CC BY
43
УДК 622.272: 516.02
С.В. Черданцев
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОНТОНОВ В ЗУМПФАХ УГОЛЬНЫХ РАЗРЕЗОВ
Во избежание затопления забоев угольных разрезов грунтовыми и подземными водами предусматривают зумпфы, сооружаемые в окрестности забоев. По мере их заполнения воду откачивают с помощью водоотливного оборудования, находящегося на понтонах, которые помещают непосредственно в зумпфы.
Понтоны, в зависимости от производительности водоотливного оборудования, состоят из трехпяти металлических труб-поплавков, герметически заваренных с торцов и расположенных параллельно друг другу, на которые настилают палубу из металлических пластин, обшитых досками, и боковые ограждения. Затем на палубу устанавливают водоотливное оборудование с электроприводом (рис. 1).
Единственным требованием при проектировании понтонов на разрезах является обеспечение их плавучести. Однако заметим, что в ходе эксплуатации понтонов неизбежно возникают внешние возмущения, которые могут привести к опрокидыванию понтонов, не обладающих необходимой остойчивостью.
Частично проблема остойчивости понтонов обсуждалась в работе [1], где расчетная схема понтона, представляющая собой трехсвязную плавающую область, заменена эквивалентной односвязной областью, остойчивость которой выявлена на основе теорем Дюпена [2].
Кроме непосредственного воздействия на понтон, внешние возмущения являются причиной появления на поверхности воды волн малой амплитуды, приводящие понтон в движение, которое при определенных условиях может быть неустойчивым, в результате чего понтон также может опрокинуться.
Задача о движении понтона в зумпфах угольных разрезов еще нигде не обсуждалась. Нам эта
задача представляется актуальной. Цель данной работы состоит в получении разрешающих уравнений, описывающих движение понтона как твердого тела, обладающего 6 степенями свободы.
Положение понтона в зумпфе, заполненного водой, будем описывать в двух декартовых системах координат: неподвижной О£гС и подвижной Охуі, жестко связанной с понтоном. В состоянии покоя понтона подвижная и неподвижная системы совпадают, а начало координат О обеих систем в этом случае расположено в центре масс понтона (точка С).
В качестве подвижной системы координатных осей Охуі будем применять оси, используемые в теории корабля [3]: ось Ох направим вдоль труб-поплавков, Оу - на левый борт, ось Оі - вверх и будем считать их главными осями инерции понтона, причем плоскость Оху будет совпадать с плоскостью ватерлинии понтона.
Положение центра масс понтона в неподвижной системе координат будем фиксировать перемещениями £, г, С Положение понтона на взволнованной поверхности воды зафиксируем углами поворота в, ц, х, в качестве которых примем углы относительно подвижных осей Охуі. Угол поворота в относительно оси Ох назовем креном, угол поворота ц относительно оси Оу назовем дифферентом, а угол поворота х вокруг оси Оі - рысканьем, и будем считать их положительными, если они происходят против хода часовой стрелки [3].
Заметим, что при малом изменении первоначально прямого угла между осями О г и Оі, крен и дифферент также остаются малыми. Если же использовать эйлеровы углы [2], то малым можно считать лишь угол нутации, тогда как углы прецессии и чистого вращения могут принимать произвольные значения [4]. Поэтому выбранные нами
3
Рис. 1. Плавучая водоотливная установка (вид сбоку)
1 - металлические трубы-поплавки; 2 - ограждения; 3 - поручни; 4 - бак-запасник воды; 5 - насос; 6 -
электродвигатель; 7 - ящик для кабеля
подвижные оси 0ху2 и углы поворота существенно предпочтительнее углов Эйлера.
В общем случае поворот понтона как твердого тела вокруг мгновенной оси, проходящей через его центр масс, можно представить как последовательность трех поворотов [4]. Рассмотрим вначале поворот подвижной системы 0ху2 относительной оси Ох, совпадающей с осью 0% (рис. 2).
В этом случае зависимости между подвижными и неподвижными координатами представляются формулами
у = цео$в + С$тв, z = ^ео$0, на основании которых построим матрицу перехода
(10 0 ^
L =
0 cos в sin в
V0 - sine cosej
Рассматривая далее два других поворота, построим еще две матрицы
с
J k
л
e\ z
с ^cos9
( \
1 / •qsin9 Csm9 л
Рис. 2. К составлению матрицы перехода ґcos / 0 - sin /
0 1 0
sin / 0 cos /
L2 =
L3 =
J
С cos % sin % 0 ^
- sin % cos % 0
0 0 1
V V
Общая матрица при повороте подвижных осей относительно неподвижных, называемая матрицей перехода, равна произведению матриц в любом порядке. Более удобной матрица перехода получается в результате перемножения матриц Ьі, Ь2, Ь3 в следующем порядке
С і і
í-1 1 í-1
12
і Л
43
V l3i
»32 »33 j
Элементы матрицы L являются направляющими косинусами и представляются в виде /11 = cos X cos / + sin X sin / sin в
/12 = sin xcose
(1)
/13 = cos / sin X sin в - cos X sin / /21 = cos X sin / sin в - cos / sin X /22 = cos Xcose /23 = sin X sin / + cos X cos / sin в /31 = sin/cose, /32 =-sine /33 = cos/cose
Таким образом, переход от системы координат OirC к системе Oxyz выражается формулой
X = L-i (2)
а переход от системы Oxyz к системе OirC-
Z = LT
(3)
где X и £ являются какими-либо векторами (силой, скоростью и т.д.) соответственно в системах координат Охуі и О£гС, а ЬТ является транспонированной матрицей по отношению к матрице Ь.
Будем далее полагать, что движение жидкости в зумпфе представляет собой малое возмущение ее поверхности относительно состояния покоя. Следовательно, амплитуды волн на поверхности жидкости в зумпфе малы, в силу чего малыми будут и углы поворота в, /, х В связи с этим, будем полагать косинусы этих углов равными единице, а синусы - равными самим углам. Поэтому мы можем пренебречь углами в, /, х (а тем более их произведениями) как малыми величинами по сравнению с единицей. По этой причине формулы (1) упрощаются
1и - 1 + х-ц-в~ 1 112 -х,
¡13 - 1 хв-/--/, 121 -/в-х--х,
122 — 1, ¡23 — х ' / + в — в,
¡31 — ¡32 — в, ¡33 — 1,
а матрица перехода Ь приобретает вид
' 1 х -/'
Ь - -х 1 в . (4)
V / -в 1 у
Движение понтона на взволнованной поверхности жидкости определим как поступательное движение его центра масс и относительное вращение понтона вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (рис. 3).
Поэтому для составления уравнений движения понтона используем теорему о движении его центра масс [2]
ш-ас = Я (5)
и теорему об изменении главного момента количества движения [2] в неподвижной системе координат О£гС
dKO dt
(6)
z
В формулах (5) и (6): т - масса понтона, ас -
ускорение его центра масс, КО - главный момент количества движения понтона относительно точки О, Я - главный вектор, а тО - главный момент всех внешних сил относительно точки О (рис. 3) Поскольку главный момент тО мы можем выразить как
тО = тс + гс х Я, где гс - радиус-вектор, соединяющий точку О и
точку с (рис. 3), тс - главный момент внешних
сил относительно точки с, а кинетический момент в виде
КО = Кс + Гс х (М • Vс ) , то равенство (6) представляется следующим образом
й[Кс + гс х (М • їс)\
ж
= тс + гс х Я. (7)
Раскрывая скобки в (7) и учитывая, что
йгс
й(М • ус)
= Я.
& & равенство (7) приобретает вид
&Кс + ус х М • ус + гС х Я = тС + гС х Я (8) Ж
и поскольку из определения векторного произведения следует, что
ус х М • ус , то (8) будет выглядеть следующим образом
йКс
йі
= т
с
(9)
Таким образом, теорема об изменении главного момента количества движения сохраняет свой вид и в относительном движении по отношению к центру масс системы.
Спроецировав уравнение (5) на оси неподвижной системы О^Т7<£ а уравнение (9) на оси подвижной системы 0xyz, получим шесть уравнений движения понтона в координатной форме
т • аС% = Я%, т • аСц = Я7, т • ас^ = Я^, (10)
ЖКх ЖКу ЖК
—- = тг, —— = ту,-------------- = (11)
& у &
Поскольку составляющие вектора ускорения аС%, аСл, аС^ определяются как
ас% = %, ас = 7, ас^=С,
составляющими главного момента Кх, Ку, К являются выражения
Кх = Jx®x, Ку = Jy®y, Kz = JzУz ,
в которых Зх, Зу, Jz - моменты инерции понтона
относительно осей Ох, Оу, 0z, а компоненты угловой скорости суть
у = в,уу = /,уг =x,
то системы уравнений (10) и (11) представляются в виде
т% = Я%,
■ тЦ = Яч, (12)
= Я^,
Зхв = тх,
< ЗуУ = Му, (13)
,Х = тг-
В процессе эксплуатации водоотливной установки, мы можем утверждать, что в плоскости ватерлинии понтона не возникают внешние моменты (mz = 0). Полагая, что в начальный момент времени понтон находился в покое, мы получаем однородную задачу Коши для последнего уравнения системы (13)
х = °. Со = 0’ Д.,=0-
решение которого тривиально
Х = 0. (14)
Кроме этого отметим, что находящийся на взволнованной поверхности понтон не перемещается в направлении осей %, 7 и, следовательно, составляющие скорости
у%=% = 0, Уп=ч = 0, откуда вытекает, что % = 0, 7] = 0 и поэтому
Я% = 0, Яц = 0, (15)
в силу чего первые два уравнения системы (12) исключаются из рассмотрения.
Внешние силы и моменты, действующие на любое тело, находящееся на взволнованной поверхности жидкости, имеют гидродинамическую природу, поскольку являются результатом взаимодействия этого тела с волнами малой амплитуды. Поэтому более удобно определять силы и моменты в системе координат Охуі, связанной с телом и движущейся вместе с ним. В системе (13) моменты, действующие на понтон, уже представлены в подвижной системе координат, а силу Яі выразим через Яс с помощью формулы (2)
Яг = Я^ • / — Яг • в + Яс
и учитывая (15), получаем
Я2 = Я£. (16)
Таким образом, в силу формул (14-16), системы (12) и (13) можно объединить и представить
одной системой
т£ = Я,
■3,0 = тх, (17)
Зу/ = my,
искомыми функциями в которой являются вертикальное перемещение С и углы поворота 0, /.
В заключение отметим, что неизвестными в системе (17) являются также сила Я и моменты тх, ту, для определения которых в работе [5] сформулирована краевая задача о гравитационных волнах жидкости в зумпфах угольных разрезов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кучер, Н. А. Условия безопасного применения плавучих водоотливных установок / С. В. Черданцев, С. И. Протасов, С. Н. Подображин, В. В. Билибин // Безопасность труда в промышленности. - 2003, - № 1. - С. 12 - 14.
2. Жуковский, Н. Е. Теоретическая механика. - М.: Гостехиздат, 1952. - 811 с.
3. Ремез, Ю. В. Качка корабля. - Л. : Судостроение, 1983. - 328 с.
4. Лурье, А. И. Аналитическая механика. - М. : Физматгиз, 1961. - 824 с.
5. Черданцев, С. В. Постановка задачи о гравитационных волнах жидкости в зумпфах угольных разрезов // Вестник КузГТУ, 2012, № 6. - С. 10-12.
□ Автор статьи
Черданцев Сергей Васильевич, докт. техн. наук, проф. каф. математики КузГТУ .
E-mail: svch01@vandex.ru
УДК 622.831.32 К. Л. Дудко, А.И. Шиканов ОЦЕНКА УДАРООПАСНОСТИ МАССИВА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПОДЗЕМНОГО ЭЛЕКТРОПРОФИЛИРОВАНИЯ НА ТАШТАГОЛЬСКОМ РУДНИКЕ
Железорудные месторождения Г орной Шории и Хакасии разрабатываются на больших глубинах в условиях действия высоких тектонических напряжений и нарушенности массива горных пород. Руды и породы прочные, хрупко разрушаются под нагрузкой, способны накапливать значительную упругую энергию деформаций; около 90 % пород удароопасны. Развитие горных работ связано с ростом объемов проведения капитальных, подготовительных и очистных выработок, которые расположены как в шахтном поле, так и в лежачем боку месторождения, их длина на руднике изменяется от сотен до тысяч метров [1].
Динамические проявления горного давления в форме стреляний горных пород на Таштагольском месторождении отмечены с глубины 300 м, а на глубине 600 м и более имеют место проявления
горных и горно-тектонических ударов большой разрушительной силы. С 1959 года по 2011 год на месторождении зарегистрировано 18 тыс. динамических явлений, в том числе 20 горных ударов, из которых 7 - горно-тектонического типа.
Контроль степени удароопасности в выработках, пройденных вне зоны влияния очистных работ (руддворы, квершлаги, полевые штреки), проводится путем электропрофилирования согласно методике [2] не реже 1 раза в полугодие.
Для проведения электропрофилирования используется симметричная 4-х электродная установка АМХБ, которая перемещается вдоль профиля с шагом 20-25 м. Расстояние между приемными электродами МЫ составляет 1 м. Результаты измерений передаются в службу прогнозирования горных ударов для дальнейшей обработки, внесе-
