CC BY
16
Секция: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРА-ЭРМИТОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ РАНГА ОДИН
© Н.Б.Болотова
Пара-эрмитовы симметрические пространства ранга один исчерпываются с точностью до накрытия пространствами G/H с G = SL(n, R), H = GL(n — 1,K). В формуле Планшереля для G/H участвуют представления из серии представлений Та£, a G С, е = 0,1, связанных с G/H, см., например, [1]. Наша цель - показать, что наряду с обычной реализацией этих представлений (см. ниже
О
такую реализацию в некомпактной картине) полезно использовать еще одну реализацию, см. Та,Е ниже. Последняя получается при индуцировании с противоположной параболической подгруппы. Совместное рассмотрение этих двух реализаций позволяет связать представления универсальной обертывающей алгебры Env(g) в многочленах и в обобщенных функциях, сосредоточенных в точке, дать описание конечномерных подпредставлений и т.д. Аналогичная ситуация имеет место для максимально вырожденных представлений группы G, см. [2].
Рассмотрим следующие матрицы из G:
Ъ =
матрицы записаны в блочном виде соответственно разбиению п = 1 + (п — 2) + 1,
J — diag { —1,1,1}. Пусть Z - подгруппа, состоящая из матриц z, пусть dz - инвариантная мера на Z: dz = de dsi dtj. Почти всякую матрицу g G G можно записать в виде g — bz (раз-
ложение Гаусса). Представление Та>е действует в некотором пространстве VrTt£(Z) функций f(z) класса С°° на Z:
(T<r,e{g)f) (z) = (r/p)a'£ f{z), где z, р, г находятся из разложения Гаусса матрицы zg: zg = bz, мы используем обо-
I I * 0
значение ха'£ = Ixpsgn^o;, х G Е . Представление Та^£ эквивалентно представлению Тст,е'-
о о
Та,е (9) = Ta^(wgw), заметим, что w~ = w. Определим оператор В<7,е'-
(в»,е /) (z) = J К (z,w)1 " a'Ef(w)dw,
где К {г, ги) = (1 — яЛ» + cd)(l — иЛ + ей), матрицы г и ш из Z имеют параметры с, и d,u,v,
^ О О
соответственно, С = — С. Этот оператор сплетает Та>е С Т\-п-<т,е и Та,е С Композиция
О О
В1 п В(Т)Е есть скалярный оператор - умножение на число
/?(<7, £") — 2 7Г
2„_, г - - --------------------------------------------------------------12
2(7 + п — 1
. а — е а + е + п
sm —-—7г ■ cos------- ----7г
tg (ст+Ю7г-
Это равносильно тому, что Ва,е переводит тождественную единицу 1 в дельта-функцию (5, сосредоточенную в единице Е группы Z, с множителем /3(а, е).
О
Пусть и = m 6 N, е = m (mod 2). Тогда оператор 13о,и имеет ядро Мт. Это - некоторое
О
конечномерное пространство многочленов на Z, содержащее 1. Оно есть образ оператора Bi-n-m,e,
е = ш, рассматриваемого на пространстве Т>'(}(^) обобщенных функций на Е, сосредоточенных в Е. Следовательно, если Р £ то функция /, определенная формулой
f(z) = [ k(z,wГF(w)dw, (1)
О
принадлежит Мш. Равенство (1) показывает, что многочлен К {г,и))т есть "производящая функ-ция"для элементов пространства Мт. На пространстве Мт существует единственная с точностью
до множителя билинейная форма Ьт (/, К), инвариантная относительно пар (тт, Тт) и (Тт,Тт^.
Эта форма есть Е(г)к(г) ¿г, где F связано с / посредством (1).
ЛИТЕРАТУРА
1 .Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для касательного расслоения проективного пространства // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. №. 5. С. 1067-1070.
1. Болотова Н.Б. Некоторые реализации максимально вырожденных представлений алгебры Ли группы БЦп, К) // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 83-84.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
© Л.И.Грошева
В настоящей работе мы переносим на пространство Лобачевского результаты из [1], [2] о разложении канонических и граничных представлений. Изложение в большой степени параллельно [1],
И-
Мы используем "модель Клейна": пространство Лобачевского размерности п — 1 реализуется как единичный шар 5 : (и,«) < 1 в К"-1. Здесь (•, •) - стандартное скалярное произведение. Группа С? движений есть группа С? = 80о(гг — 1,1), она действует на В дробно-линейно:
иа + 7 ( а в \
и и ■ а = — а = с >
У и/3 + 6’ У V 7 6 )
матрица д £ & записана в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1. Стационарная подгруппа точки 0 есть К = БО(п — 1).
Пусть 5 - граница шара В, она есть сфера («, в) = 1 размерности п — 2. Группа О действует на 5 транзитивно.
Представления Т„ группы С?, связанные с конусом, действуют в 2?(5) по формуле
(ГЛзМЫ = Ф ■ д){.з$ + 6)а.
Скалярное произведение из Ь2(5,с1з), где - евклидова мера, инвариантно относи-
тельно пары (Уст,Тг-п-тг)- Представления Т„ неприводимы для всех а £ С, за исключением сг £ N = {0,1,2,...} и а 6 2 - п - N.
Оператор Аа на Х>(5), задаваемый формулой
(А^)(«)= [ (1-(М»2-п->(^,
Js
сплетает Та и Т^-п-о- Он имеет простые полюсы в точках а Е (2 — п)/2 + N. На константах А„ есть умножение на число
