Конечный анализ на симплетическом полупростом симметрическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Далее мы строим аналог схемы Бернулли и выводим аналог формулы Бернулли для введенных отношений. Мы имеем в виду в дальнейшем изучить, насколько и в какой форме может быть перенесена теория для независимых случайных величин (предельные теоремы и прочее) на конфликтующие или согласованные случайные величины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Артемов А.А. Вероятностно-статистический конфликт и вероятностно-статистическое согласие // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2. С. 155 - 156.

КОНЕЧНОМЕРНЫЙ анализ на СИМПЛЕКТИЧЕСКОМ ПОЛУПРОСТОМ СИММЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Н.Б. Болотова

Настоящая работа посвящена изучению представлений в многочленах на однородных пространствах О/Н, где С = БЦп.Е), // = СЦп — 1, К.). Эти пространства исчерпывают с точностью до накрытия симплектические полупростые симметрические пространства ранга 1. Наше пространство О/Н можно реализовать как многообразие X матриц х = (ж|;) £ МаЦп.Ш), у которых ранг и след равны 1. Группа С действует сопряжениями: х у— у~1 ху. Стационарная подгруппа точки х° = Епп (матричная единица) есть //.

Пусть Л*(Л’) обозначает пространство ограничений на X многочленов от Хц степени <С к. В нем действует представление 11к группы О сдвигами: {(^к(ц)Г){х) = /’ {д~1 ху). Наша цель - изучить разложение ик на неприводимые представления вплоть до формулы Планшереля. Случай п = 2 был рассмотрен в [2].

Мы используем инструментарий ’’обычного” бесконечно-мерного гармонического анализа (см., напр., [1]): //-инварианты, преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции.

Представление IIк эквивалентно тензорному произведению зг^Г ® неприводимых конечномерных представлений со старшими весами (к, 0,.., 0) и (0,.., 0, —к), соответственно. Представление тг^ действует в пространстве 14 многочленов у?(£) от £ = (£1, ..,£„_!) (это - вектор-строка) степени <; к по формуле

= + </=(“ ? ). где матрица у £ С записана в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1. Представление тг^" есть композиция о а, где а(д) = 1д'~1 /, штрих означает транспонирование, / = diag {1,.., 1,-1}. Пусть Кк(£, г]) - билинейная форма на 14, инвариантная относительно пары (тг^Г, тг^) и нормированная условием Кк( 1,1) = 1. Такая форма единственна. Образуем ее ’’тензорный квадрат” С)к'- на чистых тензорах в 14 14 полагаем Цк{ф\ ® Ф\, <Р2 ® Ф?) = Кк^ХуФт.) Кк(ф2>Фг).- Форма С)к инвариантна относительно

ж к 03 7Г+.

Введем на X орисферические координаты ?/:

1

х =

(Г Г)

где ( , ) обозначает стандартное скалярное произведение в К"-1. Разделим все многочлены /(£,»/) из 14 ® 14 на многочлен (1 — (£, »/))*. Мы получим изоморфизм 14 С*014 = Лк(Х), сплетающий тг^Г М и (/к-

Перенесем Сік на Лі-(Л") и обозначим полученную форму через В*.

Рассмотрим конечномерные неприводимые представления Тт, т (Е И, индуцированные характерами верхней блочно треугольной подгруппы В, отвечающей разбиению п = 1 + (л — 2) + 1. А именно,

пусть Z - нижняя блочно треугольная подгруппа матриц г с диагональю 1 ,Е, 1. Тогда Тт действует

в неприводимом пространстве Мт многочленов от матричных элементов матрицы г, содержащем 1, по

формуле (Тт(д)ф)(г) = ф(Т) (ьпп/Ь\ і^ , где г 6 2, Ї 6 /) находятся из разложения Гаусса матрицы

гд : zg = bz. Представление Тт имеет старший вес (т, 0,О, — т). Пусть Lm - билинейная форма на Мт, инвариантная относительно Тт с нормировкой Lm (1, 1) = 1. Такая форма единственна.

Подпространство М,„ (через Vй обозначается подпространство //-инвариантов в пространстве V) одномерно, базисом служит #m(z) = {(г-1 )n! }т. Этот Я-инвариант порождает ядро Пуассона Рт(х, z) = (‘Тт(д~1)От) (г), где х = д~1х°д, и преобразование Пуассона Тт по формуле (Vmip)(x) = Lm (Рт(х, ),ф). Оно отображает Мт на п]>остранство Sm{X) многочленов на X степени т и сплетает Тт с представлением сдвигами. Форме Вк отвечает форма Lm с множителем: Вк(Ттф\, Ттфъ) = ш(к, т) Lm(^j, ^2). где и>(к, т) = а(к, гп)/а(т, т), п(к, т) = (к — т)! (к + т + п — 1 )!/&!'.

С другой стороны, ядро Пуассона определяет еше преобразование Фурье Ткт '■ Ак(Х) — Мт, а именно, (Jrk,nF)(z) = Вк(Рк(-, z), F). Оно сплетает Uk с Тт и сопряжено преобразованию Пуассона: Lm{^FkmF, Ф) = Bk(F, Vmip). Композиция этих преобразований есть скалярный оператор: ТктРт — ш(к, т)Е.

Функция Фт = Т,п0,„ из Sm(X) называется сферической функцией. Она инвариантна относительно Я, следовательно, есть функция (многочлен степени т) от хпп:

4m(x) = (-l)m ^2r?f +^' F(-m, т + 71 -2; 1; х„„),

где F гипергеометрическая функция Гаусса.

Пусть Ф € Ак(Х)н. Сопоставим Ф оператор Ft— Ф * F в Лк(.Х) - свертку с Ф : (Ф * F)(x) = Вк (и(д~')Ф, F) , х = д~1х°д. Свертка с Ек — х^п - тождественный оператор.

Подведем итоги. Представление Uk разлагается в прямую сумму То + ... + 7\ без кратностей соответственно разложению Ак(Х) = .S'q(.V) + ... + .S'*.(.V). Пространство Лк(Х)и является коммутативной алгеброй относительно свертки. Единицей служит Ек- Функции ш(к, т)~1Фт, 0 ^ т ^ к, образуют полную ортогональную систему идемпотеитов, так что Ек = w(&, 7?i)-1 Ф,„. Последнее разложение

равносильно формуле Планшереля:

к

Bk(F, F)=J2 u(k,m)~l Lm(FkmF, TkmF).

m=0

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах // Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 59, 5 — 144.

2. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. In: Proc. Tambov Summer School-Seminar ’’Harmonic analysis on homogeneous spaces”. Aug 26 — 31, 1996// Вести. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т.З. Вып. 1. С. 65 - 78.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА И ФУРЬЕ. СВЯЗАННЫЕ С КАНОНИЧЕСКИМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

© Л .И. Грошева

Изучение граничных представлений, порождаемых каноническими представлениями на эрмитовом симметрическом пространстве С/К, было начато в [1] для ключевого примера - плоскости Лобачевского. Далее было замечено, что в изучении граничных представлений решающую роль играет мероморфная структура сплетающих операторов (мы называем их преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями). Цель настоящей работы - изучить эту мероморфную структуру для плоскости Лобачевского - единичного круга £) : гг < 1 в С. На И действует группа О = 811(1,1) дробнолинейно. Пусть 5 есть окружность гг = 1 и О = О и .V.

Элементарные представления Т„,а £ (С, группы О действуют в Т>(.$) по формуле

(^(.<7)^)(«) = ¥>(« • .'/)!&« + а|~2<7-2, и ■ д =

аи + Ь _ / а Ь \ Ьи + а' 9 \ Ь а )