Математическое моделирование качки понтона в зумпфе угольного разреза Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 19, № 1, 2014

Математическое моделирование качки понтона в зумпфе угольного разреза

С. В. ЧЕРДАНЦЕВ1, Н.В. ЧЕРДАНЦЕВ2 1 Кузбасский государственный технический университет им. Т.Ф. Горбачёва,

Кемерово, Россия 2Институт угля СО РАН, Кемерово, Россия e-mail: svch01@yandex.ru, nvch2014@yandex.ru

Получены аналитические формулы для вычисления присоединённых масс жидкости понтона, совершающего вертикальную, боковую и килевую качку. Вычислены моменты инерции плавучей водоотливной установки. Построены графики зависимостей собственной частоты вертикальной, боковой и килевой качки понтона от его основных параметров и выявлены закономерности этих зависимостей.

Ключевые слова: понтон, поперечная и продольная метацентрические высота, присоединённые массы жидкости, моменты инерции, качка, собственные частоты.

Для предотвращения затопления забоев угольных разрезов грунтовыми и подземными водами предусматриваются углубления, называемые зумпфами, которые сооружают в почве забоев в окрестности работающих экскаваторов. По мере заполнения зумпфов водой последнюю откачивают, для чего используются плавучие водоотливные установки (ПВУ), помещаемые непосредственно в зумпфы и представляющие собой плавучие средства в виде понтонов с установленным на них водоотливным оборудованием.

Понтоны состоят из металлических труб-поплавков, расположенных параллельно друг другу и герметически заваренных с торцов заглушками (рис. 1). Как правило, используется нечётное количество поплавков (три-пять, реже семь). На поплавки настилают палубу, на которой закрепляют насосное оборудование с электроприводом, а для безопасного перемещения по понтону устанавливают боковые ограждения и поручни. Понтоны изготавливают в мастерских угольных разрезов по проектам технических отделов. В основе проектов — расчёт только плавучести понтонов. К настоящему времени накоплен определённый опыт по проектированию понтонов на угольных разрезах Кузбасса, но ни его обобщения, ни рекомендаций по проектированию данного вида оборудования пока нет.

Очевидно, что безопасную эксплуатацию понтонов на разрезах можно обеспечить, правильно рассчитав их плавучесть, статическую остойчивость и режимы движения. Проблема использования понтонов на угольных разрезах рассматривалась в ряде работ. Так, в [1] плавучесть и остойчивость понтонов обсуждались на основе теорем Дюпена, в [2] — на базе основных теорем статики корабля [3].

В настоящей работе рассматривается задача о движении понтона в зумпфе угольного разреза. Её особенность заключается в том, что действующие на понтон силы заранее неизвестны и проявляются лишь при взаимодействии понтона с движущейся жидкостью.

а

Рис. 1. Плавучая водоотливная установка: а — вид с торца, б — вид сбоку: 1 — металлические трубы-поплавки, 2 — палубный настил, 3 — бак-запасник воды, 4 — электродвигатель, 5 — насос, 6 — стойки ограждения, 7 — поручни

Вначале под действием какого-либо возмущения нарушается равновесие понтона, что в свою очередь нарушает равновесие жидкости в окрестности понтона и приводит её в движение, представляющее собой волны малой амплитуды на поверхности жидкости [4], поэтому перемещения и углы поворота понтона также будут малыми. В работе [5] показано, что в силу данной конструкции понтона и условий его эксплуатации движение понтона описывается не шестью, а тремя дифференциальными уравнениями, представляющими собой соответственно вертикальную, боковую и килевую качку:

(М + Мзз)Л + рдБаХ = 0, (1)

(,]Х1 + М44) 9 + РМ = 0, (2)

+ М55)ф + РИаф = 0, (3)

где М — масса плавучей водоотливной установки; 3Х1, 3У1 — её моменты инерции относительно осей Ох 1 и Оу1, расположенных в плоскости ватерлинии; М33, М44, М55 — присоединённые массы жидкости, характеризующие увеличение соответственно массы и моментов инерции ПВУ в процессе её качки; р — плотность жидкости в зумпфе; Р — вес ПВУ, равный архимедовой силе; Л — вертикальное перемещение понтона в неподвижной системе координат, углы поворота понтона относительно осей Ох1 и Оу1 будем называть в терминах теории корабля [3, 6] соответственно углом крена в (рис. 1, а) и углом дифферента ф (рис. 1, б); точками обозначены производные по времени.

Площадь ватерлинии 50 понтона выражается формулой

50 = ]ЪЬ,

(4)

где ] — число труб-поплавков, Ь — их длина, величина Ь (рис. 2) определяется по формуле [2]

Ь = 2Я ^02—0, (5)

где £ = /0/Я — относительная максимальная высота надводной части труб-поплавков (см. рис. 2), зависящая от коэффициента запаса плавучести кр, Я — радиус трубы-поплавка.

Поперечная к0 и продольная Н0 метацентрическая высота понтона и его метацен-трические радиусы тв, Тф находятся по формулам [2]

ко = Тв - ¡гс| - го, Но = Тф - ¡гс| - го,

(6)

л/С(2-С)'

1 +

-а 0-1)/2 3а ^^

2Х(2 - С)

тв = Я-

г=1

12

г - 1

1_

1 - 1

3 {п - [агссс8(1 - <) - (1 - С)УС(2-С)] }

Тф = Я

л/С(2-С)

п-

агсссв

(1 - С) - (1 - С)УС(2-С)

Ь2,

2

3

2

Рис. 2. К вычислению присоединённых масс жидкости

где й = ¿/К — относительное расстояние между центрами тяжести крайних поплавков, Ь = Ь/К — относительная длина труб-поплавков.

Координаты центра масс ПВУ Хс и центра величины Хс вычисляются следующим образом [2]:

1 ^ 20 [С(2 - С)]3/2

ZG = Т7 У , miZ

miZi, Zc = - 2 R

M = ' " c 3 i=i n

arceos

(1 - Z) - (1 - Z)УС(2-С)

где — координаты масс то», составляющих ПВУ. Величина £ находится из решения трансцендентного уравнения [2]

arceos (1 - Z) - (1 - Z) У((2-С) = k^, (10)

в котором вначале следует задать значение коэффициента запаса плавучести кр, а затем вычислить £. Например, если кр = 0.3, то £ = 0.5627, если кр = 0.5, то £ = 0.7351 и т.д.

Разделив уравнения (1)-(3) на коэффициенты при вторых производных и приняв Л = Z1, 9 = Z2, ф = Z3, имеем

Zi + 42Zi = 0, (11)

где индекс г относится различным видам движения понтона: г = 1 — вертикальному перемещению, г = 2 — крену, г = 3 — дифференту, а величина в соответствии с параметрами, входящими в уравнения (1)-(3), представляется в виде

рдБо = Мдк = ЫдИ (12)

^ V М + Мзз , Ш2 V ^ + М44 , V ^ + М55 . ( )

Добавляя к уравнению (11) начальные условия

Zi|t=0 = ^^г

получим задачу Коши [7], решение которой

Zi = С бШ^ + рг), (14)

где Сг — амплитуда соответствующего вида качки, рг — её начальная фаза, определяемые следующим образом [7]:

= Zoí , (13)

t=0

Ci =

\

^ + (í) 2, * = arctg (^). (15)

Сформулированная задача Коши для описания качки понтона является достаточно простой. Однако вычислить собственные частоты качки понтона, амплитуды Сг и начальные фазы рг не представляется возможным, поскольку формулы (12), (15) содержат неизвестные моменты инерции ПВУ и присоединённые массы жидкости М33, М44, М55, которые для рассматриваемого типа понтонов пока не определялись, поэтому процедуру их вычисления рассмотрим подробно.

Известно, что величины М33, М44, М55 выражаются формулами [6]

С дФч С 8Фл С -Ф^

М33 = р Фз --ф"ав, М44 = р Ф4 -дПав, М55 = р Ф5 -д^ав, (16) Й!

где п — внешняя нормаль к поверхности в1 понтона, находящейся под водой; Ф3, Ф4, Ф5 — функции, представляющие собой потенциалы скоростей возмущённого движения жидкости, вызванного равномерным вертикальным перемещением понтона и его вращением соответственно вокруг осей Ох1 и Оу1 с единичными скоростями, причём

д Ф3 ( \ -Ф4 ( ч ( ч - Ф5 ( ч

—— = сс8(п,г), —-— = у сс$,(п,г) - г ссъ(п,у), —-— = -х ссъ(п,г), (17)

дп дп - дп -

в силу чего формулы (16) приводятся к виду

М33 = рJ Ф3 ссв(п,г)ав, М44 = рJ Ф4у ссв(п,г)ав - рJ Ф4г ссв(п,у)ав,

М55 = -^У Ф5х ссв(п,г)ав. (18)

Преобразуя интегралы в (18) по формуле Остроградского — Гаусса [8]

Г Г дФ3 Г дФ3 дп

Мзз = р Фз ссв(п, г)ав = р "дг"ау = р -—пд^ау,

М С -(Ф4у) _ С -(Ф4г) Г -Ф4 -п С -Ф4 -п

М44 = р —~-ау - р —--ау = р у——-рт-аУ - р г^—йУ,

] -г } -у ] -п -г ,/ -п -у

У1 У1 У1 У1

Г -(Ф5Х) ау Г —Ф5 -п

5 = -р] ау = -р/ ^^ -гау

И У1

и используя ещё раз (17), получим

Мзз = р I ссв(п,г)-^—- ¿у = ру1, (19)

] ссв(п,г)

И

М44 = р I у [у ссв(п,г) - г ссв(п,у)]-:-т¿у-

] ссв(п,г)

-р[ г [у ссв(п,г) - г ссв(п,у)]--г ¿у =

3 ссв(п, у)

= р [ у2ау - р I угссз(п,у) ау - р [ гусс8(п,г) ау + р [ г2ау, (20)

] ] ссв(п, г) ] ссв(п, у) ]

И У1 И У1

М55 = -р[ х [-х ссв(п,г)]--- ау = р I х2ау. (21)

./ ссв(п, г) У

У1 У1

Ввиду симметрии понтона относительно плоскости хОг, второй и третий интегралы в формуле (20) равны нулю [9], и поэтому присоединённая масса жидкости М44 вычисляется с помощью только двух интегралов

М44 = р у у2¿V + р у г2¿V. (22)

VI VI

Из формул (19), (21) и (22) видно, что присоединённая масса жидкости М33 представляет собой массу жидкости в объёме У, а присоединённые массы М44, М55 являются моментами инерции этой массы относительно осей Ох1 и Оу\.

Поскольку длина понтона превышает его ширину, а трубы в силу параллельности друг другу не образуют вдоль своей длины клиновидности, обводов и закруглений, то будем полагать, что обтекание труб жидкостью в процессе качки является плоским [6, 10]. Поэтому, так как интегралы по области VI можно свести к определённым интегралам, вычисление М44 и М55 существенно упрощается.

Процедуру начнем с интеграла (21), в котором ¿V представим в виде

¿V = ^'А(11)вх,

где А(() — часть площади поперечного сечения одной трубы, находящаяся под водой (см. рис. 2), определяемая по формуле [2]

А(() = Я2 \п - агссс8(1 - С) + (1 - С)\/С(2-С)

(23)

Следовательно, формула (21) упрощается к виду

Ь/2

М55 = р У х2^А(1)вх,

-Ь/2

и, выполнив в ней преобразования, получим формулу

М55 = М55рЬЯ4, (24)

в которой присоединённая масса в безразмерной форме М55 определяется следующим образом:

М55 = ^ ^ А11) I2. (25)

Процедуру вычисления присоединённой массы М44 выполним поэтапно. Вначале по формуле (22) найдём присоединённую массу М^ только одного поплавка (например, центрального), которую назовем собственной присоединённой массой

М44) = р у у2вУ + р у г2вУ, (26)

VIе) VIе

где бесконечно малый элемент ¿V области У1(с) ¿V = вувгЬ. Тогда первый интеграл в (26) приведём к виду

н н

11 = [ у2вУ = I I у2вувг = I I ¿г [ у2ву = 2I { (^Я2-И2^ ¿г =

V

(е)

А

(1)

-К

-Я

21

3

у/Я2 - (г + к)2

¿г,

(27)

-(Я+Н)

а второй найдём по аналогии

/2 = 21

^Я2 - (г + к)2г2¿г.

-(Я+Н)

С помощью подстановки

г + к = Я вти, и Е

п

-2; шгат^ - ()

вычислим интегралы (27) и (28) в замкнутом виде и, подставив их в (26), определим собственную присоединённую массу жидкости

М

(с)

44

р!Я4{ [1 + 2(1 - С)2] ^гсвт^ - С)+ п] +

+ 3 [1 + 3(1 - С)2] (1 - С- (С - 1)2 - 6(1 - С- (С - 1)2 [1 - 2(С - 1)2] +

4

+ д(1 - С)>Л - (С - 1)2 [1 - (С - 1)^ \.

(29)

На втором этапе, суммируя собственные присоединённые массы всех труб-поплавков понтона, с учётом теоремы о моментах инерции при параллельном переносе осей [9] определим присоединённую массу М44 всей подводной части понтона по формуле

М44 = М44рЬЯ4, в которой М44 является безразмерной присоединённой массой

(30)

0-1)/2

М44 = зМ44 + 2Л!^2 £

г=1

12

г - 1 »_

1 - 1

(31)

где М44 = М^/рЬЯ4, А? = Л^/Я2.

При вычислении моментов инерции массы ПВУ относительно осей Ох1 и Оу1 будем учитывать её составляющие элементы, показанные на рис. 1 и приведённые в таблице. В ходе вычисления использованы формулы моментов инерции простейших тел (цилиндрическая тонкостенная труба, круговой цилиндр, тонкий стержень) и уже упомянутая теорема о моментах инерции при параллельном переносе осей. Например, центральный

1

0

3

0

2

Элементы, составляющие ПВУ (размеры в метрах)

№ п/п Название элемента Количество составляющих элементов Масса, кг

1 шт. общая

1 Труба-поплавок Я = 0.35, Ь = 5.1, ¿тр = 0.008 3 683.75 2051

Заглушка трубы Я = 0.34 6 23 138

2 Палубный настил I = 1.8 1 179 179

3 Бак-запасник воды Яз = 0.26, Лз = 0.76, ¿з = 0.25 1 158 158

4 Электродвигатель Я4 = 0.3, ¿4 = 0.17 1 890 890

5 Насос Я5 = 0.2 1 485 485

6 Стойки ограждения Лб = 1.0 10 7.6 76

7 Поручни Л7 = 5.0 4 12.25 49

поплавок представляет собой тонкостенную трубу, а заглушка является круглой пластинкой. Поэтому

= 1тр + ШТрН2 + 2(1заг + ШзагЬ2) = ШТрЯ2 + ШТрН2 + 2 ^

ШзагЯ2

2

+ ШзаЛ =

h! R2

ШтрК2[ 1 + ^т ) + m3arRM 1 + )

ЬГ\

'R2)

(32)

где штр — масса трубы поплавка, шзаг — масса заглушки.

Учитывая, что h/R =1 — Z, перепишем формулу (32) в виде

I(1)

1 + (1 — Z )2 + — [1 + 2(1 — Z )2]

Ш

тр

(33)

где IЦ = /Х1)/тТрЯ2.

Момент инерции всех труб-поплавков и заглушек найдем по формуле

— Х1 = ^ 1 + (1 — z )2 + — [1 + 2(1 — z )2] К

2 . шзаг

d2 / ш.

+Т 1 + 2 2m

ш

(j-1)/2 заг \ Уу ^

i=1

тр

тр

12

i — 1 »_

j — 1

(34)

Опуская процедуру получения формул для вычисления моментов инерции элементов ПВУ, приведём окончательный вид этих формул:

других

- (2) = 1 Ш2 (-2 xi = 12 ш

тр

(d2 + 12Z2),

- (3) = 1 f^V + ]U I)2 + (z + ^

штр | 2 \ R

-(4) = rn.4

J x1 =

ш.

тр

U ЯЛ2 + Л + ¿4 + R4 2 l R / + vz + R

2

7 (5)

7 х1

т5

т

тр

+ ( + ¿4 + Я5

Я) + Г + Я

7 (6) 7 Х1

„6"

т6

т

тр

ЯИ <+2я)+1

7(7)

7 Х1

2

т7

т

тр

с+Й) + (<+1) +2 ¿2

(35)

в которых моменты инерции также отнесены к величине ттрЯ2.

Момент инерции ПВУ относительно оси Ох1 представляет собой сумму найденных моментов инерции

3

Х1

7Х]_ + 7Х1 +, ..., + 7Х, .

Х1

Х1

(36)

Аналогично получим формулы для вычисления безразмерных моментов инерции составных элементов ПВУ относительно оси Оу1:

7 ;11) = ^6 + I2 + 12(1 - С )2 + 2

т

тр

1 + 31 +12(1 - ()2

7(2) = __

У1 12 т

1 т2 /—2

тр

(I2 + 12С2) ,

7 (3)

7 У1

т3

т

тр

7(4)

7 У1

7(5)

. )2 + 1 Г-2

2 V Я / 12 V Я

2

^ Я3У + ^ + Г Я )2 + (с + | + ^

кз

Я ' 2Я

т4 1

ттр 14

т5 / 1

ттр I2

1 т6

12 ттр

1 т7

4

1 ¿4 3 V Я

Ь5 \ 2 , 1 (2

7(6)

7(7)

7у1 3 т

3Я 2

¿4 Я4 — + —

Я Я

¿4 + Я5

я + ~Я

тр

„и +120 (с +2Я) + ^

I2+§(2с+£)+6 а+я

а затем безразмерный момент инерции всей ПВУ

(37)

7 = 7(1) + 7(2)+ + 7(7)

(38)

Анализируя формулы (32)-(38), видим, что они содержат массу трубы-поплавка, которую более удобно выразить через плотность материала трубы и её геометрические параметры

ттр = 2пЯ¿трIртр,

где ¿тр — толщина трубы, ртр — плотность её материала.

2

заг

2

2

2

2

2

Определив присоединённые массы жидкости и моменты инерции ПВУ, можно найти частоты всех трёх видов качки понтона. Начнем с вычисления шх. В силу (19), первая формула (12) преобразуется к виду

=

рдБо

рУ + рУ

о

2Ух

(40)

Учитывая, что площадь ватерлинии £о вычисляется по формуле (4), а объём подводной части понтона можно найти как У = рА^1 Ь, формулу (40) перепишем следующим образом:

=

\

д ь Я 2Л<1)

(41)

где Ь = Ь/Я.

Для удобства вычислений частот боковой и килевой качки две последние формулы (12) с учётом формул (24), (30), (36), (38), (39) приведём к виду

=

\

д

Д« Л

Я 2п5трРтр -1x1 + М.

=-=

44

\

д

н

Я 2п6Трртр./.и + М

(42)

55

где Но = Но/Я, ^Тр = ¿тр/Я, рТр = Ртр/р.

Далее выполним анализ собственных частот качки понтона в зависимости от радиуса трубы-поплавка, её длины и расстояния между крайними трубами-поплавками. Выбор этих параметров не случаен, поскольку от них зависят коэффициент запаса плавучести кр, относительная величина надводной части понтона (, его метацентрические высоты Но, Н0, моменты инерции ПВУ .]ХЛ, и, наконец, присоединённые массы жидкости М33, М44, М55.

Графики зависимостей собственной частоты вертикальной, боковой и килевой качки понтона от величины радиуса труб-поплавков Я при их длине Ь = 5.1 ми расстоянии между крайними поплавками 1 = 2.4 м показаны на рис. 3, где кривая (Я) соответ-

Рис. 3. Зависимости собственных частот качки понтона от радиуса Я для Ь = 5.1 м, 1 = 2.4 м

о

ствует вертикальной качке, <^>2(Я) — боковой, а <^>3(Я) — килевой. Видно, что все три графика гладко-выпуклые, причём кривые <^>2(Я) и <^>3(Я) имеют два участка монотонности, разделённые точками экстремума (при Я = 0.475 м для <^>2(Я) и при Я = 0.5 м для ^3(Я)), а кривая ^ (Я) на всем рассматриваемом интервале монотонна и экстремальных точек не имеет.

Участок монотонного возрастания характерен тем, что с увеличением Я рост мета-центрических высот , Н0 происходит интенсивнее роста моментов инерции и присоединённых масс жидкости в совокупности. На участке монотонного убывания, наоборот, с ростом Я приращение , и М44, М55 более существенно, чем и Н0. Для вертикальной качки увеличение Я приводит к монотонному росту коэффициента запаса плавучести и, как следствие, к увеличению собственной частоты качки.

Зависимости ^(Ь), (Ь), (Ь), представленные на рис. 4 и построенные при Я = 0.35 м, й = 1.8 м, практически эквидистантны и монотонно возрастают, не обнаруживая на интервале Ь £ [4; 7.5] локальных экстремумов собственных частот. Таким образом, увеличение длины труб-поплавков приводит к тому, что рост метацентрических высот понтона происходит более интенсивно, чем рост моментов инерции и присоединённых масс жидкости.

Следует отметить, что кривые на рис. 3, 4 показывают качественное сходство зависимостей частот от радиуса и длины труб-поплавков для всех трёх видов качки, а зависимости частот от расстояния й для вертикальной, боковой и килевой качки (рис. 5) принципиально отличны от предыдущих графиков. Так, если в условиях боковой качки увеличение й приводит к существенному росту частоты, то для условий вертикальной и килевой качки, наоборот, снижает частоты, хотя и незначительно. В самом деле, увеличение й приводит к росту параметров , 7Ж1, М44, характеризующих боковую качку понтона, но меняет не параметры Н0, М55, а только массу палубного настила, что незначительно увеличивает массу ПВУ и величину Зух и, значит, немного уменьшает частоту вертикальной и килевой качки.

Ещё одно принципиальное отличие графиков на рис. 3, 4 от таковых на рис. 5 состоит в том, что если в первом случае частота килевой качки всюду выше частоты боковой

Рис. 4. Зависимости собственных частот качки понтона от длины Ь для Я = 0.35 м, d = 1.8 м

C03(d)

(o2(d)

--1- А-1-1-1-►

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 d, м

Рис. 5. Зависимости собственных частот качки понтона от расстояния d для R = 0.4 м, L = 5.1 м

качки, то во втором при R = 0.4 м, L = 5.1 м, d = 3 м частоты боковой и килевой качки совпадают. Следовательно, изменяя параметры понтона, можно добиться совпадения собственных частот при его боковой и килевой качке.

На основании проведённых исследований можно сделать следующие выводы.

1. Получены формулы для вычисления собственных частот вертикальной, боковой и килевой качки понтона, находящегося в зумпфе угольного разреза.

2. Показано, что присоединённые массы жидкости понтона, выражаемые интегралами по области, при плоском обтекании сводятся к квадратурам и в преобразованном виде представляют собой аналитические выражения.

3. Построены графики собственных частот вертикальной, боковой и килевой качки понтона в зависимости от радиуса труб-поплавков, их длины и расстояния между крайними поплавками, в результате анализа которых:

а) установлено, что практически на всех рассмотренных диапазонах изменения параметров понтона его собственная частота боковой качки ниже собственных частот вертикальной и килевой качки. Следовательно, характер вертикальной и килевой качки более порывистый, чем боковой;

б) найдены параметры понтона R = 0, 4 м, L = 5,1 м, d = 3 м, при которых собственные частоты его боковой и килевой качки совпадают;

в) установлен интервал изменения радиуса труб-поплавков R G [0.32; 0.37], на котором собственные частоты вертикальной и килевой качки понтона совпадают.

Список литературы

[1] Кучер Н.А., ЧЕРДАНЦЕВ С.В., Протасов С.И. и др. Условия безопасного применения плавучих водоотливных установок // Безопасность труда в промышленности. 2003. № 1. С. 12-14.

[2] Черданцев С.В. Теоретические основы расчёта понтонов, используемых на угольных разрезах // ФТПРПИ. 2013. № 1. С. 61-69.

[3] Борисов Р.В., Луговский В.В., Мирохин Б.М., Рождественский В.В. Статика корабля. СПб.: Судостроение, 2005. 256 с.

[4] Черданцев С.В. Постановка задачи о гравитационных волнах жидкости в зумпфах угольных разрезов. // Вестник КузГТУ. 2012. № 6. С. 10-12.

[5] Черданцев С.В. Уравнения движения понтонов в зумпфах угольных разрезов // Там же. 2013. № 1. С. 7-10.

[6] Ремез Ю.В. Качка корабля. Л.: Судостроение, 1983. 328 с.

[7] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

[8] Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2001. 592 с.

[9] КильчЕвский Н.А. Курс теоретической механики. Т. 2. М.: Наука, 1977. 544 с.

[10] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. М.: Физ-матгиз, 1963. 584 с.

Поступила в 'редакцию 2 июля 2013 г., с доработки — 6 декабря 2013 г.