Построение решения задачи о движении понтонов в зумпфах угольных разрезов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Г еомеханика

3

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.272: 516.02

С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПОНТОНОВ В ЗУМПФАХ УГОЛЬНЫХ РАЗРЕЗОВ

При разработке угольных месторождений открытым способом необходимы зумпфы для стока грунтовых и подземных вод, которые откачивают для предотвращения затопление забоя. Для этого используют плавучие средства в виде понтонов с установленным на них водоотливным оборудованием.

Проблема использования понтонов на угольных разрезах уже обсуждалась в ряде работ. В частности, в [1] расчетная схема понтона, представляющая собой трехсвязную плавающую область, заменена эквивалентной односвязной областью, плавучесть и остойчивость которой выявлена на основе теорем Дюпена.

Более детально плавучесть и остойчивость понтонов исследованы в работе [2], для чего использовались основные теоремы и фундаментальные положения статики корабля [3].

Нами предпринята попытка обсудить задачу о движении понтонов в зумпфах угольных разрезов и выявить формы этого движения.

Особенность данной задачи заключается в том, что действующие на понтон силы заранее неизвестны, а проявляются лишь во взаимодействии понтона с движущейся жидкостью по следующей схеме. Вначале под действием какого-либо внешнего возмущения нарушается равновесие понтона, что в свою очередь нарушает равновесие жидкости в его окрестности и приводит ее в движение. Движущаяся жидкость создает гидродинамические силы и инициирует движение понтона, которое при определенных условиях может быть неустойчивым, в результате чего понтон мо-

жет опрокинуться.

С целью выявления гидродинамических сил, действующих на понтон, рассмотрим задачу о движении жидкости в зумпфах угольных разрезов. Постановка задачи сформулирована в [4], где отмечено, что движение жидкости в зумпфах безвихревое и поэтому скорость жидкости V представлена как

v=V(p, (1)

где (р = (pix.y.z) - потенциал скорости жидко-

сти, удовлетворяющий в любой точке внутри V уравнению Лапласа

Л<р = 0, (2)

условию на поверхности жидкости

д(р д2(р п

g — +----^- = 0 при Z = 0

dz дГ

и условию на границе S области V д(р 1к>

= 0.

(3)

(4)

В формулах (1) - (4) х, у, z - декартовы координаты, жестко связанные с понтоном (рисунок); t - время; g - ускорение свободного падения; и -внутренняя нормаль к S (направлена внутрь объема V); А - оператор Лапласа:

д2 д2 8

2 V V

V - оператор Гамильтона:

Рис. 1. Расчетная схема понтона в зумпфе угольного разреза

4

С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев

V

ат а -

ах dyJ

где i , j , к - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Построение решения задачи (2) - (4) начнем с того, что, воспользовавшись принципом суперпозиции, представим искомую функцию (p{x,y,z) как [5]

<Р = исх<Р\+ис>Фг+иСх<ръ +

+ 0)х(р4 + (Оу(р5 + (Oz(pb ’

где Ucx, Ucy, Ucz ~ компоненты вектора скорости центра масс (точка С) понтона, а 0)х, й)у, (0: -компоненты его угловой скорости относительно осей х, у, z.

Для удобства и каноничности примем следующий порядок записи:

иСх = и1 ’ иСу = и2 > uCz = и3 ’

СОх — U, СО у — Uj , C0Z — lift ,

тогда формула (5) приобретает компактную форму б

<P=Y;Uk<Pk- (6)

к=1

Полагая в (6)

Uj = 1 м/с, и2=и3=и4=и5= и6 = 0,

убеждаемся в том, что функция (pi представляет собой потенциал скоростей возмущенного движения жидкости, вызванного равномерным поступательным движением понтона вдоль оси Ох со скоростью, равной единице. Функции , (рз имеют аналогичный смысл при движении понтона соответственно вдоль осей Оу и Oz.

Положив в (6)

и4 = 1 м/с, U] =и2 =и3 =и5 =и6 = 0,

замечаем, что функция (р4 есть потенциал возмущенного движения жидкости, вызванного равномерным вращением понтона вокруг оси Ох с единичной угловой скоростью.

Функции (р5 и (р6 имеют идентичный смысл, причем первая из них соответствует вращению понтона вокруг оси Оу, а вторая - вокруг оси Oz.

Поскольку потенциал (р является гармонической функцией, то каждая из составляющих функций (рк также гармоническая и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа

Л(рк = 0, к = 1,2,...,6 (7)

в области V. В силу этого обстоятельства вторая формула Грина [6] для любых двух функций (рк и

Щ

J<<PkA(pj - <PjA<pk )dV =J

4>k

8<Pj

dv

-<Pj

8<Pk

du

dS

приобретает вид

(8)

Кроме условий (3) и (4), следует учесть, что на поверхности S\ той части понтона, которая находится под водой, должно выполняться условие обтекания [7]. Для идеальной жидкости оно заключается в том, что нормальная и„ составляющая скорости произвольной точки М, принадлежащей поверхности S}, и нормальная составляющая ско-

рости частицы жидкости v„, совпадающей с точкой М, должны быть равны между собой. Следовательно, условие обтекания выразится как

и

п

(9)

где п - внешняя нормаль к поверхности 5/ понтона в точке М (направлена внутрь области V). В силу (6), условие обтекания (9) перепишем как

д(£ ) 4^ д<Рк

Ъик<Рк =Luk-T- = ul

дп

дп

(10)

\к=1 ) к=1

С другой стороны, скорость произвольной точки М понтона найдем по формуле [8]

иМ =ис+сохгм,

где - радиус-вектор точки М. Учитывая правило векторного умножения векторов [9], полученную формулу перепишем следующим образом:

йм = up + u2j + иък + (u5z - и6у) i -

-н► 9

- («4Z - U6X) J + («4 У- И 5Х) к

откуда

иМх =и1 + и5х~ибУ » uMy=u2+u6x-u4z,

uMz = и3 +и4у-и5х . (11)

Выразив нормальную и„ составляющую скорости через ее координаты

ип = uMxcos(п,х) + uMycos(п,у) + uMz cos(n,z)

и подставляя сюда формулы (11), получим

ип = w, cos(п,х) + и2 cos(п,у) + иъ cos(/?, z) +

+ и4[у cos (п, z)-z cos (п, jp)] +

+ u5[zcos(n,x) - xcos(/?,z)] +

+ u6[xcos(n,y) - ycos(n,x)]

Сопоставляя (10) и (12) и сравнивая в них коэффициенты при ик с одинаковыми индексами к, имеем следующие соотношения:

^^- = cos(n,x), - cos(n,y), дп дп

^^- = cos(n,z), (13)

дп

= ycos(n,z)~ zcos(п,у), дп

Г еомеханика

5

д<Р5

дп

д<Рб

дп

zcos( n,x) — xcos( n,z),

■ xcos( n,y )- ycos( n,x),

(14)

вполне определяющие функции (pk, которые, как видно из (13) и (14), не зависят от скорости движения понтона и зависят лишь от его формы.

Формулы (13) и (14) дадут возможность оценить влияние на движущийся понтон идеальной жидкости, которая не оказывает сопротивления движению понтона, но создает на него гидродинамические силы [7]. Для их определения рассмотрим движение подводной части понтона Vh поверхностью которой является S}. Очевидно, что объем, заключенный между поверхностями S и Sh

AV = V — Vj,

а вектор количества движения жидкости в объеме AVнайдем по формуле

<2= \pvdv,

AV

где р — плотность жидкости в зумпфе; dV - бесконечно малый элемент области AV. В силу формулы (1) и свойства кратных интегралов [10], приведем полученную формулу к выражению

Q= \v(p<p)dv =

AV , (15)

= р jvpdv = pfv<pdv-pfv<pdv

v-vK V vt

где с помощью формулы Остроградского - Гаусса [10] перейдем от интегралов по областям V и V/ к интегралам по поверхностям S и S/, ограничивающим эти области. В результате формула (15) приобретает вид

Q = pj<p- vdS -р j<p- ndS ■

S Sj

Производная от вектора Q

— = p-\(p-vdS - p— \(p-ndS (16) dt dt{ dt i

S Sj

равна векторной сумме массовых и поверхностных сил:

^ = G + (17)

dt

где G - главный вектор массовых сил; $Я - главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости в объеме AVсо стороны поверхности S;

Fj - главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости в том же объеме AVсо стороны понтона через поверхность S{ • Поскольку направление этого вектора противоположно нормали и, в равенстве (17) он взят со знаком минус.

Вектор G, очевидно, равен весу жидкости в объеме AV:

G = —pgAVk = -pg(V -Vj)k = -pgVk + pgVjk

(18)

Вектор Ж представляет собой реакцию на си-

лы давления жидкости Fj, действующие на поверхность S. Полагая скорость жидкости малой величиной, силы давления найдем из интеграла Лагранжа - Коши [7]

д(р р- ро _

dt s р

откуда

д(р

Р = Р0~Р~-----

dt

и, следовательно,

F = JpudS = J poddS - pj—udS ~pgjzudS

s s sdt s

(19)

где р0и p - давление жидкости на стенки зумпфа в начальный и текущий моменты времени t .

Так как р0 = const, а поверхность S' замкнута, то [9, 10]

|р0 • vdS = pg^vdS = 0• (20)

5 S

Второй интеграл в (19) приводим к виду

р[—vdS =р— \(pvdS, (21)

ldt dt{

а последний интеграл в (19) преобразуем по формуле Остроградского - Г аусса:

yOgj zudS = pgjVzdV = pgjkdV = pgV • k -(22) S V V

В силу (20) - (22), формула (19) приобретает

вид

d

F = -р —^(pvdS-pgV • k

и, поскольку = —F,

= p — ^(pvdS + pgV • k •

(23)

Подставляя (16), (18) и (23) в (17), получим

-~PgVk + pgVxk + p—j(pvdS + pgVk - F{

dt•

откуда

Fj =PgVik+PYt \<PndS

St

(24)

Первый член в (24) является архимедовой силой плавучести и так как она уравновешивается весом понтона, то в дальнейшем ее учитывать не будем. Второй член в (24) обусловлен движением жидкости, поскольку содержит потенциал скоро-

6

С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев

стей (p(x,y,z).

Главный вектор момента количества движения жидкости найдем по формуле

Кс = \(rM xpv)dV,

Vl

которую с помощью формулы Остроградского -Гаусса приведем к виду

Кс = p\<p(rM xn)dS,

Si

и воспользуемся теоремой об изменении главного момента количества движения системы

d_ dt

mc=p—^(p(rMxn)dS, fSj

(25)

где Ш(у - главный момент внешних сил относительно точки С.

В силу третьего закона Ньютона, со стороны жидкости на понтон будут действовать главный

вектор Fj и главный момент т'(у противоположного направления (противоположно нормали и):

d

Fj =-уО— j(pndS,

Sj

m'c=-P-T \<P(rM*n)dS.

dt i

Sl

Учтем, что [9]

n = cos(n,x)i +cos(n,y)j + cos(n,z)k , rMxn=[y cos (n, z)-z cos (n, y)\ i +

+ [zcos(n,x)-xcos(n,z)]j +

+ [ xcos( n,y)-ycos( n,x)] k

и подставим сюда формулы (13) и (14):

- d(pi т д(р2 - д(р2 г

п = -—-1 + -Г+-J +—^к ,

(26)

дп

дп

дп

д(р4 т д(р5 - д(р6 г г и хп = -^-1 + —^~ 1 + -^-к ■

IV1 J ~

дп дп дп

(27)

Формулы (6) и (27) позволяют получить главный вектор в следующем виде:

Fi—p*. f YukJ^LJ + ^] + ^lk)dS.

dt sjk^l v дп дп дп J

.pYuk\J^JpJ!Lj + dVlk)dS,

t, I, У 8n 8" J

координатами которого являются выражения

Кх = -р'Ейк j П^-dS,

к=1

6

Sl

Ку=~Р^йк J <Рк к=1 Sj

дп

д<Р2

дп

dS>

(28)

Rz=-pJ^uk | <pk^-dS,

k=l S,

где точками обозначены производные по времени. Аналогично находим главный момент б

^ = -р£;*/ Ч^Г+1?;+&г*)

Sj

dS

составляющие которого суть

■ = -рЪк\п^,

m,

k=J Sj 6

тл

= ~Р^йк\ Vk-^-dS' (29)

s, дп

6

ffl,

•Z=-Pl"t j П-^-dS.

к=1 Sj П

Силы (28) и моменты (29) имеют гидродинамическую природу, поскольку содержат функции (рк, и, следовательно, являются результатом воздействия движущейся жидкости на плавающий понтон. Объединяя формулы (28) и (29), получим выражение для гидродинамических сил в компонентной

б

Rk=-^Mjk-uk, j = l,2,...6, (30)

к=1

или в матричной форме

R = —М • U , (31)

где М и U - матрица и вектор-столбец соответственно:

М =

М„ М12 м,3 М,4 М,5 М,6Л

м2, м22 М 23 м24 М25 М26

м3, М 32 м33 м34 м35 М36

М41 М42 М43 м44 м45 м46

м5, М 52 М5з М54 М55 М56

Щ1 М62 М63 м64 М65 М66 2

и =

(32)

й2 й3 й4 й5

\й6у

причем элементы матрицы, как следует из (28) и (29), определяются по формуле

5(0/

Mjk = р\п Si

дп

'-dS-

(33)

и обладают, в силу (8), свойством симметрии.

Г еомеханика

7

Величины Mjk имеют четкий физический смысл в зависимости от значений j и к. Чтобы выяснить это, найдем некоторые из величин Mjk. Так,

М33 - р \ (рз —^~dS- р^(рз cos(n,z)dS =

Si

Si

= p\^-dV = p\^-^-dV = p\dV = pv,( 34)

V] & V] 5n 82 V,

представляет собой массу жидкости в объеме Vh Выполняя подобные рассуждения для Мп, М]2,... М2з, убеждаемся в том, что они имеют аналогичный физический смысл.

Отыскав величину

Mu = p\<p^dS =

- p^(p3[y^os(n,z)~ zcos(n,y)\dS =

= р

= р

\у1

\y^dm~\z

д<р,

■dm

К, ду

j у cos(n,z)dm- J zcos(n, у) dm

(35)

Vi

видим, что каждое ее слагаемое является статическим моментом массы. Но поскольку рассматриваемый понтон симметричен относительно плоскостей xOz и yOz, все его статические моменты равны нулю [11]. Можно утверждать, что для рассматриваемого понтона равны нулю и все Mjk при j = 1, 2, 3, к = 4, 5, 6 или j = 4, 5, 6, к = 1,2, 3.

Найдя

М

44 = р | q>4 ^d-dS = jy2 cos(n,z)dm -

Sj Vj

- j yz cos (n, y)dm - J zy cos (n, z)dm +

+ J z2 соs(n,y)dm

v;

(36)

замечаем, что она состоит из моментов инерции и центробежных моментов массы. Ввиду симметричности рассматриваемого понтона относительно плоскостей xOz и yOz, его центробежные моменты равны нулю [11], поэтому в (36) остаются только моменты инерции. Следовательно, М44 -сумма двух моментов инерции массы. То же самое можно сказать и о величинах Mjk, если у, к = 4,5, 6.

Из рисунка видно, что угол между нормалью п и осью х является прямым, поэтому cos(n,x) = 0, в силу чего соотношения (13) и (14) упрощаются:

8-ZL = 0,

дп

^2- = cos(n,y), дп

д(р3 , .

—— = cost n,z), дп

_ yCOS(n,z) — zcos(n,y), dn

= -xcos(n,z), - xcos(n>y). (37)

дп dn

Подставляя первую из формул (37) в формулу (33), убеждаемся в том, что все элементы Mik = Mki матрицы (32) обращаются в нуль.

Анализ полученных величин Mjk показывает, что матрица (32) упрощается к виду:

'0 0 0 0 0 0 >

0 м22 0 0 0 0

0 0 м33 0 0 0 .(38)

0 0 0 М44 0 0

0 0 0 0 м55 0

,0 0 0 0 0 м66)

Тогда из (31) с учетом (38) вытекает, что составляющие гидродинамической нагрузки

R2 = — М22 ' й2 ’ ^3 = зз ‘йз,

R4 = —М44 • U4 , R3 = —М 55 • й3,

R6 = -М66 • йб .

Далее учитываем, что вдоль поверхности жидкости понтон не перемещается и не рыскает (т. е. не вращается относительно оси z), поэтому й2 = 0, йб = 0. Но тогда R2 и R6 будут также равны нулю и, следовательно, на понтон будут действовать только силы R3, R4, R5, которым соответствуют величины М33, М44, М55.

Согласно изложенному, в равенстве (31) для определения матрицы и вектора-столбца можно использовать формулы

'м33 0 0 > 'йз'

м = 0 М44 0 , и = й4

0 м55) Л,

взамен формул (32).

Переходя к обозначениям, принятым в [12]:

U3 —> £, 114 —» в , U3 —> у/ ,

перепишем формулы для определения гидродинамических сил в виде

R3=-M33-£, R4=-M44-0,

R5 = —М55- у/ , (39)

где £ - вертикальное перемещение центра масс понтона; в - угол поворота (крен) относительно продольной оси Ох; у/ - угол поворота (дифферент) относительно оси Оу, а точками, по-прежнему, обозначены производные по времени.

Кроме гидродинамических сил, на понтон действует архимедова сила [3]

N = -pgS0C, (40)

противоположная вертикальному перемещению понтона £ относительно положения его равновесия, и два восстанавливающих момента [3]

м(вх> =-P-h„-e, м(ву> = -Р-Н0-у/,( 41)

противоположных крену и дифференту. В форму-

С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев

лах (40) и (41) S0, h0, Н0 - площадь ватерлинии понтона и его поперечная и продольная метацен-трические высоты соответственно, вычисленные в [2]; Р - вес понтона и находящегося на нем водоотливного оборудования.

Поскольку действующие на понтон силы являются результирующими гидродинамических и восстанавливающих сил, добавляя к формулам (39) формулы (40) и (41), получим

Rz = R3+N = -M33C-pgS0£,

тх = R4 + М(вх) = -М44в - Ph06,

mv = R5 + М(ву) = -М55у/ - РН()у/ •

В силу полученных формул, уравнения движения понтона [13]

т£ = Rz, Jх6 - тх, J уу) = ту

представляются в виде

(т + М33)£ +pgS()£ = 0,

(Jx+M44)e + Ph0e = 0, (42)

(J у + М55)у/ + PH 0у/ = 0,

где 1Х, 1у - моменты инерции массы понтона относительно осей, параллельных осям Ох и Оу; т -масса понтона и находящегося на нем водоотливного оборудования.

Уравнения (42) показывают, что воздействие на понтон гидродинамических сил проявляется в увеличении инерционных характеристик понтона (массы и моментов инерции) на величины М33, М44, М55, М33, называемые присоединенными

массами жидкости. Соответственно этому матри-

цы в формулах (32), (38) - матрицы присоединенных масс жидкости.

Дальнейший анализ уравнений (42) выявляет колебательный характер [10] движения понтона, которое в терминах теории корабля [12] будем называть качкой понтона. В частности, первое уравнение (42) описывает вертикальную качку, второе и третье - боковую и килевую качки. Поскольку уравнения (42) изолированные, все три вида качки независимы друг от друга.

ВЫВОДЫ

1. Показано, что движущийся понтон испытывает воздействие сил двух типов. К первому относятся гидродинамические силы, результатом которых являются присоединенные массы жидкости. Второй тип определяется условиями статической остойчивости понтона.

2. Установлено, что вследствие конструктивных особенностей понтона и условий его движения в зумпфах угольных разрезов, квадратная матрица 6><6, сформированная из присоединенных масс жидкости, сводится к диагональной матрице размером 3x3.

3. Диагональная структура матрицы присоединенных масс жидкости существенно упрощает задачу о движении понтона, сводя ее к решению системы трех изолированных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, анализ которых показывает, что понтон в зумпфе угольного разреза совершает периодические движения, представляющие собой вертикальную, боковую и килевую качки, происходящие независимо друг от друга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кучер, Н. А. Условия безопасного применения плавучих водоотливных установок / С. В. Черданцев, С. И. Протасов, С.Н. Подображин, В.В. Билибин // Безопасность труда в промышленности. - 2003, № 1. С. 12-14.

2. Черданцев, С. В. Теоретические основы расчета понтонов, используемых на угольных разрезах // ФТПРПИ. -2013. -№ 1.-С. 61 -69.

3. Статика корабля / Р.В. Борисов, В.В. Луговский, Б.М. Мирохин, В.В. Рождественский - СПб.: Судостроение, 2005. - 240 с.

4. Черданцев, С. В. Постановка задачи о гравитационных волнах жидкости в зумпфах угольных разрезов // Вестник КузГТУ. - 2012. - № 6. - С. 10 - 12.

5. Кирхгоф, Г. Механика. Лекции по математической физике. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. -404 с.

6. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

7. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, И.В. Розе - М.: Физматгиз, 1963.-584 с.

8. Некрасов, А. И. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика. - М.: Гостехиздат, 1953. - 504 с.

9. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965. -427 с.

10. Смирнов, В. И. Курс высшей математики, т. 2. - М.: Наука, 1974. - 656 с.

11. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1965. - 856 с.

12. Ремез, Ю. В. Качка корабля. - Л. : Судостроение, 1983. - 328 с.

13. Черданцев, С. В. Уравнения движения понтонов в зумпфах угольных разрезов // Вестник КузГТУ. -2013.-№ 1.-С.7- 10.

Авторы статьи

Черданцев Сергей Васильевич, доктор техн. наук, проф. каф. математики КузГТУ E-mail: svchO 1 @yandex.ru

Черданцев Николай Васильевич , докт. техн. наук, зав. лаб. геомеханики угольных месторождений Института угля СО РАН. E-mail: cherdantsevnv@icc.kemsc.ru