CC BY
24
а и>(сг,1) дается (1). При и = 0 или а = 4 — п имеем соответственно V = 0 или ги = 0, а и) или V даются первой или второй формулой из (2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Опимах А.В. Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 98-100.
2. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА
НА МНИМОЙ ОСИ
© М.Ю. Сидляр
Пусть в пространстве К" задана билинейная форма сигнатуры (р, (?), р + д = п :
[х, у] = -Х1У1 - ... - хрур + Хр+1Ур+1 + ... + хпуп.
Рассмотрим пару двойственных гиперболоидов X : [х,х] = 1 и У : [у, у] = —1. Мы рассматриваем задачу о разложении билинейной формы на прямом произведении Т>(Х) х Т>(У) с ядром 5([х,у]), где <5(£) - дельта функция Дирака. Для р = 1. <у = 2 эта задача была решена в [1].
Одним из существенных шагов в решении этой задачи является разложение по собственным функциям оператора
с = (с2 + 1)^ + (""1)с1 на прямой. Уравнение = Аф заменой ф = (с2 4-1)-"'2/, где ь> = (п — 3)/2, сводится к уравнению
Ь/ = т{т +1)/, (1)
где т = а + у, А = а (а + п — 2),
Г /2 1\ г. ^
ь - (с + 1)зз' + 2ст: +
СІС2 (1с с2 + 1
Оператор I/ формально самосопряжен. Цель настоящей работы - получить спектральное разложение оператора Ь в пространстве £2(Е,с?с), см. теорему 1 ниже.
Возьмем оператор Лежандра
,2
<1г2 с1г 1 — г2
и рассмотрим его на мнимой оси: г = гс. Получим в точности оператор Ь. Поэтому решением уравнения (1) являются функции Лежандра Р^1'(гс), см. [2], гл 3. Обозначим Вт(с) =
Р“1/(гс). Для функции /(с) обозначим /(с) = /(—с). Пусть (•, •) - скалярное произведение в Ь2(К, с?с).
Теорема! Имеет место следующее разложение по собственным функциям оператора Ь :
Г + ОО
(/,Л) = [ ы(т)[(/,Вг)(Вг,Л) + (/,Вт)(Д.,Л)]
■/ — оо
сір, (2)
'=—1/2+гр
где
так что
со{т) = — (2т + l)ctgT7iT(T + v + 1)Г(—т + г/), отт
п — 2
+ ip
Наметим доказательство теоремы. Сначала мы находим резольвенту Лд = (АЕ — Ь) 1 оператора
L.
Пусть
ZT(c) = (с2 + 1 у/2 Г (с2 + \/с2 + 1 ■ cosct)7^ "(sina)2" c?q. ■/о
Функции Zr{c) и Яг(с) образуют базис в пространстве решений уравнения (1), они квадратично интегрируемы на —оо и +оо, соответственно. Поэтому ядро резольвенты при 1тЛ 0 есть
К (г гЛ — \ ^т{с)^т{х), С> X,
х[ ’ } \ гт(с)гт{х), с< х,
где А = т(т + 1) и И^о - коэффициент вронскиана: 1У = \¥о{с2 + I)"1.
Функция Вт выражается через Zт и Zт :
= к \е™т 12ZT + e-™T!2ZT
где bv 1 = 2Vt/kY{v +1/2). Переходя от Л к т и от Zr, Zr к Вт, Вт и используя теорему Титчмарша-Кодаиры, мы получим разложение:
dp,
Т— — 1 /2-f-ip
где 5'т = ЛА. Под интегралом можно оставить только четную часть по р подинтегральной функции. После этого мы и получим (2).
Отметим, что коэффициент И^о дается формулой
Ж, = Ъ~2{2т + 1)р(т)р(-т - l)ctgт7г, где р(т) - коэффициент перед гт в асимптотике функции Р~'/(г) на бесконечности (см. [1], 3.9 (19)):
2Г Г(т + 1/2)
р(т) =
Г(т + v + l)'
ЛИТЕРАТУРА
1. Molchanov V.F. Harmonic analysis on a pair of hyperboloids. Preprint Univ. Leiden, MI2004-04, 2004. 21 p.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
О РЕАЛИЗАЦИЯХ ОДНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА
© С. В. Цыкина
Пусть (7 есть группа БОо(2,2) - связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства М4, сохраняющих билинейную форму [х, у] = —х0у0 — х\у\ + Х2У2 +£з2/з- Группа С имеет центр {±Е}. Пусть Н - подгруппа в С, состоящая из неподвижных точек инволюции
