CC BY
25
Литература
1. Н. А. Малашонок. Многочлены над двумерными алгебрами. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2008, том 13, вып. 1, 12-13.
N. A. Malaschonok. Factorization of polynomials over two-dimensional algebras For polynomials over algebras of generalized complex numbers (two-dimensional algebras over the field of real numbers), some classical problems are considered: existence of roots, types of roots, factorization
Keywords: associative algebras, zero divisors, polynomials over algebras
УДК 517.98
Надгруппа и преобразование Пуассона для пара-эрмитова пространства 1
© В. Ф. Молчанов
Для канонических представлений на пара-эрмитовом пространстве С/Н, <7 = 8Ц2, К), Н - диагональная подгруппа (так что С/Н - однополостный гиперболоид в Е3), мы находим явно взаимодействие операторов Ли надгруппы С х С с преобразованиями Пуассона, связанными с каноническими представлениями
Ключевые слова: пара-эрмитовы пространства, канонические представления, надгруппы, преобразования Пуассона
Рассмотрим пара-эрмитово симметрическое пространство С/Н, где (7 - группа 8Ь(2,К), а Я - ее диагональная подгруппа (так что С/Н - однополостный гиперболоид в 1,!). Надгруппой для (7 служит прямое произведение (С = (7 х (7. Эта группа накрывает псевдо-ортогональную группу БОо(2,2) с кратностью 2. В группе С естественным образом выделяются три подгруппы, изоморфные <7. Первая из них, обозначим ее (7^, есть диагональ, состоящая из пар (д,д), д Е (7. Еще имеются две компонентные подгруппы, обозначим их Сх и (?2, состоящие соответственно из пар (д,Е) и (Е,д), д Е С.
Пусть д - алгебра Ли группы (2. Тогда алгебра Ли надгруппы (7 есть прямая сумма д = д + 0, а алгебры Ли 0й, 01, 02 подгрупп Сп, (72 состоят соответственно из пар (X, X), (0,Х), (Аг, 0), X Е 0.
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие
Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом
1.5.07.
Канонические представления Яд^, А £ С, V = 0,1, группы £ на (2/Я получаются как ограничение на представлений надгруппы (7, связанных с конусом.
Элементам из универсальных обертывающих алгебр Епу д и Епу д в представлениях Яд)1У и Яд)1У отвечают дифференциальные операторы, которые не зависят от параметра поэтому для них мы будем опускать^ и в^обозначении.
В работе [2] мы изучили взаимодействие операторов Я\(Х), X Е 01 с преобразованием Пуассона ЯСТ)£, а Е С, г = 0,1 (определение см. ниже): мы вычислили композицию ЯлРО о Рае. Для X Е $(1 ответ прост, поскольку преобразование Пуассона - сплетающий оператор. Поэтому достаточно брать X из какого-нибудь подпространства в д, дополнительного к д^. В [2] в качестве такового мы взяли подпространство т, состоящее из пар (—X, А'), и использовали компактную реализацию представлений Яд^. В настоящей работе мы берем подалгебру д2 и используем некомпактную реализацию представлений Яд)1У. Этот подход подсказан конструкцией полиномиального квантования с помощью надгруппы, см. [1], мы ожидаем, что именно этот подход окажется наиболее естественным для пара-эрмитовых пространств и позволит изучить общий случай.
Реализуем пространство К4 векторов х = (жо, #ъ #з) к&к пространство вещественных матриц второго порядка
£о - £з -XI + х2 \
Х1+Х2 х0 4- Хз ) '
Надгруппа С? действует на этих матрицах следующим образом: паре (<71, д2) Е (7 отвечает преобразование
х 911хд2.
Пусть С - конус х = 0, х ф 0. Для Л Е С, V = 0,1 пусть Т>\^(С) обозначает пространство функций / класса С°° на конусе однородных степени Л и четности
1(1х) = №}(х),
где £ Е М* и мы используем обозначение гА’" = Пусть Яд>х/ - представление группы (3 сдвигами в пространстве д_2>|/(С) (фактически это -
представление группы ЭОо(2,2), связанное с конусом):
(Да,1/(01,02)/)(я) = }{911хд2).
Сечение X конуса С плоскостью х0 = 1 можно отождествить с однополостным гиперболоидом [х,х] = 1 в М3, где
[х, у] = -XI2/1 + Х2У2 + ХзУз-Надгруппа <3 действует на X следующим образом:
Ограничения функций из Т>\^(С) на X образуют некоторое пространство Т>\)и(Х) функций на X. Оно содержится в С°°(Х) и содержит Т*(Х). В реализации на X представление имеет вид:
(ДаЛ9ъ92)1){х) = 1(х) {tr(g^lxg2)yX~2,,', х € X.
Сечение X инвариантно относительно действия группы (7** = С? сдвигами: х д~1хд, оно есть однородное пространство С/Я. Ограничение представления Д\)Ь, на С(1 = С есть квазирегулярное представление и группы (7 на X.
Напомним представления Та, о е С, группы £?, связанные с конусом. Пусть С0 - сечение конуса С плоскостью х0 = 0, его можно отождествить с конусом [гг,ж] = 0, х ф 0, в К3, и пусть Сд ~ его верхняя пола х\ > 0. Пусть Т)а(Сц) -пространство функций (р класса С°° на однородных степени а:
(р(их) = иаф(х), и > 0.
Представление Та действует сдвигами в Т>а(Сц). Пусть теперь Г - сечение ПЛОСКОСТЬЮ Х\ — Х2 = 1, оно состоит из точек
л2 + 1 *2-1 \
У = ( —— - —— > г] > 1 е к- (!)
В реализации на Г представление Та действует по формуле
+ »=(“ 5)€С.
Алгебра Ли д группы (7 состоит из вещественных матриц X со следом 0. Возьмем в д базис
Н")- И? -*)■ (2>
Для него мы имеем
Т,(Ь.) = Та(Ь1)=г^-ст, Тг,(Ь+) = е^~ 2аЬ. (3)
Введем на А' орисферические координаты £, 77:
-ИТ 7)-Ит)(« >). №
В этих координатах элементам (2) в представлении отвечают операторы
Возьмем функцию /о на А', тождественно равную единице. Для X £ Епу д функция /?д(0, А^)/о на X есть в точности ковариантный символ оператора X в полиномиальном квантовании на X. В частности, для элементов (2) символами служат соответственно функции —Х\ + х2, х3, XI +х2, умноженные на (А + 2)/2.
Пусть о £ С, е = 0,1. Преобразование Пуассона Ра>е отображает Т>а{С^) в С°°(Х) по формуле
где у есть (1). Преобразование Ра^е сплетает представления Т_а_і и и. В координатах (4) и (1) мы имеем
Теорема 1 Пусть X £ д. Оператор Д\(0,Х) взаимодействует с преобразованием Пуассона Ра^ следующим образом:
Ка(Х), ЕС(Х), С(Х) - дифференциальные операторы на К, линейно зависящие от X £ д. Для базисных элементов (2) мы имеем:
заметим, что Еа(Х) = Т_ст_і(Х).
Доказательство. Для краткости не будем писать є в индексах и показателях и обозначим [х,у\ = В. Сначала возьмем X = Имея в виду (6), (5) и (7), вычисляем:
(6)
~^2 + (£у + !)<-€ N
(7)
2ЯЛ(0,Х)о Р„,£ = а(Х,а)Ра+и+1оКа(Х)
+ Ра,е о Е„{Х) + 6(А, а) о С(Х), (8)
где
а( А, а) =
(сг -\- 1)(2сг + 1)
А + <т Ч- 2
К'{Ь-) = £„(£_) = £, С(Ь-) = 1,
Ло(-Ї'і) = 4^2 "*■ (^СТ = ^ + (ст + 1)> С(1ц) = Ъ
сі2 СІ
Ка(Ь+) = £2 —— + 2(2сг + 3)£— + 2(<т + 1)(2сг + 3),
ас
Е.ІМ = + 2(сг + 1 )г|, С(1+) = е,
С другой стороны, вычислим (д/д^Ва и (д2/дЬ2)Ва+1:
-В _ _стВ----------------------
= -стВ"-1 + гаВ’' • (Ю)
= -{а+*> {аВ°~1 • (~^ ж+1)2-в°-|}
= (сг + 1) {аВ"-1 - 2(2сг + 1)5’ ■ . (11)
Выражая из (10) и (11) вторые слагаемые в правой части и подставляя в (9),
получим:
! (I+ (А + 211) В' ‘аМШ>Б"' - 1г' +‘Мг'".
Умножим это на у>(£), проинтегрируем по £ по всей оси и проинтегрируем по частям, мы получим (8) для X = 1/_.
Для X = 1/[ и X = мы используем соотношения коммутации. Так как [£+, £_] = -2£ь то [(£,+ , £+), (0, £,_)] = -2(0, А). Поэтому
ДА(0,1,) = -|дл([(Ь+,£,+), (0, Ь_)])
= {!/(£+, £+)ЯА(0,Ь-)-Лл(0,£_)Щ£+, ,£,+)}. (12)
Поскольку Ра сплетает Т_ст_1 и £/, мы имеем и(Ь+,Ь+) о Ра = Ра о Т_а_!(£,+). Поэтому, применяя (12) к Ра(р, получаем (штрих означает й/<И):
Яд (0,-4 Х,,)Р^ = аР^1(Г_ЛЬ+)¥’"-(Т_<7_,(1,+)^")
+ Р<г(Г_г_1(Л+У-(Т_^1№+),р)')
+ ^^(7-1 (^-а-2(-^+)^ — ^’-<т-1(^+)</?) •
Подставляя сюда (3), получаем формулы теоремы для Ь\. Аналогично поступаем с 1/+, используя соотношение [(Ь+,Ь+), (0, -£^1)] = — 2(0, Ь+). □
Литература
1. В. Ф. Молчанов. Новый подход к полиномиальному квантованию. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 568-585.
2. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups. Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2 (Adv. Math. Sci. - 54), 2003, vol. 210, 213-224.
V. F. Molchanov. An overgroup and a Poisson transform for a para-Hermitian space
For canonical representations on the para-Hermitian space G/H, G = SL(2,R), H the diagonal subgroup (so that G/H is a hyperboloid of one sheet in R3), we determine explicitly the interaction of Lie operators of the overgroup G x G with Poisson transforms related to canonical representations
Keywords: para-Hermitian spaces, canonical representations, overgroups, Poisson transforms
УДК 517.43
Преобразование Радона на плоскости над кольцом классов вычетов 1
© В. Ф. Молчанов, С. В. Кольцова
Мы изучаем преобразование Радона на плоскости над кольцом классов вычетов по модулю б, полагая в определении прямой, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не был делителем нуля. Это преобразование имеет ядро. Изучение использует описание сверточной алгебры функций на плоскости, инвариантных относительно группы порядка 8.
Ключевые слова: кольца классов вычетов, свертка, инвариантные алгебры функций, преобразование Радона
В работе [1] мы рассмотрели задачу Радона на плоскости над кольцом Ъп = Z/rcZ классов вычетов по модулю п. При этом мы исходили из следующего определения прямой на плоскости Z^: прямая - это множество £ точек 2 с координатами ж, у, удовлетворяющих уравнению
ах + Ьу = с,
где а, 6, с - элементы из Zn и элементы а, Ь взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, отличных от 1. Решение обратной задачи Радона в [1] опиралось на описание структуры алгебры функций на 2^, инвариантных относительно группы СЬ(2,ЙП).
В настоящей работе мы используем другое определение прямой (подсказанное случаем поля): в нем условие взаимной простоты элементов а, Ь заменяется тем, что а, Ь не должны быть одновременно делителями нуля. Для п = рк, р - простое, эти два определения дают одно и то же, но для п с различными простыми множителями они не эквивалентны. Определение, принимаемое в настоящей работе, приводит к более сложной задаче. В ней количество прямых
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.
