Канонические представления для гиперболоидов: взаимодействие с надалгеброй Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Канонические представления для гиперболоидов: взаимодействие с надалгеброй 1

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: гиперболоиды, надгрупиы, канонические представления, преобразования Пуассона и Фурье.

Для канонических представлений на гиперболоидах вычислено в явном виде взаимодействие преобразований Пуассона с надалгеброй (алгеброй Ли группы БЦп, К)).

Мы исследуем взаимодействия преобразований Пуассона и Фурье, связанных с каноническими представлениями группы = ЭОо(р,я) на гиперболоиде X — С/Н, где Н = ЯОо(р,Я — 1), и операторов Ли надгруппы (7 = ЭЬ(п,1К), то есть операторов, отвечающих в каноническиях представлениях элементам из алгебры Ли д надгруппы С.

Вообще, задачу о взаимодействии можно рассматривать как некоторую версию классической задачи о действии группы (алгебры Ли) в базисе, диагональном для некоторой подгруппы. Ее достоинство, в частности, состоит в том, что при решении не нужно использовать крайне трудную теорему Планшереля. Тем не менее, даже в рамках этой версии вычисление явных формул представляет собой весьма тяжелую аналитическую задачу. Эта версия была обнаружена в [2], [3] - для плоскости Лобачевского с надгруппой 8Ь(2, С). Для гиперболоида X и надгруппы Сг = ЯОо(р+ 1,д) формулы взаимодействия были получены в [4], [5]. Гиперболоид с надгруппой 8Ь(п,Е) был рассмотрен в [6] для частного случая д = 1 (тогда гиперболоид есть пространство Лобачевского). Сейчас мы рассматриваем общий случай: р > 1, д > 1, он значительно сложнее указанного частного случая.

Основную роль играют формулы для одного специального элемента У0 из надалгебры 0, см. ниже (3). Ими мы и ограничиваемся в настоящей заметке. Для других X £ д формулы получаются с помощью соотношений коммутации. Отметим, что формулы взаимодействия для элементов из алгебры Ли д, не входящих в алгебру Ли д группы Сг, содержат дифференциальные операторы четвертого порядка.

Преобразования Фурье двойственны преобразованиям Пуассона, это дает возможность написать формулы взаимодействия для преобразования Фурье.

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.

Комментарии по поводу вида коэффициентов а, Ь, с в теореме 1 и связи с граничными представлениями - точно такие же, что и в [3-6].

Группа Є — ЭОо [р,я) - связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства Еп, п — р + д, сохраняющих билинейную форму

Подгруппа К в С, состоящая из элементов д € (7, перестановочных с матрицей I этой формы, является максимальной компактной подгруппой в С. Она изоморфна ЭО(р) х ЭО(д).

Пусть X обозначает гиперболоид [х,х\ = 1. Это - однородное пространство группы С относительно сдвигов х хд. Стационарная подгруппа Н точки х° = (0,..., 0,1) есть ЭОо(р, Я — 1). Мы будем использовать новую реализацию гиперболоида X. Для х £ Еп обозначим

Сопоставим точке х 6 X точку у = х/\х\. Полученное множество 3^ есть прямое произведение единичного шара В С Ер и единичной сферы С Е9. Они задаются следующим образом. Разобьем координаты точки у € У на две группы и запишем эту точку в виде: у = (щ,..., ир, ир+х,..., уп), так что она есть пара у — (и, г»), и € Ер, V £ Е9. Тогда В С Шр есть шар и\ + ... + < 1, а С Е9

есть сфера «р+1 + ... + ь2п — 1.

Обозначим стандартное скалярное произведение в пространстве Ер через (и, к;) и обозначим через |и| соответствующую норму. Точно те же обозначения введем и в Е9. Обозначим

Напомним [1] некоторый материал о представлениях Та^є, о Є С, є = 0,1, группы (7, связанных с конусом.

Обозначим через Б сечение конуса [ж, х\ = 0, состоящее из точек 5 таких, что |з| = 1. Как и выше, запишем точку я Є 5 в виде 5 = (£ь ..., г)р+і,..., г]п), так что она есть пара в = (£, 77), £ Є Ер, г/ Є Е9. Сечение 5 есть прямое произведение двух единичных сфер 5і С Мр и 52 С Е9, задаваемых уравнениями |£| = 1 и \г}\ = 1, соответственно. Пусть Ді и Д2 - операторы Лапласа-Бельтрами на 5і и 5*2, соответственно. Пусть (1в - евклидова мера на 5. Обозначим через Т>£(3) пространство функций ір из !>(5) четности є:

\х, у] Х\У\ . . . ХрУр ~Ь Хр+іУр+і “І- ... —хпуп.

а = 1 — (и, и).

(1)

Представление Та^Е действует в нем по формуле

Если а - не целое, то Та>е неприводимо и эквивалентно

Максимально вырожденная серия представлений ДАі1/, А Є С, и = 0,1, над-группы С = ЭЦп, К) устроена следующим образом. Пусть Х\„ (Еп) - пространство функций / из С00 (К" \ {0}), удовлетворяющих условию однородности

мы используем обозначение ^,г/ = sgnI' Представление действует в нем сдвигами. Реализуем это пространство на многообразии У в Е^, определяемое условием |у| = 1 (оно содержит 3^), ограничивая функции на У. Мы получаем

Канонические представления группы С получаются как ограничения на С и на 3^ представлений Они действуют в пространстве Т>и(У) функций

пространство Т>'и{У) обобщенных функций четности и.

Алгебра Ли д группы <3 состоит из матриц X € Ма1;(п, Е) с нулевым следом. Она распадается в прямую сумму д + ш, где подпространства д (алгебра Ли группы С) иш выделяются уравнениями X' = —1X1 и!' = 1X1, соответственно (штрих означает транспонирование).

Дифференциальные операторы Ях^(Х) не зависят от и, поэтому мы опускаем и в обозначении и пишем 11\(Х). Их можно рассматривать как дифференциальные операторы на 3^- В частности, возьмем следующий элемент из ш:

где Е1 - единичная матрица порядка I. Он образует базис в централизаторе группы А" в д. Мы имеем

где а дается формулой (1). Этот оператор сплетает Т2-п-с,и с Я\Назовем его преобразованием Пуассона, связанным с каноническим представлением Полюсы преобразования Пуассона по а, зависящие от Л, располагаются в точках

/(іх) = Гх~п^/(х), хеШп\ {0}, і Є Е \ {0},

некоторое пространство 2>а,„(3>) функций / на У четности и. Представление действует в нем следующим образом:

(2)

из Т>(У) четности и в точности по формуле (2). Их можно распространить на

(3)

Рассмотрим оператор Р\іІУ)(Т :

XV (5) —>■ С°°(У), задаваемый формулой

а = А — 2к, а = 2 — п — А + 21, к, І Є N.

Теорема 1 Пусть а - не полюс преобразования Пуассона Рл,и,а- Оператор Ях(Х), X Є ш; взаимодействует с этим преобразованием следующим образом:

Я\{Х)Рх^а = а(Х,а)Рх ,іу,а+2 К (х)

+ Ь(Х,а)Рх^аЕа(Х)

+ с{Х,а)Р\^^-2С(Х),

где коэффициенты а, Ь, с даются следующими формулами:

X + а + п

а(А, а) = Ь{Х,а) = с(А,а) =

(а -(- 1)(ст + 2)(2а + п — 2)(2сг + 71) ’ 2Х -4- п (2а + п — 4) (2сг + п) ’

(А — а + 2 )сг(<т — 1)

(2а + п — 4) (2а + п — 2) ’

а Ка(Х), Еа(Х), С(Х) - дифференциальные операторы на 5 порядка 4,2,0; соответственно (оператор С(Х) не зависит от а), линейно зависящие от X Є ш; для элемента У0 эти операторы имеют следующие выражения:

Ка{У0) = (Дг-Д2)2

+ (2а2 + 2па + щ + 2(р — д))Ді

+ (2а2 4- 2па + пр — 2(р — д))Д2 + (а + 2)(а +р)(а + д)(а + п - 2).

ЕЛУо) = Ді - Д2 + -—- а(а 4- п — 2),

С'(Го) = 1.

Литература

1. В. Ф. Молчанов. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Матем. сб., 1970, том 81, № 3, 358-375.

2. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups. Preprint Math. Inst. Univ. Leiden, No. MI 2002-05 (2002).

3. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups. Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2 (Adv. Math. Sci. - 54), 2003, vol. 210, 213-224.

4. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups for hyperboloids of one sheet and Lobachevsky spaces. Acta Appl. Math. 2005, vol. 86, 115-129.

5. В. Ф. Молчанов. Канонические представления и надгруппы для гиперболоидов. Функц. анализ и его прил., 2005, том 39, вып. 4, 48-61.

6. V. F. Molchanov. Canonical representations on Lobachevsky spaces: an interaction with an overalgebra. Acta Appl. Math. 2007, vol. 99, 321-337.

V. F. Molchanov. Canonical representations for hyperboloids: an interaction with an overalgebra. For canonical representations on hyperboloids, an interaction of Poisson transforms with an overalgebra is determined explicitly (the overalgebra is the Lie algebra of SL(n, R)). Keywords: hyperboloids, overgroups, canonical representations, Poisson and Fourier transforms.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.

УДК 517.98

Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде 1

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова

Ключевые слова: гиперболоид, тензорные произведения, преобразования Пуассона и Фурье, формула Планшереля.

Тензорное произведение двух неприводимых конечномерных представлений группы О = ЭЬ(2, К) реализуется как представление группы О в функциях на однополостном гиперболоиде в К3. Дается разложение этого представления в терминах гиперболоида.

В построении [2] полиномиального квантования на однополостном гиперболоиде X в М3 существенную роль играл конечномерный анализ на этом гиперболоиде, то есть разложение на неприводимые составляющие представлений группы С? сдвигами в многочленах на X. Эти представления могут быть рассматриваемы как конечномерный аналог канонических представлений. Такие представления появляются, когда мы умножаем тензорно неприводимые конечномерные представления тгI группы (7 = SL(2, М) на их контраградиент-ные представления щ. В настоящей работе мы хотим изучить в таком же духе тензорные произведения 7Г; <Э 7гт, I ф т.

Группа (7 = ЭГ(2,М) состоит из вещественных матриц

9 = ( 7 б ) ’ а6~Р'У = 1-

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.