CC BY
334
УДК 622.212: 516.02
Н.В. Черданцев, С.В. Черданцев
ОСТОЙЧИВОСТЬ ПОНТОНОВ В ЗУМПФАХ УГОЛЬНЫХ РАЗРЕЗОВ НА БОЛЬШИХ УГЛАХ КРЕНА
При разработке угольных месторождений открытым способом для сбора грунтовых и подземных вод сооружают углубления в виде зумпфов, в которых устанавливают понтоны, с размещаемым на них водоотливным оборудованием.
Понтон представляет собой конструкцию, основой которой является система металлических параллельных друг к другу труб-поплавков, герметически заваренных с торцов (рис. 1). В зависимости от производительности водоотливного оборудования в конструкции понтонов используются, как правило, три или пять поплавков.
В настоящее времени в основе проектирования понтонов на угольных разрезах лежит расчет только их плавучести. Однако для безопасной эксплуатации понтонов необходимы также исследования их остойчивости.
Под остойчивостью плавучего средства понимают его способность сохранять исходное состояние равновесия и при наклонениях (кренах или дифферентах) возвращаться к исходному состоянию. Причем, за критерий остойчивости принимают величины поперечной и продольной мета-центрических высот.
В работах [1, 2] исследована остойчивость понтонов при малых углах крена. В работе [3, 4] сформулирована задача о движении понтона, в ходе решения которой установлено, что понтон в зумпфе угольного разреза совершает периодические движения, представляющие собой вертикальную, боковую и килевую качки, происходящие независимо друг от друга.
Здесь обсуждается задача об остойчивости понтона при условии, что его угол крена может принимать, не только малые значения. Иначе говоря, мы будем рассматривать остойчивость понтона на больших углах крена.
Как известно [5, 6], для равновесия любого плавучего средства (ПС) необходимо, чтобы главный вектор и главный момент всех сил, действующих не него, были равны нулю. Сила тяжести установки Р приложена в центре её тяжести (ЦТ), а архимедова сила Q сосредоточена в центре тяжести погруженного объёма, называемого центром величины (ЦВ). Из первого условия равновесия понтона следует условие плавучести Q = Р, а на основе второго условия следует, что ЦВ должен находиться на одной вертикальной линии с ЦТ.
При малых наклонениях понтона, вызванных действием кренящего момента М^р, ватерлиния в соответствие с теоремой Эйлера [5], поворачивается вокруг своего центра тяжести таким образом,
что величина погруженного объема остается неизменной, но меняется его форма, вследствие чего изменяется положение ЦВ (рис. 2). Он перемещается из точки С0 в точку С0 по дуге С0Св, поворачиваясь вокруг точки М0, расположенной на оси г и называемой поперечным метацентром. Расстояние от метацентра до ЦВ является метацентриче-ским радиусом Г0 и согласно [5] он связан с объёмом погружённой части понтона зависимостью
I
ro = re =
x1
Vi
(І)
где Ix - момент инерции площади ватерлинии
относительно продольной оси О1Х1 . ной оси Ох, определяемый как
Ixi =
J У2dA.
параллель-
(2)
В формуле (2) интегрирование ведётся по площади ватерлинии, представляющей собой сумму площадей нескольких прямоугольников. Длина каждого прямоугольника равна длине поплавка L, а ширина - длине отрезка, являющегося следом пересечения ватерлинии с торцом поплавка (на рис. 2 отрезки расположены горизонтально и отмечены жирной линией).
При малом угле крена, при котором sin9=9, понтона силы P и Q (рис. 2) создают восстанавливающий момент [5]
МБ = Q • ho • sin 9 = Q • h0 -9, (3)
противоположный кренящему моменту. В формуле (3) ho - поперечная метацентрическая высота, определяемая (рис. 2) по формуле
h0 = r0 + - a ,
а произведение ho на угол 9 является плечом статической остойчивости при малом крене.
При больших углах величина Г9 зависит от момента инерции площади ватерлинии и меняется при повороте на произвольный угол 9. Поэтому формулу (1) следует записать в виде
re =■
I
xe
Vi
(4)
где 1Х0 - момент инерции площади ватерлинии относительно центральной оси, параллельной оси хь при произвольном угле крена понтона.
Для вычисления 1хв вначале находим положение центра тяжести двух отрезков (на рис. 2 - они
Рис. 1. Схема плавучей водоотливной установки в двух видах: а) вид с торца, б) вид сбоку. 1 - металлические трубы-поплавки; 2 - палубный настил; 3 - бак-запасник воды ограждения; 4 - электродвигатель; 5 - насос; 6 - стойки ограждения; 7 - поручни
показаны жирными наклонными линиями). Затем, вычисляем собственные моменты инерции прямоугольника и, учитывая теорему о вычислении моментов инерции при параллельном переносе осей [7], находим момент инерции площади ватерлинии относительно её центральной продольной оси. При повороте ватерлинии на произвольный угол значительно меняется момент инерции её площади.
В связи с этим существенно меняется и величина метацентрического радиуса Г9. Изменение же что, в свою очередь, приводит к изменению положения ЦВ и метацентра, а также изменяет и плечо статической остойчивости /9.
Для определения положения ЦВ находим сначала бесконечно малые перемещения ЦВ (рис. 3) dy = СвСв1 • cosQ = r9• dO • cosQ,
dz = C9C91 • sin 9 = r9 • d9 • sin 9
интегрируя которые мы получаем формулы для
вычисления координат ЦВ
ee
ye = { re cosede, ze - zc = J re sinede (З) ОО Из анализа рис.З мы находим координаты метацентра
Ут = ye- re sinв, zm = ze+ re cosв, из рис. 2 находим плечо le силы Q
le= GK = C0 R - C0 B = C0 E • cos в + ECe • sin в - C0 B = l = ye • cose + (ze - zc)• sine - a • sine.
(б)
а затем и восстанавливающий момент
Mb = Mb (e) = Q • l„ =
= Q • \ye' cose + (ze - zc У sine- a • sine\
В формулах (5) - (7) г 0 - определяется по формуле (4)
Графики зависимостей /е или Мв, называемые диаграммой статической остойчивости, играют важнейшую роль в анализе и оценке статической остойчивости любых плавучих средств.
Кроме статических сил на ПС действуют динамические силы (как правило, кратковременные). Если приложенная к ПС энергия компенсируется работой восстанавливающего момента, то ПС динамически остойчиво, в противном случае - не остойчиво.
Рис. 3. Схема к определению координат метацентра
В силу сказанного найдем работу Т восстанавливающего момента и работу и силы тяжести в в
Т = |Мвйв = 011вйв, и = 0 • й,
0 0
и, приравнивая их друг другу, находим расстояние й между ЦТ и ЦВ (рис. 2)
0
ё =| /вё0, (8)
0
полагая при этом, что ЦВ является точкой опоры плавучего средства [7].
Величина ё называется плечом динамической остойчивости, которая связана с плечом статической остойчивости /е дифференциально-
интегральным соотношением (8). Произведение водоизмещение Q на плечо динамической остойчивости ё представляет собой восстанавливающий динамический момент
0
Мв = Мв (е) = Q • ё = Q100. (9)
0
Ниже приведены результаты вычислительного эксперимента для одного типа ПВУ, составные элементы которого даны в таблице. Коэффициент плавучести кр принят равным 0,579.
В соответствие с данными таблицы, вычислены необходимые параметры ПВУ: масса да=4871,9 кг; момент инерции относительно продольной оси
х1 Jх = 2993,4 кгм2; масса обслуживающего персонала вместе с массой патрубка т}=500 кг.
График изменения метацентрического радиуса в зависимости от угла крена (рис. 4) состоит из трех участков.
Точкам первого участка соответствуют положения ватерлинии в промежутке между её горизонтальным положением и положением, соответствующим касанию правого поплавка. Угол крена на этом участке меняется в промежутке 0° - 18°.
Второму участку соответствует положение ватерлинии в интервале между её касаниями правого и среднего поплавков. Изменение угла крена лежит в промежутке 18 °— 48 ° На третьем участке координаты точек соответствуют положениям ватерлинии, начиная с её касания среднего поплавка и, вплоть, до опрокидывания понтона. На
Таблица составляющих элементов ПВУ
№ Наименование составляющего элемента (размеры в м) Кол-во Масса, кг
1 шт. общая
1 Труба-поплавок понтона Я = 0,4, 1 = 5,1, 8тр = 0,008 3 782,69 2348,07
Заглушка труба понтона Язаг = 0,4 6 31 186
2 Палубный настил й = 1,8 1 1 179
3 Бак-запасник воды в сборе на подставке Я3 = 0,26, И3 = 0,76, 83 = 0,25 1 158 158
4 Электродвигатель Я4 = 0,3; 84 = 0,17 1 890 890
5 Насос Я4 = 0,2 1 485 485
6 Стойки ограждения Нб= 1,0 10 7.6 76
7 Поручни, 17 = 5,0 4 12,25 49
этом участке угол крена начинается с 49 °.
Графики зависимостей плеча статической остойчивости (кривая 1) и плеча динамической остойчивости (кривая 2) от угла крена представляют собой диаграммы соответственно статической и динамической остойчивости понтона, которые показывают, что максимальному восстанавливающему моменту Мв соответствует угол крена 18° (рис. 5).
Точка на графике, при которой плечо статической остойчивости равно нулю, называется точкой «заката» диаграммы. Она соответствует потере остойчивости понтона при статической нагрузке, а её абсцисса равна углу крена 0заг= 56°.
Очевидно, что кренящий момент обусловлен массой т1, состоящей из массы рабочих и массы патрубка, опускаемого в воду для её откачки (рис. 2). Причем наибольшая величина кренящего мо-
мента достигается при расположении массы на краю понтона. В этом случае плечо силы тяжести массы т1 и величина кренящего момента определяются следующим образом (рис. 2)
/к = /у 0080 + /2 $1п0 ,
Мкр = Мкр (0) = т1 g/k =
( 0 1 ■ 0). (10)
= т1 ^\/у 008 0 + 81П 00
На рис. 6 представлены графики статического восстанавливающего момента (кривая 1), динамического момента (кривая 2), кренящего момента (кривая 3), построенные с использованием формул
(7), (9), (11).
Кренящий момент Мкр (кривая 3) пересекает кривую статической остойчивости в двух точках -
А и В. В точке А угол 01 соответствует остойчивому состоянию понтона, поскольку в этом со-
Рис. 4. График зависимости метацентрического радиуса от угла крена
ц 0.3
| 0.2 О
Е 0.1
41
ь|| 'о 10 20 30 40 50 60
Угол крена, град.
Рис. 5. Диаграммы статической и динамической остойчивости понтона
стоянии восстанавливающий момент превышает кренящий момент даже в том случае, если угол крена 01 получит небольшое приращение. Напротив, в точке В угол 02 соответствует положению неостойчивого состояния понтона, так как, придавая этому углу небольшое приращение, кренящий момент будет больше восстанавливающего, и понтон будет крениться до тех пор, пока не опрокинется. Если же 02 уменьшить на малую величину, то получится, что Мкр < Мв и понтон перейдёт в положение равновесия с углом крена 01. Таким образом, угол 01 является единственным углом остойчивого состояния понтона. Следовательно, возрастающая ветвь кривой 1 до точки максимума соответствует устойчивым углам крена, а ниспадающая ветвь - неустойчивым.
Кренящий момент, равный максимальной ординате на графике статического момента остойчи-
вости, является предельным кренящим статическим моментом. Угол 0тах, соответствующий этому моменту является предельным статическим углом крена. На графике 1 (рис. 6) максимальный кренящий момент составляет 11810 Нм, а предельный статический угол крена равен 19°
По графику статического момента остойчивости (рис. 6) легко определить значения предельных углов крена и соответствующих им предельных кренящих моментов. Так, например, кренящий момент в 4000 Нм (кривая 5) опрокидывает понтон при угле крена 50°, а кренящий момент 5000 Нм опрокидывает понтон при угле его крена в 47°
При действии на понтон динамически приложенного кренящего момента, обусловленного резким, порывистым его приложением, условием его равновесия является равенство не моментов, а равенство работ кренящего и восстанавливающего
10 в! ■
Рис. 6. К определению предельного угла крена
моментов.
0ё 0
| МВС0 = | Мкрё0, (11)
0 0
где 0с! - угол крена, соответствующий углу динамического равновесия. Этот угол определяется из условия (11).
На рис. 6 представлена графическая иллюстрация этого условия. Максимальный, динамически приложенный кренящий момент, определяется из условия равенства площадей Б1 и Б2. Он называется предельным динамическим моментом
М-пр.с1.
Как следует из условия (10), при заданных параметрах водоотливной плавучей установки предельный динамический момент принимает единственное значение.
Следует отметить (рис. 6), что при 01 на графике динамического момента (кривая 2) находится точка перегиба, а прямая 4, проведённая из начала координат касается кривой 2 в точке, абсцисса которой равна углу 02. Из рис.унка 6 следует,
что при данных параметрах ПВУ предельный динамический угол крена 0кр составляет 38°, который соответствует значительной по величине нагрузке, равной массе в 1000 кг.
Выводы.
1. Представлено решение задачи о статической остойчивости на произвольных углах крена одного типоразмера понтона, применяемого на угольных разрезах.
2. Построены диаграммы статической и динамической остойчивости понтона, позволяющие оперативно определять предельные остойчивые и неостойчивые углы его крена.
3. Анализ диаграммы статической остойчивости показывает, что для рассматриваемой водоотливной установки существует одно значение предельного динамического угла крена, равного 38°, что соответствует массе подвижного груза в 1 т, прикладываемого внезапно на край левого (или правого) борта понтона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Черданцев, С. В. Теоретические основы расчета понтонов, используемых на угольных разрезах // ФТПРПИ. - 2013, № 1.
2. Кучер, Н. А. Условия безопасного применения плавучих водоотливных установок / С. В. Чер-данцев, С. И. Протасов, С. Н. Подображин, В. В. Билибин // Безопасность труда в промышленности. -2003, - № 1. - С. 12 - 14.
3. Черданцев, С. В. Уравнения движения понтонов в зумпфах угольных разрезов // Вест. КузГТУ. -2013, - № 1. - С. 7 - 10.
4. Черданцев, С. В. Построение решения задачи о движении понтонов в зумпфах угольных разрезов // ФТПРПИ. - 2013, № 3.
5. Борисов, Р. В. Статика корабля / Р. В. Борисов, В. В. Луговский, Б. М. Мирохин, В. В. Рождественский. - СПб. : Судостроение, 2005. - 256 с.
6. Ремез, Ю. В. Качка корабля. - Л.: Судостроение, 1983.
7. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1976.
8. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики, т.2. -М.: Наука, 1977.- 736 с.
□ Авторы статьи:
Черданцев Николай Васильевич, докт.техн.наук, зав. лаб. геомеханики угольных месторождений Института угля СО РАН.
E-mail:
cherdantsevnv@icc.kemsc.ru.
Черданцев Сергей Васильевич , докт. техн. наук, проф. каф. математики КузГТУ. E-mail: svch01 @yandex. ru
