Канонические представления и надгруппа для однополостного гиперболоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

где 0,т,£(«) = [аЛв]*’6. Фактически она оказывается классической функцией на У. Она инвариантна относительно Н (так что зависит только от уз) и является собственной функцией оператора Лапласа-Бельтрами Ду на У с собственным числом <т((г+1). Она выражается через функции Лежандра от мнимого аргумента:

Разложение (1) есть следствие разложения дельта-функции 6([х0,*/]) по сферическим функциям:

00

Я([*°.у])= / и(<г)Ф,,0 (ір

J <т=-(1/2)+»р

(2)

В свою очередь, разложение (2) получается из спектрального разложения оператора 4- 1 ){(1/іІі)

на всей оси. Этот оператор есть Я-радиальная часть оператора А у.

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НАДГРУППА ДЛЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

© В.Ф. Молчанов

Настоящая работа примыкает к [1], см. также [2]. Мы выясняем взаимодействие алгебры Ли надгруппы с преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с. каноническими представлениями на однополостном гиперболоиде в Е3.

Пусть С = ЯОо(1,2) - связная группа линейных преобразований пространства Е3, сохраняющих билинейную форму [я, у] = — х\у\ -|- Х2У2 + хзУз- Она транзитивно действует на однополостном гиперболоиде X : [я, ж] = 1.

Канонические представления А £ С, и = 0, 1, группы С на гиперболоиде X действуют в некоторых пространствах функций на X, мы определяем их как ограничения на О представлений К\ и надгруппы О = .80о(2,2), связанных с конусом. Напомним их определение (обозначение К\}1, приспособлено к нашему случаю).

Группа Ст действует в Е4 с координатами хо, х\, Х2, ?-з и сохраняет форму [ж, у] = —хоуо — х\у\ + х.оу'2 4- хзуз. Пусть С обозначает конус [х,х] = 0, ж ф 0, в Е4. Пусть Т>\обозначает пространство функций / класса С°° на С однородных степени А,^: /Цх) = 1Х’1//(х). Мы используем обозначение <А,</ = |лsgnt/^, I Е Е*. Представление группы О действует в Т>_л-2,1/(0 сдвигами: Й,\,и{д)1{х) — /(хд),д Е С (считаем, что О действует справа, векторы - это строки). Для х Е Е4 обозначим |а:| = у/х^ + х\. Рассмотрим два сечения конуса: X = {а?о = 1} и = {|и| = 1}. Первое из них можно отождествить с гиперболоидом X: точке х = (х\,х2,хз) ставится в соответствие точка х = (1, х\, Х2, хз). Второе есть тор: и = (сова, вшск, вш/?, сое/?). Евклидова мера на Г2 есть Ли = ск\(1$. При ограничении функций из Т>_А_2,„(С) на X получим некоторое пространство функций Х>_л-2,«/(^) (оно содержит ^(Л') и содержится в С°°(Л^)). При ограничении на получим пространство функций из Х>(£2) четности

и. Представление Нх ^ действует в Т>и{£1) по формуле ^Яа,Д</)<^ (и) = (р(ид/\ид\)\ид\~х~2. Вложим С

в Ст как подгруппу, сохраняющую хо. В реализации на X — X представление и группы О действует сдвигами в 'Р_л_2,^(Д').

Возьмем следующий базис в алгебре Ли д группы О: Ь0 = Е32 — Е23, = Е21 + Е12, £2 = Ез\ + Е\з,

и дополним его до базиса в алгебре Ли д группы О матрицами Л/0 = —Ею + Ео\, М\ — Е20 + £’о2>

Л^2 = Е30 + Е0з, здесь Е{] - матричная единица, г,У Е {0,1,2,3}. Возьмем в д" элементы Ь*- = Ь2 ± гЬ\, М± = -М2Т •

Элементарные представления Т„ группы С действуют в Т>(.Ь'), где 5' - окружность в = (1,вт£, сов^), по формуле: Та(д)<р(в) = 1р(зд/(вд)\)(«</)?. Соответствующие операторы Ли таковы: Та{Ьо)(р = <р', = е±г{(а<р ± г<£>')-

Преобразование Пуассона, связанное с определяется формулой

(Р\м,еЧ>){ц) = и^Х~°~2'и~е ! [и, 1р(з)<18

(ds = dt). Оно отображает V(S) в 0,oo(fi'), где Q1 = 12 П {ио ф 0}, и сплетает Т-а-\ с R\tu, так что

Rx,v{X)P\iUia,e = P\,v,o,eT-o-\(X), X 6 0(^.

Наш результат состоит в формулах (1) и (2), следующих ниже:

R\AM*)P\,у,',. = -«(A, <r)f\,,;»+1..+1 О К(„*} + 4(А, <г)Рл,»;«-1,-1 о С<*>, (1)

где 6 {0, +, —операторы К\*1, и коэффициенты а(А, (т) и Ь(А, (т) - в точности такие же, как в [1]. Преобразование Фурье, связанное с каноническим преобразованием R\>u, мы определяем формулой:

(^л,!/;*,£/)(*) = / [м,5]<г,ег/5“<т’</“е/(м)^«-

Jit

Оно отображает в V(S) и сплетает R\it/ с Та. Преобразование Пуассона и Фурье сопряжены:

в левой и правой частях стоят скалярные произведения из L2 на .S* и на Q по евклидовой мере. Второе из них инвариантно относительно пары (R\<u, R_j_', „)■ Это позволяет перенести формулы (1) на преобразование Фурье:

F\,wRxAM") = «(-А - 2,<г)К<‘}_г о Fa,^+i,.+i - Ц-А - 2,<г)СМ о FA,„;—1,-1- (2)

Доказательство формул (1) проводится аналогично [1]: сначала вычисляем действие оператора

R\,is{M0) = д/де*, затем используем соотношения коммутации [Mo, L±] = —М±.

Сходство формул (1) и (2) и аналогичных формул из [1] указывает на то, что вся эта теория должна иметь алгебраический характер (в самом деле, обе над группы имеют общую комплекс.ификацию).

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Канонические представления и надгруппы. Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, No. 1, 51-52.

2. Molchanov V.F. Canonical representations and overgroups. Preprint Math. Inst. Univ. of Leiden, MI 2002-05, 12 p.

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОДНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ НАД ПОЛЕМ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

© В.Ф. Молчанов

1. Пусть А - коммутативная алгебра размерности п над полем Е с одной образующей ж. Она есть фактор-алгебра Е[ж]//(ж) алгебры Е[ж] всех многочленов от ж над Е по идеалу, порожденному многочленом / степени п. Можно считать, что старший коэффициент / равен 1. В настоящей работе мы описываем структуру таких алгебр, описываем группы АиЦЛ) их автоморфизмов. Некоторые из утверждений этой работы были анонсированы в [1].

2. Пусть /(х) = (ж — а)п. Обозначим соответствующую алгебру А через АП(Е). Можно считать, что /(х) = хп. Одночлены 1, х, х2, ...,жп-1 образуют базис в А, так что всякий элемент г Є А имеет вид г = г0 + г\х + ... + іжп_1, г,- Є Е.

Всякий идеал в А есть линейное пространство /*, натянутое на хк,..., жп_1, где к Є {1,2,..., п— 1}, т.е. пространство многочленов, имеющих в х = 0 нуль порядка к. В частности, 1\ есть множество делителей нуля.

Пусть Оп = АиЦАп(Е)). Всякий д Є Оп задается вектором Л = (Аі,Л„_і) Є Еп-1 с условием Аі ф 0. Он сохраняет единицу 1 и идеалы /*. Его матрица в базисе ж, ж2,..., жп-1 в 1\ - нижняя треугольная матрица с элементами

_ ^ Ш' \Г1 \Г„-1

9кгп~1^—\ г Л 1

' 1 • • • •' п — 1 •