О реализациях одного пара-эрмитова пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

так что

со{т) = — (2т + l)ctgT7iT(T + v + 1)Г(—т + г/), отт

п — 2

+ ip

Наметим доказательство теоремы. Сначала мы находим резольвенту Лд = (АЕ — Ь) 1 оператора

L.

Пусть

ZT(c) = (с2 + 1 у/2 Г (с2 + \/с2 + 1 ■ cosct)7^ "(sina)2" c?q. ■/о

Функции Zr{c) и Яг(с) образуют базис в пространстве решений уравнения (1), они квадратично интегрируемы на —оо и +оо, соответственно. Поэтому ядро резольвенты при 1тЛ 0 есть

К (г гЛ — \ ^0 ^т{с)^т{х), С> X,

х[ ’ } \ иг0-1гт(с)гт(х), с< х,

где А = т(т + 1) и РУо - коэффициент вронскиана: ТУ = И^о(с2 + I)-1.

Функция £?т выражается через Zт и Zт :

= к \е™т 12ZT + e-™T!2ZT

где 1 = 2,/і/7ІТ(і' +1/2). Переходя от Л к т и от Zr, Zr к Вт, Вт и используя теорему Титчмарша-Кодаиры, мы получим разложение:

dp,

Т— — 1 /2-f-ip

где 5'т = ДА. Под интегралом можно оставить только четную часть по р подинтегральной функции. После этого мы и получим (2).

Отметим, что коэффициент И^о дается формулой

Ж, = Ъ~2{2т + 1)р(т)р(-т - l)ctgт7г, где р(т) - коэффициент перед гт в асимптотике функции Р~'/(г) на бесконечности (см. [1], 3.9 (19)):

2Г Г(т + 1/2)

р(т) =

Г(т + v + l)'

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V.F. Harmonic analysis on a pair of hyperboloids. Preprint Univ. Leiden, MI2004-04, 2004. 21 p.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

О РЕАЛИЗАЦИЯХ ОДНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА

© С. В. Цыкина

Пусть (7 есть группа БОо(2,2) - связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства М4, сохраняющих билинейную форму [х, у] = —х0у0 — х\у\ + Х2У2 +£з2/з- Группа С имеет центр { ± Е }. Пусть Н - подгруппа в С, состоящая из неподвижных точек инволюции

д і-4 їді, где I — с1іа§{ —1,1,1, — 1}. Она имеет две компоненты связности. Компонента, содержащая Е, есть Не = йОо(1,1) х 80о(1,1), вторая есть —Не. Однородное пространство С/Н является пара-эрмитовым симметрическим пространством. В настоящей работе мы рассматриваем некоторые реализации пространства С/Н и связи между ними.

Пусть С - конус [і,х]=0,а:^0вІ4. Группа (7 действует на нем транзитивно сдвигами х хд. Мы считаем, что группа действует справа, в соответствии с этим записываем вектор в виде строки. Для х Є М4 обозначим \х\ — \/х\ + х\. Рассмотрим два сечения конуса: 5 = {|ж| = 1} и X = {жо = 1}- Первое сечение есть тор, второе можно отождествить с однополостным гиперболоидом X : —х\ + х2 + х\ = 1 в К3, а именно, точке х = (хі,х2,хз) из X мы сопоставляем точку х = (1,Хі,Х2,Хз) из X.

Группа С действует на 5 следующим образом: в ^ в ■ д = яд/ |.чг/|. Это действие транзитивно. Возьмем в 5 две точки 3і = (1,0,0, ±1). Рассмотрим диагональное действие группы С на прямом произведении 5 х 5, т. е. [и,у) н» (и ■ д,у ■ д),и,у Є 5,д Є С7. Это действие уже не транзитивно. Имеются 8 орбит этого действия: 2,4,2 орбиты размерностей 4, 3,2, соответственно. Две “большие” орбиты Г2+ и (размерности 4) состоят из пар {и, у) шз Б х Б, таких, что [и, у\ < 0 или [и, и] > 0, с представителями (з+,з~) и (з+,— в-), соответственно; две орбиты размерности 2 состоят из пар (и, и) и (и,—и), и Є 5; четыре орбиты размерности 3 имеют своими представителями пары (в+,(0,±1,±1,0)).

Стационарной подгруппой пары (в+, в ), а также пары (й+, —в ), служит Не, так что каждая из орбит П* есть С/Не. Чтобы получить С/Н, надо от Бх Б перейти к фактор-пространству (5х Б)/± (отождествляем пары (и,и) и (—и, —у))- Тогда каждая из орбит П±/± есть как раз С/Н. Реализуем наше пространство Ж4 как пространство матриц

= I ( хо~хз ~Х\ + х2 \

~ 2 V Х1 + ^2 х0 + Хз ) '

Пусть Ь есть группа БЬ (2, К). Прямое произведение ЬхЬ действует на пространстве этих матриц:

хь+д^хдг, (ді,д2)еЬхЬ,

при этом сієї, х сохраняется. Так как (іеі х = — (1/4) [х, х], то мы получаем гомоморфизм а : ЬхЬ —» С? с ядром {(Е,Е), (—Е,—Е)}, так что Є = (Ь х ¿)/22.

Гиперболоид X — X состоит из матриц, для которых хо — Ьгх = 1. Группа Ь действует транзитивно на X сопряжениями:

х^д~гхд, д Є Ь.

Стационарной подгруппой точки х° = (0,0,1) из X (или, что все равно, точки в+ из X) служит подгруппа Б диагональных матриц. Прямое произведение ЬхЬ действует на прямом произведении X х X гиперболоидов:

(х,у) {дї1хді,д21уд2), (31,32) Є Ь х Ь.

Стационарная подгруппа пары (а;0, а;0) есть О х Б, ее образ при гомоморфизме а есть Н. Поэтому С/Н есть X х X. Поскольку С/Н есть также и П+/±, мы получили диффеоморфизм ір : X х X —» П+/±. В частности, он переводит (а;0,а;0) в ±(5+,5_).

Теперь рассмотрим отображение ф "вдоль образующих": паре ±(м, у) Є БхБ/± мы сопоставляем пару (г, ги) из X х X такую, что г — и/и о, гй = у/уо- Это отображение определено для и0 ф 0, уо ф 0. Возьмем композицию фо(р диффеоморфизма ір и отображения ф: (х, у) И- ±(и, у) н- (г, ги). Получим отображение тт : X х X —> X х X. Для явного выражения 7г удобно использовать орисферические координаты £,77 точки а; из Л’:

х = (I — £??)-1(£ + 7/, £ — 77,1 + £77), £,?7 Є Е.

Пусть точки х,у из X имеют орисферические координаты (£,77) и (Л, р). соответственно. Тогда точки г, ги имеют координаты (Л, 77) и (£,/г), соответственно. Геометрически это означает, что паре х,у ставится в соответствие пара г,ю, которая получается при пересечении прямолинейных образующих, проходящих через х,у. Отображение тт определено всюду на X х Л’, за исключением множества пар (а:, —а;), х Є X.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.