CC BY
17
ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ПАРА-ЭРМИТОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ РАНГА ОДИН 1
В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова
В настоящей работе мы приводим аналог результата Желобенко об индикаторных системах для аналитических конечномерных представлений комплексной группы ЭЬ(п, С), содержащихся в основной невырожденной серии представлений этой группы, см. [1], гл. X.
Мы рассматриваем аналогичные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений этой группы, отвечающей разбиению п = 1 + (п —1) + 1 числа п. Вместо аналитических представлений группы 8Ь(п, С) нам будет удобно иметь дело с конечномерными представлениями вещественной группы ЭЦп,К). Такие представления естественно возникают при изучении полиномиального квантования на пространстве ЭЬ(п,М)/СЬ(п — 1,Е). Они реализуются в многочленах на подгруппе 2 нижних унипотентных блочных матриц. Заметим, что группа 2 есть группа Гейзенберга размерности 2п — 3. Наш результат содержится в теореме 2 ниже.
Мы используем обозначения:
Ец есть "матричная единица", это матрица, в которой на месте (г,^’) стоит 1, а на остальных местах стоят нули;
N = {0,1,2,...};
знак сравнения = означает сравнение по модулю 2;
ха,£ = ^^п^,
где хб1* =1\ {0}, о £ С, е = 0,1;
для многообразия М через Т>(М) обозначается пространство Шварца бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций на М с компактным носителем, через Т>'(М) - пространство обобщенных функций на М (линейных непрерывных функционалов на Т>(М)).
Пара-эрмитовы симметрические пространства ранга один исчерпываются с точностью до накрытия пространствами С/Н, где в - наша группа БЬ(п,К), Н = ^(СЦп — 1, К) х СЬ(1, М)). Подгруппа Н есть стационарная подгруппа точки Е,,„ пои действии группы О на пространстве' ветттественных матпитт п-ого порядка
гЫЬ г Г «/ Г V ^ 1 1 1 ' 1
сопряжениями: х ь->• д~гхд, она изоморфна СЬ(п — 1,К).
хРабота поддержана грантами: РФФИ 05-01-00074а, 05-01-00001а, 06-06-96318 р_центр_а, Голландской организации научных исследований (К\¥0) 047-017-015, Научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.2.02.
В гармоническом анализе на пространстве С/Н и в полиномиальном квантовании на этом пространстве (см. [2], [3]) существенную роль играют представления Та,Е, с е С, е = 0,1, связанные с пространством С/Н. Они строятся следующим образом.
Будем записывать матрицы д из (? в блочном виде соответственно разбиению п — 1 + (п — 1) + 1. Рассмотрим подгруппы 2 и В группы С, состоящие соответственно из матриц
/ 1 0 0 \ / р * * \
2= ££0 ,&= 0д* , (1)
\ с я 1 / \ 0 0 г )
где й - вектор-строка из Е”-2, t - вектор-столбец из Еп~2, с - число из Е, р, г -числа из К*, д - матрица из СЬ(п — 2, Е). Матрица, обратная матрице г, есть
/ 1 ° 0\
г-1 = \ -г Е 0 ,
V с -8 I)
где с = вЬ — с. Пусть с1г обозначает инвариантную меру на 7:
с1г = с?сс^2 • • • йвп-! <И2 ■ • •
Почти всякую матрицу д € С? можно записать в виде произведения: д = Ьг (разложение Гаусса).
Представление Т^е группы С? действует в некотором пространстве Т>аА^) функций на 2 (мы не будем давать описания этого пространства) следующим образом:
(т„М/) М = /(г)ф'’’1, (2)
где г, г, р находятся их разложения Гаусса матрицы гд: гд = Ьг. Пространство X>сг,е(-2’) содержится в С°°(7,) и содержит £>(.£).
Наряду с представлениями Та>£ будем рассматривать тесно с ними связанные
О
представления Та,е- А именно, возьмем в матрицу
/0 0 1\
го = | 0 ./ 0 I ,
VI о Ч
где J - диагональная матрица порядка п — 2 с диагональю { —1,1,...,1}. Ее квадрат равен единичной матрице: ш2 = Е, так что го-1 = го. Положим
Та,е{д) = т^иод-ил).
О
Представления Та,е и Т^Е эквивалентны, поскольку
Та Аз) = Са,1 ТаАд)Оа,е, С„>е = Га>с(ш).
Пусть д - алгебра Ли группы С. Она состоит из вещественных матриц порядка
О
п со следом нуль. Представления Та<е и Та,е группы (7 порождают представления алгебры Ли д, мы будем обозначать их теми же символами. В этих представлениях элементам алгебры 0 отвечают некоторые дифференциальные операторы. Эти дифференциальные операторы действуют не только в пространстве Т>а>е^), но и в других пространствах, например, в пространстве 5(^) всех многочленов на 7 (многочленов от с, з, £), в пространстве Ъ'0(г) обобщенных функций на сосредо-
точенных в точке Е, в этой точке с = 0, в = 0, £ = 0. Для всех этих представлений алгебры 0 мы сохраним их символы.
Рассмотрим, в частности, представление Тт,т, тбМ, т.е. представление Та^е с
о = пг, е = т, алгебры 0 в пространстве 5(<£). Оно имеет конечномерное инвариантное неприводимое подпространство Ут, содержащее тождественную единицу 1. Пусть Тт - ограничение представления Тт.т на подпространство Ут. Оно может
------- Г1 ТЭ---„ /0\ ------------Т----------------Г1 „ лг
иЬ11£> иидплхи па ХрЗ'ПП}' ЦТ. и ШШЙСИ^ЮИИ ^ ирсд^хавлсппс ±т П V т
дается формулой:
(Тт{д)Л (*) = /(2)(^) •
Старший вектор этого представления есть (сс)т, младший вектор есть 1, старший вес есть (т, 0,..., 0, —т), размерность равна
/ \ 2 ^ 2т + п — 1 (т + п — 2
ті — і V т
Старший (младший) вектор - это вектор, аннулируемый алгеброй Ли верхних (нижних) треугольных матриц с нулевой диагональю, старший вектор является собственным вектором для алгебры диагональных матриц. Старший вес - это линейная функция на этой алгебре, дающая собственные числа. Старший и младший векторы получаются друг из друга с помощью оператора Ст = Тт(п)).
Напишем сплетающие операторы. Определим оператор Ва>£ в функциях на 7 формулой
св«/)м = I к(х, су* т<%,
где
К {г, С) = Ф(г,С)Ф(С,*), (3)
Ф(г,С) = (4)
О о
Этот оператор сплетает представления Та<£ и Ті-п-а,є, а также представления Та,є и Тх-п_ау£. Запишем (3) и (4) через матричные элементы матриц г (см. (1)) и (. Пусть
'10 0 С = | V Е 0 а и 1
тогда
Ф(г, С) = 1 — sJv + ca
= 1 + 82У2 - - ... - вп-хУп-х + са,
так что
К (г, С) = (1 — sJv Л- са)( 1 — иЛ + ос).
При ст = 1 — п — т, є = т оператор Ва>е отображает пространство Vц(^) на пространство Ут. Это дает следующую теорему.
Теорема 1 Всякий многочлен / Є Ут может быть записан в виде
где ^ € &0(г).
В частности, дельта-функция 6(г), сосредоточенная в точке Е (эта функция есть 6(0)6(82)... 6(зп-1)6^2)... 5(£„_1)), переходит в тождественную единицу 1.
В алгебре Ли группы ^ матрицы Ец, Еп{. г = 2,..., п — 1, являются образующими. Инфинитезимальные операторы левых сдвигов на группе отвечающих этим матрицам, - это дифференциальные операторы
Рассмотрим в пространстве б'(^) систему уравнений
Назовем ее, следуя Желобенко [1], индикаторной системой. Пусть 5т обозначает пространство решений этой системы.
Теорема 2 Пространства Ут и 5ТО совпадают.
Заметим, что при п = 3 это - результат Желобенко для п = 3 и сигнатуры (т, 0, — т).
Приведем набросок доказательства этой теоремы.
Сначала мы показываем, что при всяком фиксированном С ядро К(г,(,)т является решением системы (5). Это вытекает из того, что при фиксированном С для всякого г = 2,..., п — 1 имеют место соотношения:
Отсюда в силу теоремы 1 следует, что пространство Ут входит в пространство 5т:
ЬТ+Ч = 0, Дт+7 = 0, г = 2,..., п — 1.
(5)
^Ф(2,С) = 0, Ь"Ф(С,г) = 0, Д2Ф(г,С) = 0, ДФ(С,г) = 0.
Далее мы показываем, что пространство Sm инвариантно относительно представления Тт^т алгебры Ли g и что оно конечномерно.
С другой стороны, пусть В0 обозначает подгруппу группы В, состоящую из матриц b, см. (1), с р = г = 1. Оказывается, что всякий старший вектор (многочлен) для Тто>т в S(Z) аннулируется не только алгеброй верхних треугольных матриц с нулевой диагональю, но и алгеброй Ли группы Во. Это определяет его однозначно с точностью до множителя, он равен (сс)т. Поэтому старший вектор в Sm совпадает с этим многочленом (сс]т. Следовательно, Sm = Vm.
ЛИТЕРАТУРА
1 .Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.
2. В. Ф. Молчанов. Формула Планшереля для касательного расслоения проективного пространства. Докл. АН СССР, 1981, том 260, N2 5, 1067-1070.
3. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 215-232.
