Полиномиальное квантование и надгруппы для пара-эрмитовых пространств ранга один Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ И НАДГРУППЫ ДЛЯ ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ РАНГА ОДИН

© В.Ф. Молчанов

Мы развиваем нашу идею [1]. В настоящей работе мы рассматриваем связь полиномиального квантования и надгруппы для пространств G/Н, где G — SL(n, Е), Н = GL{n — 1, Е). По сравнению

с [1] мы объясняем еще, как в этом контексте появляется преобразование Березина.

Надгруппа G для G есть G х G. Пусть С есть множество матриц х € Mat (n, Е) ранга 1. Это -

"конус": вместе с I он содержит tx,t £ Е*. Группа G действует на С:

х^д~1хд2, (51,32) eG.

Для А 6 С и j/ = 0,1 пусть 'D\ V(C) обозначает пространство функций / класса С°° на С однородных "степени A,z/':

f(tx) = tx'vf(x),

где t 6 Е* и мы используем обозначение tx,v — |t|AsgnI,t. Определим два представления R\tt/ и Дд,v в Т>х,и(С): первое действует сдвигами:

{R\,v(9i,92)f)(x) = f{gT1xg2),

второе получается из первого перестановкой 31 и 32.

Запишем д Е G в блочном виде соответственно разбиению п = (п — 1) + 1:

( а р

9=U 8

Подгруппа Н с G состоит из блочно диагональных матриц.

Пусть X - сечение конуса С плоскостью tra; = 1. Оно инвариантно относительно диагонали в G, изоморфной G, и есть G/Н. Группа G действует на X следующим образом:

х и- х — {д\~1 хд-2)/tr (3f ^Зг)- Ограничения функций из Т>х,„{С) на X образуют некоторое пространство Т>\^(Х). В реализации на X представление R\,v имеет вид

{R\A9u92)f){x) = f{x){tv{g^lxg2)}x'v, х е X.

Оператор Qл,„, определенный формулой

(Q\,v)(x) = c{X,v) [ {tr(xy)}~x~n'v f(y)dy J x

сплетает R\.v с R\~n,v и R\tV с R-x-n,w Оператор Q\,u можно распространить на обобщенные функции на X. Тождественная единица /о на X является собственной функцией для Qx,v, множитель с(А, и) взят так, чтобы собственное число равно было 1.

Напомним [2] максимально вырожденные представления группы G: они действуют в некоторых пространствах функций <^(£) и %1>(г]) на Е"-1 по формулам:

(VeteVX0 = vitiiZP + 6У’£, ('кХЛ9)Ч>)('П) = + ,

где £,г) - векторы-строки из En_1, д = 1д'~х1, штрих означает транспонирование,

I = diag { — 1,..., —1,1},

~ + 7 ^ _ г/а + 7

£/3 + <5 ’ ^ г/Р + 6 Введем на X орисферические координаты £, г\\

х - -1- ( -4

i-w\ £ 1

Обозначим

$(f,4) = ^(f,4) = (l-^)

Элементы (е,д) и (д,е) из переводят точку с координатами (£, г]) в точку с координатами (£,т]) и соответственно. Поэтому

(Б\^(д,е)/){^г]) = ф^у(1®7Г^(5))[/(С,т?)Ф(С,»?)].

Перейдем здесь от группы к универсальным обертывающим алгебрам Епу и сохраним символы для представлений. Тогда зависимость от и исчезнет, так что мы не пишем гл Возьмем / = /о- Тогда для X £ Епу(д) получим

ДЛ( 0,Х)/о = ^КРО®1)Ф,

ДА(Х,0)/о = ^(1®7Г+(Х))Ф.

Здесь правые части ~ это соответственно ковариантный символ оператора 7Гд (X) и контравариант-ный символ оператора 7г1Л_д(Х). Оператор <2-а-п,к переводит второй символ в первый, так что <5-л-п,1/ есть преобразование Березина -Ва,^-

ЛИТЕРАТУРА

1 .Молчанов В.Ф. Полиномиальное квантование и надгруппы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 93-94.

2.Болотова Н.Б. Полиномиальное квантование на пространстве 51/(п, Ш)/СЬ(п — 1, Ж) // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. С. 141-142.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов Минобр. РФ Е02-1.0-156, НТП "Университеты России" ур.04.01.052, НИР темплана 01.002.2.

СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ НА КОНУСЕ

© А.В.Опимах

В настоящей работе мы находим сплетающие операторы (в матричной форме) для представлений псевдоортогональной группы (7 = 80о(1,п — 1) в дифференциальных формах первой степени на конусе. Эти представления были описаны в [1]. Мы будем рассматривать общий случай: п > 5. Напомним необходимый материал из [1].

Группа б сохраняет форму [х,у] — — Х1У1 + х2уг + ••• + хпуп в Ж". Мы будем считать, что (3 действует линейно в М" справа: х н-> х = хд, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки. Пусть До _ конус (верхняя пола) [ж, ж] = 0, Х\ > 0. Группа О действует на нем транзитивно.

Для многообразия М обозначим через А 1(М) пространство дифференциальных форм на М первого порядка с гладкими коэффициентами.

Группа С действует в А1 (До) сдвигами: элемент д £ Сг переводит форму и = '^2и)к{х)<1х11 в форму и> = ^2 Шк{х)<1хк, в качестве координат на До можно взять Х2, хп. Пусть А^(До), а £ С, -подпространство в А1 (До), состоящее из форм степени однородности а:

^|ж*—УЬх — ^ 1 ^ 0.

Группа (7 сохраняет это пространство. Пусть - соответствующее представление группы (?. Оно распадается в сумму двух представлений Та и 11п, действующих в инвариантных пространствах Г)„ и На, соответственно. Пусть Б - сечение конуса плоскостью х\ — 1, это - сфера размерности п — 2,