CC BY
103
УДК 621.396.677.494
УРАВНЕНИЕ ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, П.В. ФИЛОНОВ
В работе предлагается подход к расчету сочленения двух волноводов различной ширины непрерывным рупорным переходом, основанный на методе инвариантного погружения. Приводятся основные положения идеологии метода погружения и описан способ получения уравнения погружения для обобщенной матрицы рассеяния рупорного перехода. Обсуждаются свойства полученных уравнений и их общность. Для расчета элементарного слоя в рупорном переходе используется метод поперечных сечений при учете малой высоты слоя, что позволяет получить аналитический вид решения.
Ключевые слова: нерегулярный волновод, метод погружения, метод поперечных сечений, рупорный переход, рупорные антенные решетки.
Введение
Нерегулярные волноводы имеют непосредственное применение в радиолокации, в частности, как составной элемент антенных решеток. Большое количество работ [1-6] посвящено изучению волноводов с рупорным переходом, использующихся в рупорных антенных решетках (РАР). Благодаря более естественному согласованию полей РАР находят широкое применение в фазированных антенных решетках [1] и различных системах спутниковой связи [2].
Основной трудностью расчета РАР является определение характеристик рупорного перехода. В литературе представлен ряд методов расчета систем с подобной геометрией. Так в работе [4] рассматривается подход, основанный на модели ступенчатого рупора с применением метода проекционного сшивания полей и метода обобщенной матрицы рассеяния. В работах [5, 6] рассмотрено использование метода поперечных сечений, чья идеология изложена в [7].
В данной работе предлагается рассмотреть применение метода инвариантного погружения [8-10], хорошо зарекомендовавшего себя в задаче о дифракции на неоднородных поверхностях. Отличием от предыдущих работ по методу погружения (где использовались моды Флоке) является разложение полей по собственному базису волноводных мод, что, как будет показано в дальнейшем, позволяет продвинуться в аналитических результатах.
1. Уравнение погружения для обобщенной матрицы рассеяния
В силу того, что метод инвариантного погружения не относится к числу стандартных методов, используемых в теории волноводов, остановимся несколько подробнее на его сути.
Исследование электродинамических процессов сводится обычно к краевым задачам, при численном решении которых используются различные методы. В этом отношении представляет интерес метод погружения, цель которого заключается в изначальной формулировке задачи в виде матричных дифференциальных уравнений и начальных условий, т.е. в постановке задачи Коши. Основная идея метода погружения состоит в следующем. В анализируемой задаче выделяется некоторый параметр, называемый параметром погружения, и рассматривается множество (пространство) всех решений задачи, при всевозможных значениях этого параметра. Если какие-либо два значения параметра близки, то мы вправе ожидать и близость (малые отличия) соответствующих решений. Это означает, что возможно построение уравнений эволюции решений исследуемой задачи при изменении значения параметра, играющего роль времени. Такие уравнения принято называть уравнениями погружения. Если при каком-либо значении параметра
решение известно, или может быть легко получено, то, решая уравнения погружения как задачу Коши, можно определить решения задачи при всех других значениях, в частности, при значении, соответствующем исходной постановке задачи.
г
В рассматриваемой в этой работе задаче об излучении бесконечной рупорной антенной решетки центральное место занимает описание распространения поля в рупорном переходе. Проиллюстрируем на этом примере сказанное выше относительно метода погружения. Рассмотрим два плоских волновода с различными сечениями, согласованных между собой переходным слоем, как указано на рис. 1. Высоту этого переходного слоя к выберем в качестве параметра погружения. Представим себе теперь множество систем, характеризуемых обобщенными матрицами рассеяния, со всеми возможными значениями к. Вывод матричного уравнения погружения для нашей задачи сводится, таким образом, к получению конечно-разностного уравнения для вида
5(к + Дк) = 5(к) + Ф [5(к)] ■ Дк + о(Дк). (1)
Здесь основная проблема будет заключаться в оценке роли элементарного слоя высоты Дк, отображаемой членом Ф [5(к)]. Отметим, что, как следует из (1), влияние добавленного элементарного слоя достаточно учитывать с точностью до малых величин порядка Дк, что существенно упрощает задачу и позволяет получить новые аналитические результаты. Важно, что при к = 0 матрица полностью определена, поскольку Т(0) — единичная матрица, а Я(0) — нулевая.
2. Вывод уравнения погружения
Для вывода уравнений погружения удобно представить учет вклада наращенного слоя как взаимодействие двух неоднородностей, разделенных виртуальным зазором, который в рупорном переходе представляется как участок однородного волновода. Разделение неоднородностей с данного приема позволяет разделить поля в зазоре на идущие вверх (обозначены индексом +) и вниз (обозначены индексом —), рис. 2.
Основа вывода уравнений погружения для коэффициентов отражения (Д± (к)) и прохождения (Т±(к)) заключается в том, чтобы записав связь полей через искомые коэффициенты и, исключив из уравнений неизвестные поля, установить как изменяются Я±(к) и Т± (к) при добавлении малого слоя высоты Дк. Далее с помощью предельного перехода Дк ^ 0 будем стремиться получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую эволюцию элементов матрицы рассеяния Б (к) при увеличении высоты рупорного перехода к.
Вначале получим искомые соотношения для коэффициентов К+. Для этого запишем связь
к + Д
Е +(к + Дк) Е-(к + Дк)
г±(к; Дк), ¿±(к; Дк)
к
Е +(к)
Е - (к)
Рис. 2. Взаимодействие двух неоднородностей
полей вблизи элементарного слоя.
Е +(к + Дк) = Я+(к + Дк)Е- (к + Дк), Е(к + Дк) = ¿+(к; Дк)Е+(к) + г+(к; Дк)Е-(к + Дк), Е-(к) = Г(к; Дк)Е-(к + Дк) + г-(к; Дк)Е + (к), Е+(к) = Я+ (к)Е- (к).
Далее исключим из системы (2) -(5) неизвестные поля.
Подставив (4) в (5), получим
Е +(к) = Я+(к)Г(к; Дк)Е-(к + Дк) + Я+(к)г-(к; Дк)Е +(к),
разрешая (6) относительно Е +(к), находим
Е +(к) = [I — К+ (к)г- (к;Дк)]-1 Я+ (к)Г (к;Дк)Е- (к + Дк),
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
здесь I — единичная матрица, а матрица I — Я+(к)г (к; Дк) предполагается обратимой [11]. Подставляя выражение (7) в (3) и комбинируя члены при Е-(к + Дк), можно записать
Е +(к + Дк) = (¿+(к;Дк) [1 — Д+(к)г-(к;Дк)]-1 Я+(к)Г (к;Дк) + г+ (к;Дк)) Е-(к + Дк).
(8)
Сравнивая (2) и (8) и учитывая произвольность Е (к + Дк), получаем выражение
К+ (к + Дк) = г+(к; Дк) + г+ (к; Дк) [/ — К+ (к)г-(к; Дк)] 1 К+ (к)Г(к; Дк).
(9)
Соотношение (9) представляет собой конечно разностное уравнение, которое описывает изменение матричного коэффициента К+ при добавлении элементарного слоя высоты Дк.
Для вывода аналогичных соотношений, описывающих эволюцию других компонент матрицы рассеяния, воспользуемся более простым методом. На примере Т+ запишем последовательно воздействие операторов на поле Е + (0)
Т+ (к + Дк) = Ь+ (к; Дк) I + К+ (к)г-(к) + (Д+ (к)г- (к)) + ... Т+ (к).
(10)
г
Ряд в (10) описывает многократное переотражение в виртуальном зазоре между участком нерегулярного волновода высоты к и элементарным слоем. В силу сходимости данного ряда [11], его можно представить в виде
I + Д+(к)г-(к) + (Д+ (к)г-(к)) + ••• = [/ - Я+(к)г-(к)] (11)
и переписать (10) в новых обозначениях
Т+ (к + Дк) = І+ (к; Дк) [1 - Д+(к)г-(к;Дк)]-1 Т+ (к). (12)
Запишем конечно-разностные соотношения для Т- и Д+, представляя их, аналогично (10), как последовательное воздействие на поле соответствующих операторов и, используя (11) для учета многократного переотражения в зазоре между неоднородностями
Т-(к + Дк) = Т-(к) [I - Д+ (к)г-(к; Дк)] Г (к;Дк); (13)
Д-(к + Дк) = Д-(к)+ Т-(к) [1 - Д+(к)г-(к;Дк)]-1 г-(к; Дк)Т +(к). (14)
Система (9)-(14) описывает изменение компонент матрицы рассеяния при добавлении элементарного слоя. Реальная геометрия рупорного перехода и тип возбуждения описываются только значениями коэффициентов г±(к; Дк) и (к; Дк), а сам вид уравнений остается неизменным. Данное свойство позволяет описывать неоднородные волноводы достаточно сложного профиля. В случае, когда профиль волновода меняется непрерывно, систему уравнений (9)-(14) можно записать в дифференциальной форме, получив, таким образом, уравнения погружения для компонент матрицы рассеяния.
Непрерывность профиля рупорного перехода позволяет представить коэффициенты отражения и прохождения элементарного слоя в виде
г±(к;Дк) = р±(к) ■ Дк + о(Дк); (15)
¿±(к; Дк) = I + т±(к) ■ Дк + о(Дк). (16)
Важным свойством, вытекающим из (15), является отсутствие отражения при Дк = 0, что не верно в случае, когда профиль рупора меняется скачкообразно. Данное свойство позволяет оставить в выражении для многократного рассеяния (11) только величины, пропорциональные
Дк -
[/ — Я+(к)г-(к)]-1 = I + Я+(к)р-(к) ■ Дк + о(Дк). (17)
Данное представление соответствует приближению однократного рассеяния на элементарном слое малой толщины Дк.
Для получения системы дифференциальных уравнений подставим выражения (15), (16) для г± (к; Дк) и (к; Дк) и выражения для обратной матрицы (17) в (9)-(14) и учтем только члены порядка Дк. Далее перейдем к пределу при Дк ^ 0
Ш ^ -= р+ + т+К+ + Д+т~ + К+р~К+;
¿к
¿Т +(к)
¿к ¿Д-(к)
¿к
¿к
= т+Т+ + Д+р-Т +; Т-р-Т +;
Т-т - + Т - р-Д+
Приведенную выше систему уравнений можно записать в компактной форме
^5 (к)
¿к
Х+ + Б (к)£- + £+5 (к) + БХ-Б,
(18)
здесь £
±
т
±
0 0
0\ ±
,Х±
р± 0 00
3. Характеристики элементарного слоя
перехода
и
задают
Коэффициенты матрицы рассеяния элементарного (высоты порядка Дк) слоя являются определяющими характеристиками эволюции коэффициентов отражения и прохождения рупорного
конкретный вид уравнений погружения.
Как будет показано ниже, условие малости Дк позволяет получить аналитический вид для коэффициентов матрицы рассеяния элементарного слоя. Рассмотрим, как искомые характеристики могут быть получены на основании метода поперечных сечений. Геометрия задачи представлена на рис 3. Согласно идеологии метода сечений [7] поле внутри элементарного слоя в произвольном сечении можно представить в виде разложения по собственным модам волновода заданной ширины
Е(к)(ж,г) = ^ Спк(г)фп(ж; а(г)), (19)
п= 1
здесь
фп(х; а(г))
2 / пп пп .
вт I ~^~гх + — ) , а (г) — ширина сечения волновода.
а(г) \а(г) 2
Тогда поля в верхнем и нижнем волноводах задаются следующими выражениями:
ГО
Е(к) = £¿„кф„(х; а(Дк))егКп(^;
П=1
ЕГк) = фк(х; а(к))егКк(^ + ^ Гпкфп(х; а(0))е-ІКп(^.
(20)
(21)
п=1
В силу малости высоты слоя Дк мы можем представить коэффициенты в разложении (19) в виде степенного ряда в окрестности точки г = к
С„к(г, Дк)=£ 6“ (Дк)(; - к)р
р=0
(22)
Используя представления (19) и (22) запишем условия непрерывности поля и его производной на верхней (г = к + Дк) и нижней (г = к) границах, используя при этом следующее представление для коэффициентов отражения и прохождения
оо
оо
о
Грк = ррк Дк + о(Дк);
tpk ^pk + TpkAh + °(Ah).
На нижней границе получаем
bpk ^pk + ppk Ah) bPfc + bn°fc (^ фП) = iKk [¿pk - Ppka^] .
Аналогично на верхней имеем
С + $ Дк = [¿рк + ТркДк] е“рД,‘;
£(Фр, ФП) [С + ьрк1 Дк + ЬРк1 + 2Ьрк} Дк = ¿Кр [¿рк + Трк Дк] е“р “
П
Для определения коэффициентов б,2* используем то условие, что поле внутри элементарного слоя удовлетворяет уравнению Гельмгольца
ДЕ(к) + к0Е(к) = 0,
что после подстановки в него выражения для поля (19) с учетом (22) позволяет записать следующее соотношение
2ЬР22* +2 ^ (фр, фП) + крьРа* + ^(фр, фп )ьР0) =0-
п п
Разрешая полученную систему уравнений относительно р и т, находим:
Ррк = ~2^Рк + 2 “ Х) (фР> Ф^ (23)
Трк — ¿Кр¿рк + ррк + (фp, фк)- (24)
Полученное аналитическое решение для коэффициентов элементарного слоя может быть легко использовано совместно с (18) для расчета матрицы рассеяния нерегулярного волновода с непрерывной функцией профиля.
Заключение
В работе развивается подход к описанию нерегулярных волноводов, основанный на методе погружения. Он может быть использован для расчета нерегулярных волноводов с различной геометрией и типом возбуждаемого поля. Уравнение погружения для обобщенной матрицы рассеяния остается неизменным, а вся информация о геометрии задачи заключена в коэффициентах, характеризующих элементарный слой. Определение характеристик элементарного слоя представляет собой задачу с малым параметром, что, как было показано выше на примере метода сечений, позволяет получить аналитическое решение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mailloux R.J. Phased Array Antenna Handbook. Norwodd: Artech House, 1994.
2. Amitay N., Gans M.J. Design of Rectangular Horn Arrays with Oversized Aperture"IEE Transaction on Antennas and Propagation, 1981, vol. AP-29, no. 6, pp. 871-884.
3. Марков Г.Т., Бодров В.В., Зайцев А.В. Алгоритм и численные результаты расчета периодической структуры из излучателей в виде ступенчатых рупоров при различных способах возбуждения: Сборник научнометодических статей по прикладной электродинамике. — М.: Высшая школа, 1980. — Вып. 4. — С. 132-163.
4. Скобелев С.П., Килдал П.-С. Характеристики решеток прямоугольных ступенчатых рупоров со стенками, нагруженными диэлектриком в одной плоскости // Радиотехника и электроника, 2000. — №9. — Т.45. — С. 1071-1077.
5. Александров Н.Л., Винниченко Ю.П., Леманский А.А., Туманская А.Е. Характеристики излучения решетки рупоров // Радиотехника и электроника, 1988. — №2. — Т. 33. — С. 412-414.
6. Александров Н.Л., Винниченко Ю.П., Туманская А.Е. Резонансные явления в волноводно-рупорных элементах фазированных антенных решеток // Радиотехника и электроника, 1990. — №9. — Т. 35. — С. 1829-1833.
7. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М.: Из-во АН СССР, 1961.
8. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization.// Progress in Electromagnetic Research: PIRS, VOL. 24, 1999, P.P. 39 - 75.
9. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода погружения в теории рупорных антенных решеток // Антенны, 2001. — №2. — С. 7-13.
10. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны, 2004. — №8-9. — С. 42-47.
11. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. — М.:Мир, 1974.
EMBEDDING EQUATION FOR SCATTERING MATRIX FOR IRREGULAR WAVEGUIDE
Kouznetsov V.L., Filonov P.V.
A new method for compute of irregular waveguides based on embedding method are proposed. The main positions of embedding method and embedding equations are written down. Properties of embedding equation are considered. For computing coefficients of elementary layer written down in analytical form using the method of sections.
Key words: irregular waveguide, embedding method, cross section method, horn layer, horn area antennas.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных, случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант МГТУ ГА, автор 8 работ, область научных интересов - моделирование электродинамических систем и процессов.
