие их "интегралы" по /¿-мерным граням (интеграл по грани есть сумма значений функции на вершинах этой грани).
Данная работа является продолжением и обобщением [1]. Нами получена явная формула обращения "интегрального" преобразования, которое функциям на /г-элементных подмножествах п-элементного множества ставит в соответствие их интегралы по /-элементным подмножествам, к < I, к + I = п. Точные определения см. ниже.
Пусть М - множество с п элементами (точками). Количество элементов конечного множества А будем обозначать |А|. Обозначим через Нк множество всех подмножеств множества М с к элементами, к = 0,1,2,..., п (так что Н° = 0, Нп = {М}). Обозначим через Ь(Нк) пространство функций на Нк (со значениями в некотором поле или кольце). Определим преобразование 1ц- : Ь(Нк) -—>■ Ь(Н1), к < /, формулой
№*/)Ы = ЕЯж)’ уея'.
яС у
При к + I > п формулы обращения для не существует, так как тогда \Нк\ > \Н1\. Поэтому считаем к + / ^ п. При к + / < тг формулу обращения мы написать можем, но многими разными способами. Основным случаем является к + 1 = п. Тогда |Нк\ — \Н1\ и 1ц. есть изоморфизм. К этому случаю может быть сведен случай к + 1 < п.
Т е о р е м а 1. Пусть 1 ^к<1,к + 1 = п. Имеет место следующая формула обращения для
Ьк'-
/М = (Д Е ('»/><»).
т=0 \хПу\=к — т
Здесь мы использовали обозначение а^ = а(а — 1)... (а — т + 1).
Вестник ТГУ, т. 10, вып. 1, 2005
Эту теорему можно переформулировать так. Определим оператор '■ L(Hl) —> L(Hk) фор-мулой:
(4rV)(^) = J2 V(y)-
\хПу\—р
Тогда при 1 ^ к < I, к + 1 = п, имеет место следующее разложение единичного оператора Е в L{Hk)\
/ і у^к{к-1)М
Е ~ I l-к ) к(т) Vkl )7»=-
4 / т=О
ЛИТЕРАТУРА
1. Кольцова С.В., Поленкова С.В. Интегральная геометрия на n-мерном симплексе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 4. С. 409-415.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
© С.В. Кольцова, С.В. Поленкова
Основные задачи конечной интегральной геометрии были сформулированы в [1]. В настоящей работе мы пишем формулу, восстанавливающую функцию на ¿-гранях в n-симплексе по ее интегралам по I- граням с использованием всех I > к.
Пусть М - множество, состоящее из п элементов (точек). Количество элементов в конечном множестве х мы обозначаем через |х|. Пусть Нк, к = 0,1,... ,п, - совокупность подмножеств х С М с |х| — к. Пусть Ь(Нк) - пространство функций на Нк со значениями в С. Определим оператор ("интегрирование") Iik ■ L(Hk) —> L(Hl) формулой:
= X/
|æny|=min {&,/}
Для l > к и I < к имеем, соответственно,
(hkf)(y) = Е /(я), (hkf)(y) = -^х),
хСу хЭу
кроме того, Ikk = Е (тождественное преобразование). Введем в L{Hk) скалярное произведение:
(f,9)k = f(x)9(x)-
х£Нк
Операторы 1ы и Iik сопряжены:
(hkf,4>)i = (f,hi<p)k-
Теорема. Пусть 1 ^ к < п/2. Всякая функция / 6 L(Hk) восстанавливается по ее "интегралам" Iikf,l > к, следующим образом:
п—к
,k+j Ik+j,k
3=1
или, в операторной форме:
п—к
^=S(-1)Î+1/M+jî*+î.*- i1)
3=1
