CC BY
28
УДК 621.396.677.494
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О НЕРЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ: СЛУЧАЙ Е - ПОЛЯРИЗАЦИИ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, П.В. ФИЛОНОВ
Развивается подход к задачам распространения волн в нерегулярных волноводах на основе метода инвариантного погружения. Рассмотрена задача определения характеристик элементарного участка неоднородного волновода на основе метода интегрального уравнения (МИУ). Показана аналитическая эквивалентность решений задачи на основе МИУ результатам методов сечений и проекционного сшивания.
Ключевые слова: метод погружения, нерегулярный волновод, элементарный слой, малый параметр, метод интегрального уравнения.
Введение
В работах [1,2] на примере анализа рупорного перехода было показано, что задача расчета характеристик нерегулярного волновода с непрерывно изменяющимся профилем может быть сведена к решению матричного уравнения Риккати для обобщенной матрицы рассеяния £
ёк
С++ £ №~+Г £ (к) + X £, £
я+ г
кт+ я~
(1)
ч0
здесь X = , X = . Матричные коэффициенты р и т определяются кон-
кретной геометрией рупорного перехода.
Существенно, что сам вид уравнения (1) инвариантен относительно изменений геометрии волновода и типа поля, а вся информация о вариациях заключена в коэффициентах р± и т±, определяющих характеристики отражения г и прохождения I для нерегулярного участка волновода малой высоты АИ (элементарного слоя): I = I + т-Ак, т = р ■ АИ, где I - единичная матрица.
Для получения представления коэффициентов из (1) возможно применение любых классических методов. При этом наличие малого параметра - высоты слоя АИ позволяет значительно упростить решение и получить аналитические представления для коэффициентов р и т [1, 2].
При таком подходе задача о взаимодействии поля с нерегулярным волноводом сводится к определению характеристик элементарного слоя и применению к полученному соотношению некоторого правила «суммирования», записываемого в виде уравнения Риккати (1).
Рассматриваемая в этой работе задача о расчете характеристик элементарного слоя методом интегрального уравнения для случая Е - поляризации поля может рассматриваться как тестовая по отношению к ассимптотическим разложениям метода. Совпадение её результатов с результатами, полученными в [1,2], следует интерпретировать как дополнительное подтверждение справедливости используемых разложений, оставаясь на «физическом» уровне строгости. Идеологию приводимого решения и используемые асимптотики предполагается далее применить к случаю Н - поляризации поля, для которого метод сечений [1] не применим, а метод проекционного сливания [2] оставляет открытым вопрос о направлении электрического поля на границе волновода. В работе исследуется двухмерный рупорный переход в виде клина малой высоты АИ. Поле внутри клина предоставляется с помощью стандартного интегрального уравнения [3].
1. Метод интегрального уравнения для модели клина
Представим поля в верхнем и нижнем волноводах в виде разложения по собственным модам
и (х, г) =
% (х)е1ккг + Ігпкфапв^ г < 0
п=1
І <пкФУ‘- '■ -м)
(2)
г > Ак
п=1
здесь (х) = + ~2^‘ = ^0 - (рУх) , где ^0 - волновое число. Поле внутри не-
однородной части волновода можно представить в виде интегрального уравнения [3]
1 г(
и (М)=—|
1р у
где О - функция Грина для уравнения Гельмгольца на плоскости,
( ~\и ЭО ^
О(МР) - и(Р)
Эи
ЭпЕ
ё£Р, М є Б,
(3)
2 2 о - Я .
/-г/ / /\ * Г 1 ш|х-х1+гу|г-г'\ /
О(х-х, 2-г ) = — I— е 1 1 1 ад,
2 -¥ у
Представим интеграл из (3) в виде суммы интегралов по отдельным границам клина и рассмотрим его вблизи нижней границы при г = +0. В этом случае для функции Грина на нижней и верхней границе можно записать следующие представления
= ж8{х - х ), здесь 3(х - х ) - дельта функция, (4)
г=+0, г'=0
Эг
ЭО
Эг'
гд|х-х х | +1уАк
ад. (5)
2=+0, 2'=АИ
После подстановки (4), (5) в (3) получаем выражения для поля вблизи нижней границы клина
■( ^ 1 Г2 Эи^„ 1Г„ 1 %2 (Эи _ ТТЭОV,, 1 Г Эи
(х- +0)=-2Р і!'=о + 2и(х-0)+2РІ Ь/с-иЭ7Г I'-+2Р,^
- а/2
В силу непрерывности поле в точке г = +0 должно совпадать со значением поля на нижней границе
и (х,+0) = и (х,0)
Далее подставляя выражения для полей из (2) в (6) и проецируя полученное уравнение на систему функций ф1 (х), получаем следующую систему уравнений
с- 1
°рк + грк = — р
к; Арк - і кулА,
+ -І к:іпкВ,п--І І,кС„ +10 к.
р п р п р
(7)
Коэффициенты в (7) заданы следующими выражениями:
Арп = Цф (х)фа (х')О(х - х',0)ёх', ^ Врп = Ц ф (х)Ф (х)О( х - х , Ак)ёх',
Срп = ЦФ (х)фЬп (х') I г =+0У=Ак ёх ,
0рк=фа (х)
Эг' Л Эп
ёх.
Используя свойство малости АИ , представим величины в следующем виде
п
2 1 *“4
фь =ф;
Гпк = Рпк ^ (8)
1пк =$пк +*пк ^ (9)
+ Э^ёа(г) Ак ф +фп Ак. (10)
Эа аг
Для коэффициентов Врп и Срп имеют место разложения
Врп = Арп + Цфр (х)ф (х')°(х - х',0)ёх'ёх Ак -р8рп Ак
х - х ,0 ах ах ■ Ак - рорп ■
:Арп + ВрпАк -р$рпАk,
Срп = -рдрп + Ц фр (х)фп (х) Э ^ х , г ) I г=0 ёхёх ■Ак -р1фрфпах ■Ак
-рЯрп - РІ АркРпк Ак + Мрп Аk,
(11)
(12)
здесь Ьпк = \фпфках.
После подстановки (8)-(12) в (7) при учете только членов пропорциональных Ак получаем первую систему уравнений, связывающую неизвестные коэффициенты рпк и тпк,
Ррк =~ Орк + — ^ [кп (Рпк +тпк) + К$пк + ккРпк К - *кк$рк +трк + Ррк-Мрк. (13)
Р Р п Р
Аналогично рассматривая (3) вблизи верхней границы при г = Ак - 0, можно записать вторую систему уравнений
Трк = ~ Орк + ~ ^ [кп (рпк + Тпк )+ К$пк + кк Рпк ]Арп - *кк$рк + ррк + Ркр-М рк . (14)
Р Р п Р
Вычитая из (13) уравнение (14), получаем
^ рк = *кк&рк + ррк - Ррк . (15)
Далее, подставляя (15) в (13) и комбинируя соответствующие члены, приходим к следующей системе уравнений
[2кпРпк + К$пк + (кк - кп )рпк ]Арп =кк2 Арк + Мрк - Орк . (16)
п
Можно показать, что правая часть (16) обращается в ноль, что, в силу невырожденности Арп, позволяет получить выражение для ррк
к 1 ( к Л Рк =-^г- Ярк + - 1 - Т^Ррк. (17)
2кк рк 2
V кп у
Выражения (15) и (17) представляют собой искомое решение задачи и их аналитический вид полностью совпадает с полученным решением для метода проекционного сшивания [2] и метода сечений [1].
Данный результат показывает, что введение малого параметра позволяет существенно упростить решение задачи и привести его к простому аналитическому виду. В совпадение с результатами [1,2] свидетельствует о корректности используемых разложений (11), (12) несобственных интегралов по малому параметру Ак .
Заключение
к
Получены аналитические выражения для коэффициентов уравнения Риккати на основе метода интегрального уравнения. Показана аналитическая эквивалентность решений, полученных
на основе МИУ и методами проекционного сшивания и сечений для бесконечного малого по высоте элементарного слоя. Рассмотренный в работе подход для расчета коэффициентов уравнения погружения на основе МИУ можно легко распространить на случай возбуждения волновода в случае Н - поляризации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения для обобщенной матриц рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный Вестник МГТУ ГА, №157, 2010.
2. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых ТЕ - волнами // Радиотехника. N7??, 2010 в печати.
3. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. - М.: МГУ, 1993.
INTERGAL EQUATION METHOD IN IRREGULAR WAVEGUID PROBLEM: E-POLARIZATION CASE
Kouznetsov V.L., Filonov P.V.
The embedding method to solution of scattering problem in irregular waveguides is considered. The problem of interaction of filed with elementary layer of irregular waveguide using integral equation method is considered. The analytic identities of solutions different methods are shown.
Key words: embedding method, irregular waveguide, elementary layer, small parameter, integral equation method.
Сведение об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных, случайных и периодических средах, безопасность полётов.
Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 11 научных работ, область научных интересов - моделирование электродинамических систем и процессов.
