Формы движения понтона в зумпфе угольного разреза Текст научной статьи по специальности «Физика»

С.В. Черданцев

д-р техн. наук, профессор кафедры ФГБОУ ВПО «КузГТУ им. Т.Ф. Горбачева»

Н.В. Черданцев

д-р техн. наук, заведующий лабораторией Института угля СО РАН

УДК 622.272:516.02

ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ ПОНТОНА В ЗУМПФЕ УГОЛЬНОГО РАЗРЕЗА

В работе исследовано влияние взволнованной поверхности жидкости на понтон и показано, что оно проявляется в увеличении инерционных характеристик понтона. Сформулирована задача Коши о движении понтона и построено ее решение, показывающее, что возможные формы движения понтона в зумпфе угольного разреза являются периодическими, представляющими собой вертикальную, боковую и килевую качки. Определены параметры качки и установлены их зависимости от некоторых параметров понтона.

Ключевые слова: ПОНТОНЫ, ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ, ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ,

ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ ЖИДКОСТИ, КАЧКА ПОНТОНА

При разработке угольных месторождений открытым способом необходимы зумпфы - сооружения (углубления) на дне разреза, предусмотренные для сбора грунтовых и подземных вод. Для предотвращения затопления забоя вода из них должна регулярно откачиваться. Для этой цели используют расположенные на поверхности воды зумпфа плавучие средства в виде понтонов с установленным на них водоотливным оборудованием.

Понтоны проектируются на каждом угольном разрезе индивидуально. Они представляют собой конструкцию в виде системы металлических труб-поплавков, герметически заваренных с торцов и расположенных параллельно друг другу (рисунок 1).

В зависимости от производительности водоотливного оборудования используют разное количество поплавков, обычно нечетное их количество (чаще три или пять). На поплавки с использованием сварки укладывается настил из металлических пластин, обшитых досками, и устанавливаются боковые ограждения. Затем на настил крепится вместе с электроприводом насосное оборудование.

Понтоны являются важным звеном в технологии открытой угледобычи, обеспечивая высокую производительность, надежность и безопасность труда. Недостаточный анализ поведения понтона в зумпфе, неполный учет нагрузок на него, неадекват-

ность принятой модели, ошибки в расчетах, неправильная трактовка результатов и неверные выводы могут привести к авариям, в частности, к опрокидыванию понтона и, как следствие, к гибели обслуживающего персонала. Кроме того, снижаются темпы добычи угля и производительность труда. Проблема использования понтонов на угольных разрезах уже обсуждалась в ряде работ. Например, в работе [1] на основе фундаментальных положений теории корабля исследована плавучесть понтонов и выявлена их статическая устойчивость.

1 - металлические трубы-поплавки; 2 - настил; 3 - ограждения; 4 - бак-запасник воды

Рисунок 1 - Плавучая водоотливная установка (вид с торца)

В данной работе сформулирована задача о движении понтона, которая еще нигде не рассматривалась. В ходе ее реализации представлены все возможные формы движения понтона на водной поверхности зумпфа угольного разреза и проведен анализ одной из этих форм.

Особенность этой задачи состоит в том, что не все действующие на понтон силы нам заранее известны, а проявляются лишь во взаимодействии понтона с движущейся жидкостью по следующей схеме. Вначале под действием какого-либо внешнего возмущения, которое неизбежно при эксплуатации понтона, нарушается его равновесие, что, в свою очередь, нарушает равновесие жидкости в окрестности понтона и приводит ее в движение. Движущаяся жидкость с помощью гидродинамических сил действует на понтон и тем самым инициирует его движение, которое при определенных условиях может быть неустойчивым, в результате чего понтон может опрокинуться.

С целью выявления гидродинамических сил, действующих на понтон, рассмотрим движение жидкости в зумпфе угольного разреза, которое, как отмечено в работе [2], является безвихревым и поэтому скорость жидкости V можно представить как

области О

V =УФ,

(1)

где Ф = Ф(х,у^) является потенциалом скорости жидкости, удовлетворяющим в любой точке зумп-фа(далее - область О) уравнению Лапласа

ДФ = 0 (2)

и условию на границе являющейся поверхностью

дФ

до

= 0 .

(3)

В формулах (1)-(3): X, у, z - декартовые координаты, жестко связанные с понтоном (рисунок 2); и - внутренняя нормаль к поверхности ^; символы А и V

- операторы Лапласа и Гамильтона.

Поскольку задача (1)-(3) является линейной, то, следуя Кирхгофу [3], искомую функцию Ф(х,у^) представим как

Ф = ХикФк ■

к=1

(4)

где ик - компоненты вектора скорости центра масс (точка С на рисунке 2) понтона, если к = 1, 2, 3, или компоненты его угловой скорости относительно осей X, у, z, если к = 4, 5, 6.

Так как функция Ф гармоническая, то и каждая из составляющих функций Фк, очевидно, тоже будет гармонической, поскольку удовлетворяет уравнению Лапласа в области О, в силу чего вторая формула Грина [4] для любых двух функций Ф и Ф приобре-

к 3

тает вид

Г дФ. с

Ь ^=1

ф

1 до

(5)

К условиям (3) и (5) добавим условие обтекания [5], заключающееся в том, что нормальная составляющая скорости и произвольной точки М, принадлежа-

Рисунок 2 - Общий вид понтона на поверхности взволнованной жидкости (границы зумпфа и водоотливное оборудование условно не показаны)

щая поверхности S1 понтона, находящейся под водой, и нормальная составляющая скорости частицы жидкости и совпадающей с точкой М, равны между собой

ип =

дФ

дп

, (6)

**1

где п - внешняя нормаль к Б1 в точке М. Далее будем называть смоченной поверхностью понтона. Исходя из формулы (4), условие обтекания (6) запишем как

6

и--£|£л1-5>к£ . „

V к=1 у к=1

Представим скорость точки М через ее координаты

иМ = иМх ■ * + иМу ■ 3 + иЫ2 ■ к , а сами координаты найдем по формулам [6]

иМх = и1 + (и5Z - ибУX иМу = и2 - (и4Z - ибX), ПМг = и3 + (и4У ~ и5Х) , (8)

где X, у, z - координаты точки М. Выразив ип как

ип = иМх х) + иМу У) + иМг Z)

и подставляя сюда формулы (8), получим

ип = и1 С0Б(п, х) + и2 С0Б(п, у) + и3 С0Б(п, Z) + и4[у С0Б(п, Z) - z С0Б(п, у)] +

+и5 [Z С0Б(п, х) - х С0Б(п, Z)] + и6 [х С0Б(п, у) - у С0Б(п, х)] . (9)

Сравнивая в формулах (7) и (9) коэффициенты при и;, и ..,и6, получаем следующие соотношения, вполне определяющие функции Ф

к

дФл дФз дФл

----1 = cos(n, х), ---- - cos(n, у), ------3 = cos(n, г), ---- = у cos(n, г) - г cos(n, у) , (10)

дп дп дп дп

дФ5 дФ6

----5 = г cos(n, х) - х cos(n, г), ----- = х cos(n, у) - у cos(n, х). (11)

дп дп

Для определения гидродинамических сил, действующих на понтон, рассмотрим движение подводной части понтона V поверхностью которой является Очевидно, что объем, заключенный между поверхностями ^ и Б , будет равен = О — V1, а вектор количества движения жидкости в объеме найдем по формуле:

й =^pvdV = р | WФdV = pJvФdV-pJvФdV,

(12)

лv а V

гдер - плотность жидкости в зумпфе.

С помощью формулы Остроградского - Гаусса [7, 8] перейдем в формуле (12) от интегралов по областям О и У1 к интегралам по поверхностям ^ и 8Г

й = pj Ф ■ йdS - pj Ф ■ ndS .

Используя теорему импульсов, имеем

^ = G+ет - F1 (1З)

dt , 1 (1З)

где G - главный вектор массовых сил;

Ш - главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости в объеме AVсо стороны поверхности

Х; „

F1 - главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости в том же объеме AVсо стороны понтона через поверхность S1. Поскольку направление этого вектора противоположно вектору нормали V , то в равенстве (1З) он взят со знаком минус.

Вектор G , очевидно, равен массе жидкости в объеме AV

G = -pgAVk = -pg(Q-V1)-k = -pgQ-k + pgV1 •k . (14)

Вектор Ш - это реакция поверхности Х на силы давления жидкости F1 . Полагая скорость жидкости малой

величиной, силы давления найдем из интеграла Лагранжа - Коши [5]:

дФ p - p0

— + gz + = 0 ,

dt p

откуда

F = Jp ■ odS = Jp0 • odS - pd^Ф- vdS - pg J z • odS, (15)

її її

где pa p - соответственно, давление жидкости на стенки зумпфа в начальный и в текущий моменты времени t. Посколькуpo = const, а поверхность Х замкнута, то [7, 8]

J poUdS = po j*<

odS = 0 , (16)

і і

а последний интеграл в формуле (15) согласно формуле Остроградского - Гаусса вычисляется в замкнутом виде:

pg^ z • vdS = pg^ VzdV = pg^ ЫУ = pgO ■ к. (17)

I о о

Подставляя формулы (16), (17) в формулу (15) и учитывая, что Ш = - F1 , получаем

- d Г ^ -

Ш = р—\Ф■vdS + pgO■к (18)

dt V

и далее из равенства (13) с учетом формул (14) и (18) находим

F1 =pgVl • к + р° !ф-. (19)

dt J

81

Первый член в (19) является архимедовой силой плавучести, и поскольку она уравновешивается массой понтона, то в дальнейшем эту силу учитывать не будем. Второй член в (19) обусловлен движением жидкости, поскольку содержит потенциал скоростей Ф.

К равенству (19) добавим еще одно равенство:

Р— [ Ф(гм х п)—Б = тс, (20)

dt J

Б

выражающее теорему об изменении главного момента количества движения системы, в которой тс -главный момент внешних сил относительно точки С. В силу третьего закона Ньютона со стороны жидкости на понтон будут действовать главный вектор и главный момент т'с противоположного направления (противоположно нормали п) по сравнению с их выражениями (19) и (20):

Р{=-р— \ф-МБ, т'с=-р— \ф(гм *п)—Б . (21)

dt J dt J

— \ф- мб , т'с = ~р—

J С dt

Б Б

Учтем, что в [7]

Гм X п

п = со s(n, х) • і + со s(n, у ) • j + с os (п , г ) • k , = [у cos(n, г) - г cos(n, у)] і + [г cos(n, х) - х cos(n, г)] ] + [х cos(n, у) - у cos(n, х)] к

и подставим сюда формулы (10) и (11)

^ дФ1 г дФ2 - дФ3 - ^ ^ дФА - дФ5 - дФ6 г

п =-------1 • г +-------2 • 1 +-----3 • к, гм х п =--------- г +-------5 1 +-------1 к. (22)

дп дп дп дп дп дп

Формулы (4) и (22) позволяют найти главный вектор

г> ^ - ГдФ\ ~ дФ2 - дФъ -^

р1 = ик І Фк I г 1 +~^к I

і \ дп дп дп )

к=1 Б1

и главный момент

Е. Г _ ( дФА г дФ5 ~ дФ6 г

и/к І фк I -г-г 1 + к I ,

3 \ дп дп дп )

к=1 Б1

координаты которых суть

Ъ = -р£ик^ Л. ^ = -р£ид-^ я- = -р£ик!'

' * дФ^

Фк^ —б ; (23)

_ дп

к=1 б1 к=1 Б1 к=1 Б1

Г дФл Г дФс Г

тх =-рХ^] Фк~п —б, ту =-^Х^] Фк~п ^ т- =~Р^ик] , (24)

к=1 б1 к=1 Б1 к=1 Б

а точками обозначены производные по времени.

Формулы (23) и (24) удобно представить в компонентной форме:

К} =~^М}к •ик, 1 = 1,2,...,6 , (25)

к=1

где величины М., вычисляются по формуле:

Зк

Г дФ 3

М зк , (26)

81

в силу соотношений (5) обладают свойством симметрии и имеют четкий физический смысл в зависимости от значений3 и к. Например, величина

Г 0Ф, Г Г 5Ф^ Г 0Ф, дп

М33 = р|Ф3^ = РІФ,^(п, г ^ = р|—^ ^ = р|—^ ■ — dV =

J дn J J ог J оп ог

= р Г С0Б(п, z)------------------------------1-dУ = р Г dV - рУ1 (27)

1 С0Б(п, z) J

V V

представляет собой массу жидкости в объеме V1. Отыскав величину

М34 = р^Ф3 ~~^ = р^Ф3[у cos(n, г) - гcos(n,у)^ = pjydV -pjгdV, (28)

видим, что ее слагаемые являются статическими моментами массы, которые ввиду симметрии понтона относительно плоскостей xOz и yOz равны нулю [6]. Поэтому можем утверждать, что для рассматриваемого понтона равны нулю и все величины М при j = 1, 2, 3; к = 4, 5, 6 или ] = 4, 5, 6; к = 1, 2, 3. Найдя величину

3 к

М44 = pj Ф4 ^ = pj Ф4 [у с о s(п, г) - г с os (п , у)ДО = pj у2^ - 2р^ yгdV + pj

г 2dV,

замечаем, что она состоит из моментов инерции и центробежных моментов, последние из которых ввиду симметричности понтона также равны нулю [6]. Поэтому

М44 = pj у 2 dV + pj г 2 dV = pj у

( _2 Л

1 + -

dV

(29)

V у у

и так как величина г, характеризующая глубину подводной части понтона, существенно меньше размеров понтона в плане, то можно пренебречь в (29) величиной г2/у2 по сравнению с единицей

М44 =р| у 2dV.

(30)

Аналогично находим формулу для вычисления М55:

М55 = р| х2 ёУ, (31)

V

при получении которой пренебрегли величиной 12/х2 по сравнению с единицей.

Из рисунка 2 видно, что угол между нормалью п и осью х является прямым, поэтому cos(n, х) = 0, в силу чего соотношения (10) и (11) упрощаются:

Я фл Я ф. Я фп Я ф.

-1 = 0, —2 = С0Б(п, У), —3 = С0Б(п, z), —4 = у С0Б(п, z) - Z С0Б(п, у), оп оп оп оп

дФ5 дФ6

----5 = -х С0Б(п, z), ---6 = х С0Б(п, у). (32)

дп дп

Подставляя первую из формул (32) в формулу (26), убеждаемся в том, что все элементыМк = М обращаются в ноль. Дальнейший анализМ,к показывает, что отличными от нуля оказываются только величины М22, М3 М4, М5 M66, и из равенств (25) вытекает, что составляющие гидродинамической нагрузки определяются по формулам:

-^2 — _М- 2 2 " и2 , ^3 — _М- 33 ' и3, ^4 — _М- 44 " и4 , ^5 — _М- 5 5 " и5 , ^6 — _М- 66 " и6 .

Далее учитываем, что вдоль поверхности жидкости понтон не перемещается и не вращается относительно оси z, поэтому й2 = 0, й6 = 0. Но тогда Я2 и R6 будут также равны нулю и, следовательно, на понтон будут действовать только силы Я3, R4, R5, которым соответствуют величины М33, М , М55.

Переходя к обозначениям, принятым в [9]: и3 , й4 ^0, и5 , можем написать формулы для

определения гидродинамических сил в виде:

Я3 = ~М33С, КА = -М44<9, Я5 = ~М55у/, (33)

где С - вертикальное перемещение центра масс понтона относительно неподвижной системы координат

(рисунок 2);

в - угол поворота (крен) относительно продольной оси Ох;

¥ - угол поворота (дифферент) относительно оси Оу, а точками по-прежнему обозначены производные по времени.

Кроме гидродинамических сил, на понтон действует архимедова сила:

N = -pgSoC, (34)

и два восстанавливающих момента [1]:

М(вх) = -Р• /г0 -0, м£) = -Р• И0 -щ, (35)

противоположных крену и дифференту. В формулах (34) и (35) Ъ(, h(f И( - соответственно, площадь ва-

терлинии понтона, его поперечная и продольная метацентрические высоты, вычисленные в [1]; Р - масса понтона и находящегося на нем водоотливного оборудования.

Поскольку действующие на понтон силы являются результирующими гидродинамических и восстанавливающих сил, то, добавляя к формулам (33) формулы (34) и (35), получим формулы:

К = ~М33С -pgSoC, тх = ~-М440 - PK0, т у = ~М55У/~ РИо¥,

в силу которых уравнения движения понтона [9]

= К, Jxё = тх, = ту

представляются в виде:

(т + ЫЪЪ)С + pgS0C = О, (/, + МАА)в + Р\в = О, Уу + М55)ц/ + РН,у = 0 , (36)

где т - масса понтона и находящегося на нем водоотливного оборудования;

3, 3 - моменты инерции массы понтона относительно осей, параллельных осям Ох и Оу:

=Рш | У2Ж> '1у =Рш |,2Ж (37)

к к

где рм - плотность материала понтона (сталь 3);

К - область, занятая понтоном.

Уравнения (37) показывают, что воздействие на понтон гидродинамических сил проявляется в увеличении инерционных характеристик понтона (массы и моментов инерции) на величины М33, М44, М55, называемые присоединенными массами жидкости.

Разделив уравнения (36) на коэффициенты при вторых производных и приняв С = 7, 6= 7^ ¥ = 7, имеем

2} +0у2 Z} = 0, (38)

где индексы j соответствуют различным видам движения понтона: j = 1 - вертикальному перемещению понтона, j = 2, ] = 3 - соответственно, его крену и дифференту, а величины т. в соответствии с параметрами, входящими в уравнения (41), представляются в виде:

а, = = , «3 = . (39)

1 У)т + М33 2 рх + М44 3 ру + М 55 1 1

Добавив к уравнению (2) начальные условия при ^ = 0: X - - Z0-, X . - Z0-, получим задачу Коши [8], решение которой представляется в форме:

Z] = С. 8Іп(^ґ + ^ ) . (40)

Решение (40) показывает, что движение понтона носит характер гармонических колебаний, которые в терминах теории корабля [9] будем называть качкой понтона. В частности, если j = 1, то уравнение (4) описывает вертикальную качку, если. = 2, то - боковую, и, наконец, если j = 3, то килевую качку, причем, как следует из формулы (4), все три вида качки независимы друг от друга.

В формуле (40) С - амплитуда соответствующего вида качки, а ф - ее начальная фаза, определяемые по [8] как

Сі =■

( 72 Л2

ZoL

V . У

= arctg

і л 7°1 )

(41)

Найдем частоту колебаний вертикальной качки, используя первую формулу (39), в которой учтем, что при-

соединенная масса М33 вычисляется по формуле (27). Причем, согласно закону Архимеда, т = р Уг и, следовательно,

«і =

PgSo

Л^0

т + М33 ут + рУ1 \2р¥1

(42)

Площадь ватерлинии 80 и величину области У1 легко определить по формулам (см. рисунок 3):

^ = І • Ь • Ь, V = і • А« • Ь , где j - число поплавков; Ь - длина понтона, а величины Ь и А1(1) найдем по формулам [1]:

(43)

Ь = 2Я ^8(2 -8), А1(1)

Я2

arccos(1 -8) - (1 -8) -л]8(2 -8)

кг

(44)

В формулах (44) кр - коэффициент запаса плавучести (должен быть не менее 0,3), а д - относительная максимальная высота надводной части поплавков, зависящая от величины kp. В работе [1] установлено, что при

к = 0,3 величина д = 0,5627, при к = 0,5 величина д = 0,7351 и т.д. р г р м

Подставляя формулы (44) в формулу (43) и далее в формулу (42), получаем:

©, =

1

кр ^8(2 -8)

Я arccos(1 -8) - (1 -8) 8(2 -8)

(45)

На рисунке 4 построены графики зависимостей частоты вертикальной качки понтона от величины радиуса поплавков, показывающие, что с увеличением радиуса частота качки уменьшается. Причем зависимость 1 соответствует параметрам кр = 0,3; д = 0,5627, а зависимость 2 - параметрам кр = 0,5; д = 0,7351.

Из анализа этих графиков следует, что с уменьшением радиуса поплавков понтона частота вертикальной качки увеличивается и поэтому вертикальные движения понтона становятся более порывистыми. В таких

условиях затруднительно всходить на палубный настил понтона и перемещаться по нему для обслуживания водоотливного оборудования. Следует также отметить, что если радиус поплавков равен 1 м, то дальнейшее его увеличение несущественно сказывается на частоте качек.

Для получения результатов боковой и килевой качек необходимо вычислить присоединенные массы что, на наш взгляд, является самостоятельной задачей. Исследования в данном направлении уже ведутся. Выводы сводятся к следующему:

1. Установлено, что результатом воздействия возмущенной поверхности жидкости на понтон являются присоединенные массы жидкости, характеризующие увеличение его инерционных параметров.

2. Показано, что задача о движении понтона может быть сведена к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решением которой являются периодические функции, описывающие вертикальную, боковую и килевую качки понтона.

3. Частоты, амплитудные значения и начальные фазы всех трех видов качки понтона представляются аналитическими формулами, что значительно облегчает исследование и анализ полученных результатов.

4. Проведенные исследования зависимости частоты вертикальной качки понтона при некоторых его параметрах и коэффициенте запаса плавучести показывают, что с увеличением радиуса поплавков понтона его частота уменьшается по закону, близкому к гиперболическому.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Черданцев, С.В. Теоретические основы расчета понтонов, используемых на угольных разрезах / С.В. Черданцев // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2013. - № 1. - С. 61-69.

2 Черданцев, С.В. Постановка задачи о гравитационных волнах жидкости в зумпфах угольных разрезов / С.В. Черданцев // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - 2012. - № 6. - С. 1012.

3 Кирхгоф, Г. Механика. Лекции по математической физике / Г. Кирхгоф. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 404 с.

4 Соболев, С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1966. - 444 с.

5 Валландер, С.В. Теоретическая гидромеханика / С.В. Валландер. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 296 с.

6 Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. - М.: Высшая школа, 1986. - 416 с.

7 Кочин, Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления / Н.Е. Кочин. - М.: Наука, 1965. - 426 с.

8 Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. -Т. 2. - М.: Наука, 1974. - 656 с.

9 Черданцев, С.В. Уравнения движения понтонов в зумпфах угольных разрезов / С.В. Черданцев // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - 2013. - № 1. - С.7-10.

FORMS OF PONTOON MOVEMENT IN THE SUMP OF THE OPEN PIT COAL MINE

S.V Cherdantsev, N.V. Cherdantsev In the work the influence of the waved liquid surface on the pontoon is studied and it shows that this influence is manifested in the increase of inert characteristics of the pontoon. Cauchy’s task is formulated describing the pontoon’s movement and it’s task is plotted that shows that possible forms of pontoon’s movement in the open pit coal mine sump are periodic and they present heave, sway and pitch. Parameters of tossing are determined and their dependences on some pontoon parameters are found.

Key words: PONTOONS, SPEEDS POTENTIAL, HYDRODINAMIC FORCES, ADDED MASSES OF LIQUID, PONTOON TOSSING

Черданцев Сергей Васильевич e-mail: svch01@yandex.ru Черданцев Николай Васильевич e-mail: cherdantsevnv@icc.kemsc.ru