Сплетающие операторы для представлений обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах на конусе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Элементы (е,д) и (д,е) из переводят точку с координатами (£, г]) в точку с координатами (£,т]) и

соответственно. Поэтому

(Б\^(д,е)/){^г]) = ф^у(1®7Г^(5))[/(С,т?)Ф(С,»?)].

Перейдем здесь от группы к универсальным обертывающим алгебрам Епу и сохраним символы для представлений. Тогда зависимость от и исчезнет, так что мы не пишем гл Возьмем / = /о- Тогда для X £ Епу(д) получим

Дл(0,Х)/о = ^(7г-(Х)®1)Ф,

Дл(Х,0)/о = ^(1®тг+(Х))Ф.

Здесь правые части - это соответственно ковариантный символ оператора 7Гд (X) и контравариант-ный символ оператора 7г1Л_д(Х). Оператор <2-а-п,к переводит второй символ в первый, так что есть преобразование Березина -Вд,,,.

ЛИТЕРАТУРА

1 .Молчанов В.Ф. Полиномиальное квантование и надгруппы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 93-94.

2.Болотова Н.Б. Полиномиальное квантование на пространстве 51/(п, Ш)/СЬ(п — 1, Ж) // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. С. 141-142.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ НА КОНУСЕ

© А.В.Опимах

В настоящей работе мы находим сплетающие операторы (в матричной форме) для представлений псевдоортогональной группы (7 = 80о(1,п — 1) в дифференциальных формах первой степени на конусе. Эти представления были описаны в [1]. Мы будем рассматривать общий случай: п > 5. Напомним необходимый материал из [1].

Группа б сохраняет форму [ж,у] — — х\у\ + х2уг + ••• + хпуп в Ж". Мы будем считать, что (3 действует линейно в М" справа: х н-> х = хд, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки. Пусть До _ конус (верхняя пола) [х,х] — 0, Х\ > 0. Группа О действует на нем транзитивно.

Для многообразия М обозначим через А 1(М) пространство дифференциальных форм на М первого порядка с гладкими коэффициентами.

Группа С действует в А1 (До) сдвигами: элемент д £ Сг переводит форму и = '^2и)к{х)<1х11 в форму и> = ^2 Шк{х)<1хк, в качестве координат на До можно взять Х2, ■■■, хп. Пусть А^(До), а £ С, -подпространство в А1 (До), состоящее из форм степени однородности а:

^|ж*—УЬх — ^ 1 ^ 0.

Группа (7 сохраняет это пространство. Пусть - соответствующее представление группы (?. Оно распадается в сумму двух представлений Та и 11п, действующих в инвариантных пространствах Г)„ и На, соответственно. Пусть Б - сечение конуса плоскостью х\ — 1, это - сфера размерности п — 2,

она состоит из точек в = (1, в2, 5га), в2 + ... + вп = 1. Введем на До полярные координаты: х = гй,

где г = ,Т1 > 0, в 6 5. Всякая форма и> из Л* (До) имеет вид

где / = гаір, <р Є 0(8), С Є Лх(5). Это и дает нам требуемое разложение: (1$ Є га( Є На. Представление Та описано в [1], оно действует в функциях / = га<р и, стало быть, в их дифференциалах. Пространство На изоморфно Л1 (5), представление В,а действует в Л1 (5) способом, указанном в [1].

Пусть К - подгруппа в С, сохраняющая координату Х\. Это - максимальная компактная подгруппа, она изоморфна 80(п — 1). Она действует сдвигами на 5 транзитивно.

Алгебра Ли д группы б имеет своим базисом матрицы = Ег] — \iEji, і < j, где Е1} -

матричная единица (1 на месте (г,з) и 0 на остальных), Аі = — 1,Аг = ■■■ = Ап = 1. Алгебра д распадается в прямую сумму 0 = 6 + р, где 6 - алгебра Ли группы К, р - подпространство, ортогональное Е в смысле формы Картана. Базис в р состоит из з = 2, ...,п.

Ограничение представления на К есть представление группы К сдвигами в А1 (5), оно не зависит от а. Пусть п > 5. Тогда тг^1) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7Г/ и 7Г;д со старшими весами (1,0,..., 0), и (,1,1,0,..., 0), соответственно, здесь I = 1, 2,... Пусть У и Ші - пространства представлений ж і и 7Г/д, соответственно. Обозначим через У и Ж их суммы по I.

Теорема 1. Пусть п > 5. Операторы І?СТ(Х), X Є р, зацепляют указанные К-типы следующим образом:

Теорема 2. Пусть п > 5. Представление неприводимо, за исключением случаев а —

0,1, 2,... и о = 4 — п, 3 — п, 2 — п,... В случае сг = 1,2,... пространство Л1 (5) имеет неприводимое конечномерное инвариантное подпространство ]ГХУ + И7;), I ст — 1, фактор-пространство по которому неприводимо. В случае а = 3 — п, 2 — п,... ситуация двойственная: пространство Л1 (5) имеет неприводимое бесконечномерное инвариантное подпространство ]>2(У + РУ;), I ^ 4 — п — а, фактор пространство по которому конечномерно и неприводимо. При а = 0 и а = А — п имеется одно неприводимое подпространство V и IV, соответственно, фактор-пространство по которому неприводимо.

Пусть А - оператор в Л1 (До)і сплетающий ТІ'1 с Соответственно разложению Т1„1 ^ = Та+Ка

он есть сумма двух операторов В я С, которые сплетают Та с и с Д„, соответственно. Как следует из [2], оператор В сплетает либо Та с Та и тогда он - скалярный оператор, либо Т„ с Т-г-п-а-Для второго оператора имеем теорему

Теорема 3. Пусть п > 5. Оператор С в Л1 (5), сплетающий с Д„, существует только для V — а и V = 4 — п — а. В обоих случаях он - единственный с точностью до множителя, при V = а он - скалярный оператор. Если і/ = 4 — п — а и представление приводимо, то оператор С вырождается на неприводимом подпространстве для Яа, а его образ есть неприводимое подпространство для ІІ4-п-а.

Утверждения теоремы вытекают из явных формул для собственных чисел г>(сг, /) и и>(а, I) оператора С на /їГ-типах У и ИЭти формулы доказываются с помощью теоремы 1. Для и — а эти собственные числа все равны, а для г/ = 4 — п — сг и неприводимого случая мы имеем

(1)

В,ГТ{р)\У1 = (а+ п- 4 + 1)Щ-1 + (а + 1)Ц + (а - I - 1)ТУг+1, Д,(Р)У = (о- + п - 4 + I)Уг_! + (<т + п - 4)ТУ/ + (о - I - 1 )Уг+1.

и(«7,1) = С ■ (-І)'Г(ст - /)Г(<т + п + I - 3),

4 — п — а

(1)

а

При о — 1,2,3,... и при сг = 3 — п, 2 — п, 1 — п,... мы имеем соответственно

Г(4 — п — о — I)

а и>(сг,1) дается (1). При и = 0 или а = 4 — п имеем соответственно V = 0 или ги = 0, а и) или V даются первой или второй формулой из (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Опимах А.В. Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 98-100.

2. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА НА МНИМОЙ ОСИ

© М.Ю. Сидляр

Пусть в пространстве К" задана билинейная форма сигнатуры (р, (?), р + д = п :

[х, у] = -Х1У1 - ... - хрур + Хр+1Ур+1 + ... + хпуп.

Рассмотрим пару двойственных гиперболоидов X : [х,х] = 1 и У : [у, у] = —1. Мы рассматриваем задачу о разложении билинейной формы на прямом произведении Т>(Х) х Т>(У) с ядром 5([х,у]), где <5(£) - дельта функция Дирака. Для р = 1, <у = 2 эта задача была решена в [1].

Одним из существенных шагов в решении этой задачи является разложение по собственным функциям оператора

с = (с2 + 1)^ + (""1)с1 на прямой. Уравнение = Аф заменой ф = (с2 4-1)-"'2/, где ь> = (п — 3)/2, сводится к уравнению

Ь/ = т(т +1)/, (1)

где т = а + у, А = а (а + п — 2),

Г /2 1\ г. ^

ь - (с + 1)зз' + 2ст: +

(ІС2 (ІС с2 + 1

Оператор I/ формально самосопряжен. Цель настоящей работы - получить спектральное разложение оператора Ь в пространстве £2(Е,с?с), см. теорему 1 ниже.

Возьмем оператор Лежандра

,2

<1г2 с1г 1 — г2

и рассмотрим его на мнимой оси: г = гс. Получим в точности оператор Ь. Поэтому решением уравнения (1) являются функции Лежандра Р^1'(гс), ..., см. [2], гл 3. Обозначим Вт(с) =

Р“1/(гс). Для функции /(с) обозначим /(с) = /(—с). Пусть (•, •) - скалярное произведение в Ь2(К, с?с).

Теорема! Имеет место следующее разложение по собственным функциям оператора Ь :

Г + ОО

(/,Л) = [ ы(т)[(/,Вг)(Вг,Л) + (/,Вт)(Д.,Л)]

■/ — оо

сір, (2)

'=—1/2+гр