Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Коши Текст научной статьи по специальности «Физика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№91(9)

УДК 537.874

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗЛУЧЕНИЯ РУПОРНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ: ПЕРЕХОД ОТ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ КОШИ

Л. Д. БАХРАХ, В. Л. КУЗНЕЦОВ, И. И. ВИЗГИНА

Развивается новый подход к моделированию излучения рупорной антенной решетки. В основе метода лежит сведение краевой задачи для уравнения Гельмгольца к задаче Коши для матричных уравнений погружения. Последние описывают изменения коэффициентов прозрачности и отражательной способности системы как функций параметра погружения. Приводится вывод уравнений погружения для линейной рупорной антенной решетки, базирующийся как на методе расслоения, так и на методе интегрального уравнения.

1. Введение

Проникновение нанотехнологий в различные сферы деятельности человека не оставляет в стороне и радиолокацию, где применение при дистанционном зондировании сверхкоротких импульсов является сейчас одним из наиболее перспективных направлений исследований [1-4]. Основной особенностью новых технологий является сверхширокополосность сигналов, которая заставляет с существенно более высокой точностью описывать частотные характеристики элементов антенных систем. Новые задачи порождают и новые требования к точности описания процессов излучения, поскольку «подводные камни» в виде возможных резонансных явлений, не проявляющиеся в должной мере (и, соответственно, не учитываемые) в системах, излучающих сравнительно узкополосные сигналы, представляют реальную угрозу адекватности моделей в задаче изучения сверхкоротких импульсов.

В этой работе мы рассмотрим возможные пути решения возникающих проблем на примере расчета диаграммы направленности по полю рупорных антенных решеток (РАР).

Систему рупоров можно рассматривать как своеобразный согласующий переходной слой (рис. 1), назначением которого является минимизация эффектов отражения электромагнитного поля - согласование волноводов со свободным пространством.

В каком-то смысле в такой постановке задача подобна известной задаче просветленной оптики, являясь, однако, существенно более тяжелой из-за сложной геометрии переходного слоя.

Удобным способом представления диаграммы направленности (ДН) антенной решетки как в ближней, так и в дальней зонах является запись поля излучения в виде углового спектра, т.е. запись в смешанном (ц, г)-представлении. При рассмотрении РАР как переходного слоя целесообразно симметризовать форму записи для входных и выходных полей. Для этого представим поля в подводящих волноводах не как суперпозицию волноводных мод с соответствующими комплексными коэффициентами, а в виде пространственного Фурье-спектра поля на отрезке [0, Ь], подобно тому, как поле в раскрыве антенны представляется в виде углового спектра. Тогда амплитуду угловой компоненты поля излучения РАР можно представить в виде функционала от Фурье-образа поля в подводящих волноводах:

Еизл (Я) = |¿Я' Т(Я, Я') ■ Евош (Я') (1)

Ядро интегрального преобразования (1) - коэффициент прозрачности Т(ц, цг), завися-

щий только от геометрии рупорной решетки, является основным фактором, явный вид которого при известных полях в подводящих волноводах позволяет легко вычислить излучение антенны и, соответственно, ее ДН.

В классической постановке проблема расчета ДН РАР сводится к решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца

Аи(г) + к2 и(г) = 0, г ёО (2)

с условием Дирихле и (г )| г = 0, выполняющимся на поверхности рупоров Г0, условием изучения

\im4r

(ди - ш 1 = 0

г \ дг )

в верхнем полупространстве (г-расстояние от источника до точки наблюдения) и заданными

полями излучения в выходных сечениях подводящих волноводов - Г .

Отметим особо, что в сечении волноводов в режиме излучения РАР полное поле может быть представлено в виде суммы

и| г= и, + и 2, (3)

где и - поле, распространяющееся по волноводу к рупору, которое мы будем полагать известным, и и2 - поле, отраженное в рупорном слое из-за неполного согласования со свободным пространством и уходящее назад через подводящие волноводы. и2 также как и поле излучения РАР является величиной, подлежащей определению.

Существующие в настоящий момент методы расчета таких систем обладают, в частности, следующими существенными недостатками.

1. Рупорная антенная решетка рассматривается как простая суперпозиция отдельных излучателей, поле которой аддитивно по числу рупоров. Роль эффектов взаимооблучения считается пренебрежимо малой. Вместе с тем неоднородные моды (реактивные поля) «навязывают» некоторый синхронизм излучателям, эффект которого может стать значимым в условиях резонанса (например, аномалии Вуда [5,6]) при излучении сверхширокополосных сигналов.

2. Излучение каждого рупора рассчитывается в рамках апертурной теории, притом, что поле в раскрыве рупора полагается равным полю соответствующего сечения бесконечного конуса [7,8]. Тем самым не учитываются краевые эффекты - излучение краев рупора. Последнее приближение, будучи значимым само по себе, может усиливаться за счет резонансов в РАР. Отметим, что метод краевых токов Уфимцева [9], носящий полуфеноменологический характер, не может претендовать на корректное решение этой проблемы.

Отмеченные недостатки являются по существу основными приближениями существующих моделей РАР. Наша задача заключается в разработке новой математической модели, характеризующейся более слабыми ограничениями, т.е. свободной от отмеченных недостатков.

2. Приближения разрабатываемой математической модели РАР

1. Будем рассматривать модель линейной РАР. Это предполагает совокупность следующих допущений.

Антенная система двумерна (рис. 1), т.е. компоненты электромагнитного поля

и (г, і) = и (х, z, і) зависят только от двух пространственных переменных.

Будем полагать, что вектор напряженности поля направлен вдоль оси ОУ (Е - поляризация). По существу это означает, что модель строится в приближении скалярного поля.

Отметим, что эти предположения существенно упрощают выкладки, но не носят принципиального характера и в дальнейшем могут быть сняты.

При построении линейной РАР воспользуемся приемом периодического продолжения структуры, т.е. дополним рассматриваемую РАР, состоящую из N рупоров, слева и справа идентичными системами до периодической структуры аналогично тому, как это делается в физике твердого тела при описании кристаллических структур [10].

Такое периодическое доопределение антенной системы приводит к тому, что для излучаемого поля, записанного в представлении Вейля-Зоммерфельда (смешанном (^, 2) -представлении) связанными оказываются только группы компонент, отличающихся по q на

, где Л - расстояние между рупорами в базовой решетке, а п - целое число.

С точки зрения используемого математического аппарата обсуждаемое доопределение переводит задачу из класса интегро-дифференциальных уравнений в класс матричных дифференциальных уравнений. Некоторые физические аспекты обоснования такого рода приближений обсуждаются в [11].

2. Будем полагать стенки волноводов и рупоров идеально проводящими. Это обычное в электродинамике антенн приближение заслуживает, тем не менее, более подробного обсуждения.

Идеальность стенок означает малость толщины скин-слоя поля в металле и проводит в случае Е поляризации поля к условиям Дирихле: и (г )| г = 0, где Г0 - поверхность проводника.

Физически это означает, что на поверхности металла возникают такие индукционные токи, что полное поле (внешнее и порожденное токами) удовлетворяет условию Дирихле. Эти токи в окрестностях изломов поверхности - на краях рупоров - являются по существу краевыми токами Уфимцева, корректирующими расчеты апертурной теории. Таким образом, математически корректное решение задачи с учетом условий Дирихле позволяет отказаться от гипотезы Уфимце-ва, эффективно учтя краевые токи в граничных условиях для поля.

3. Будем полагать, что рупоры в решетке упакованы так плотно, что поле, затекающее за их края, можно не учитывать. Поскольку вещество стенок - идеально проводящая среда, и скин-слой исчезающее мал, то в модели все пространство между волноводами можно считать заполненным проводником, как это обозначено на рис. 1.

4. Будем полагать, что волноводы полностью согласованы с нагрузкой, т. е. излучение, отраженное в рупорном слое, уходит назад по волноводам и там полностью поглощается.

5. Будем полагать, что все рупоры базовой решетки идентичны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Это ограничение, как будет показано далее, приводит к кластеризации углового спектра излучения с взаимодействием компонент поля при эволюции па-

раметра погружения только в рамках одной группы. Отказ от идентичности рупоров нарушает кластеризацию, но не создает принципиальных ограничений для развиваемого метода.

3. Концепция построения математической модели. Идеология метода инвариантного погружения. Виртуальный резонатор

Как любой физический процесс, излучение РАР можно рассматривать с различных точек зрения, опираясь на тот или иной математический аппарат. При этом можно ожидать, что некоторые свойства этого процесса при использовании определенного математического аппарата окажутся более очевидными, а результаты потребуют меньших усилий, чем при прочих подходах. Классический взгляд на проблему, схематически описанный во введении, характеризуется известными трудностями, одним из возможных путей преодоления которых может служить развиваемый ниже подход, основанный на идее инвариантного погружения. Цель теории инвариантного погружения состоит в создании методики преобразования краевых задач в задачи Коши, на пути решения которых, как правило, возникает существенно меньше препятствий.

Суть метода погружения заключается в том, что искомое решение (в нашем случае нормированное поле излучения РАР), ассоциируемое с точкой в некотором функциональном пространстве, рассматривается как одно из множества решений (точек этого пространства) других задач, отличающихся от исходной значением лишь одного параметра, именуемого параметром погружения. Важно, чтобы это множество содержало, по крайней мере, одно известное или легко получаемое решение. Тогда, полагая это пространство связанным и всюду плотным в себе (т. е. решения непрерывны по параметру погружения), выбирая в нем траекторию от известного решения (начальной точки) к искомому и строя вдоль этой траектории уравнение эволюции решения (уравнения погружения), мы сводим исходную краевую задачу к задаче Коши, т.е. мы рассматриваем краевую задачу (для начальной точки), но она существенно проще той, что подлежит исследованию.

В нашем случае в качестве такой упрощенной краевой задачи рассматривается задача об излучении системы обрезанных волноводов (рис. 2).

Поле над волноводами представимо в виде дискретного углового спектра

и (х, г) = 2 ипв1(я"'х+у"'г) , (4)

п

2п

где цп =-п, N - число подводящих волноводов в исходной РАР, Л - расстояние между

N ■ Л

волноводами

В подводящих волноводах распространяются предназначенные для излучения и отраженные волны, возникающие из-за неполной согласованности волноводного пространства со свободным. Первые могут быть представлены в виде множества {я^к (х)е"'к г}, где к = 1, Ртах -номер моды волновода, (р1к (х) - распределение поля в к -й нормированной моде I -го волновода,

I = 1, N, а ак - соответствующая комплексная амплитуда, полагаемая известной. Отраженные поля представляются аналогично - \blvk(хКг~кг I с той лишь разницей, что к є N, т.е. учитываются и затухающие моды.

Рис. 2. Система излучающих обрезанных волноводов

Учитывая свойство гладкости решений уравнения Гельмгольца на границе «волновод -свободное пространство» при г = 0, можно записать:

К N

Е ипеЩпХ=ЕЕ акек(х)+ЕЕ Ъкек(х)

(5)

к=1 I=1

К N

к=1 I =1

ад N

Е упипеЩпХ = ЕЕ укакрк(х)-ЕЕ (х) (6)

п к=1 '=1 к=1 '=1

Далее воспользуемся методом согласования мод. Для этого разложим NЛ - периодические выражения в (5) и (6) в ряд по системе ортонормированных функций {■р1к (х)}.

Напомним, что <р1к (х) = 0 вне I -го волноводного сечения, а | (р1к (х)^р (х)ёх = 8кр согласно договоренности о нормировке. С учетом сказанного из (5), (6) получаем:

Е «„Ф= ак + Ък , (7)

Здесь

Е ^ипф» =~~ (ак- Ък) .

п

Фп = |(ке'"пх -ек (х).

(8)

т

В соответствии с (1) уравнение для матричного коэффициента прозрачности можно записать в виде:

ип =

1 К * / V

¿Е Тр Е Е (ф Ї)

а

(9)

2п п к=1 I=1

Исключая из (7), (8) Ъ[ и подставляя в полученное соотношение выражение для ип из

(9), приходим к системе линейных уравнений первого порядка относительно Тпр - элементов

матрицы прозрачности излучающего среза волноводов.

В качестве параметра погружения будем выбирать высоту рупора, т.е. переход от электродинамических характеристик среза волноводов к соответствующим характеристикам рупоров прослеживается при описании излучения промежуточных систем - элементов семейства усеченных рупоров, получаемых один из другого при наращивании высоты стенок, как это по-

ад N

п

п

казано на рис. 3. Крайними в этом семействе оказываются описанный выше срез волноводов (рис.2) и исследуемая РАР (рис. 1).

Рис. 3. Эволюция рупорного слоя при росте параметра погружения

Далее будет показано, что коэффициент прозрачности РАР тесно связан с ее матричным коэффициентом отражения, поэтому сразу будем рассматривать «эволюцию» двух характеристик Тпт (г1) и Япт (г1). Здесь г1 - высота усеченной РАР.

Выразим Тпт (г1 + Аг1), Япт (г1 + Аг1) через эти же характеристики РАР высоты г1. Это можно сделать, нарастив последнюю систему элементарным слоем толщины Аг1 (см. рис. 3). Согласно идеологии работ [11-13] при этом используется поле, вычисляемое в бесконечно тонком мысленном зазоре между элементарным слоем толщины Аг1 и усеченным рупором высоты г1. Существенным отличием настоящей работы от [11-13] является гипотеза об идеальной проводимости стенок РАР. В этом случае прозрачность элементарного слоя не стремится к единице при Аг ^ 0 и исходные соотношения цитируемых работ становятся неадекватными.

Разовьем идею метода расслоения о мысленных зазорах, рассмотрев такой зазор как виртуальный резонатор с полупрозрачными зеркалами, имеющими коэффициенты отражения гпт (г1, Аг1) и Япт (г1). Это коэффициенты отражения наращенного элементарного слоя Аг1 и

усеченной РАР высоты г1 .

Теперь нетрудно получить искомые соотношения:

Т(г1 +Аг1) = ^ Аг 1)[/- Я(г1) • г(^ Аг1]-1 ■ Т(г1) (10)

Я(г1 + Аг1) = г(г1, Аг1) + ?(г1, Аг1)[/- Я(г1)г(г1, Аг1 )Г *(Аг1) (11)

Здесь Т(г1, Аг1) - матричный коэффициент прозрачности элементарного слоя, а

[/ - я(г1 у(г1, Аг1)]-1 = Е (я(г1 У(г1, Аг1))п . (12)

п=0

При конечном в матричный коэффициент элементарного слоя г (г1, Аг1) пропорционален Аг1 и может рассматриваться как малый параметр, позволяющий оборвать ряд (12). В этом случае (10), (11) переходят в уравнения работ [11-13]. Вычисление электродинамических параметров элементарного слоя для конечных в подробно обсуждались в [14]. Для случая идеально проводящей среды соответствующие выражения получаются с использованием соотношений вида (5), (6) и считаются известными.

Исключив обратные матрицы (12) из (10), (11), находим:

Т (г1 +Аг1) = [(Я (г1 +Аг1) - г (Аг1))*“Ч Аг1)]^Т (г1) . (13)

Конечно-разностное уравнение (13) является уравнением погружения для нашей задачи, однако оно не является замкнутым, т.к. в нем фигурирует неизвестная матричная функция

Я(2\) .

Для полноты математической модели необходимо построение замкнутого уравнения для матричного коэффициента отражения усеченной РАР, не использующее метод расслоения (уравнение (11)).

4. Исходные замечания к выводу уравнений погружения для матричного коэффициента отражения РАР

При выводе уравнений для коэффициента отражения Япт (г1) усеченной РАР воспользуемся результатами нашей работы [15], где соответствующие уравнения были получены для идеально проводящей периодической поверхности. В основе этого подхода лежит вариация соотношений метода интегрального уравнения (МИУ). Отличительной особенностью задачи для РАР является наличие волноводов - своеобразных “врезок“ в идеально отражающую поверхность. На этих участках условие Дирихле естественно не выполняется, что приводит к существенному усложнению уравнений МИУ. В [16] нами была изложена основная идея метода и очерчены пути ее решения. Здесь мы получим явный вид уравнений погружения с учетом волноводных врезок.

Отметим одно важное обстоятельство, касающееся связи уравнений погружения для коэффициентов прозрачности и отражения. Поскольку базовая РАР состоит из N рупоров и имеет длину Ь = N ■ Л, то периодически расширенная решетка имеет “густой” угловой спектр с

Аа = -2^. Здесь мы полагаем, что на каждый рупор базовой решетки подается свой сигнал, от-NЛ

личный от соседних. При вычислении коэффициента отражения периодически продолженной РАР на неё извне подается плоская волна, и все рупоры ставятся в одинаковые условия. Период

Л Л 2п

такой решетки Л, а компоненты углового спектра отраженного поля отличаются на Аа1 = ,

т.е. угловой спектр отражения в N раз «реже» спектра излучения. Последнее означает следующее: угловой спектр поля излучения РАР распадается на N невзаимодействующих между собой кластеров. Взаимодействие внутри каждого из этих кластеров осуществляется за счет эффектов переотражения, а межкластерные соотношения закладываются лишь в «начальный момент» - при равном нулю параметре погружения.

Отмеченное обстоятельство означает следующее. Параметр а0 в Япт , описывающем пеГ 2п Л

рерассеяние из т -й моды падающего поля I ят = а0 +-^ т I в п -ую моду рассеянного поля

^ап = а0 + 2^1, может принимать N значений из множества '|, ' = 0, N -1. Т.е.

Япт = Япт (а0) и при численном расчете матрицы Япт придется решать N задач, отличающихся друг от друга начальными условиями - величиной угла падения внешнего поля. Поскольку при аналитических построениях численное значение а0' не существенно, зависимость Япт от этого

параметра будем опускать, используя оговоренное лишь при окончательном совместном рассмотрении матриц прозрачности и отражения.

Рассмотрим линейную РАР с шириной волноводов Ъ . Профиль усеченных рупоров будем описывать зависимостью

И( х) =

2Х , при X Є [О, х! ]^[х2, Л] И (х) , при х Є

О, при х є

Л 1 Гл +ь 1

х1 , _ 2 _ и , х2 _ 2 2 _

(14)

Л-ь л + ь

2

2

Здесь х1 = Л^ ^ -а(21), Х1 = Л + ^ + а(^1), И(х) - функция, задающая профиль «раскрыва» рупоров. Обозначения ясны из рис. 4. Отметим, что на И (х), изображенной на рисунке для простоты отрезками прямых, наложено лишь требование монотонности, т.е. профиль раскрыва в общем случае предполагается нелинейным.

Рис. 4. Модель линейной РАР. Один период

Пусть на РАР из верхнего полупространства падает плоская волна, принадлежащая I -му кластеру с дО = ~~I и имеющая в нем номер т . Соответствующий волновой вектор кт равен

ЫЛ

кт =

2п

40 + ~^ т,у

,2 [ і 2п

к 0-1 4о +^т

Л

= (т , Ут ) .

(15)

Для того, чтобы иметь возможность интерпретировать амплитуду рассеянного в п -ую моду поля как коэффициент Япт необходимо, чтобы амплитуда падающего поля в плоскости

усечения г = г1 была равна единице, т.е.

и т = е*(4тх-Ут (г-г1)) (16)

Тогда рассеянное поле равно

_ _ .......... (17)

=2 V пт =2 . е' ( 4пх+уп ( г-г1))

пп

Часть падающего поля просачивается в волноводы, порождая в них однородные (бегущие) и неоднородные (затухающие) моды (рр(х,г), р е К, х е [0,Ъ],

<Рр (~, г) = ФР (~)Є Г =

пр

~ь

(18)

'V „г

е

Л-Ь 2

4к0 - ~Р , ~р =ТР , моды с Р - Ртах =

к 0Ь ' 2Ь"

П

однородные,

переносящие энергию и описывающие поглощение поля волноводом; моды с р > Ртах - неодно-

родные, дающие опосредованный вклад в отражение, согласование полей. Поле в I -ом волноводе можно записать в виде

Л-Ь

и; = 2 аР-Фр (х —о—1Л)П г(х) •е

р=1

2

Здесь П1 (х) - разность «ступенек» Хэвисайда

П г (х) = 0

" Л-Ь 7 ~ -0 Л + Ь

х 1 •Л х 1 •Л

_ 2 _ _ 2 _

(19)

(20)

5. Соотношения метода интегрального уравнения для РАР

Следуя известным рассуждениям (см., например, [17]) с помощью второй формулы Грина, можно получить интегральное соотношение для поля в точке наблюдения М над поверхностью РАР

дОЛ

и-(м )=ит (м )+

2п * [ дпР

Омр - и-(Р) •—М^ё , (21)

Р дпР I

где: Г - поверхность, включающая в себя как проводящую границу рупоров, так и срезы подводящих волноводов, точка Р е Г; Омр - функция Грина свободного пространства для уравнения Гельмгольца, а пР - нормаль к поверхности в точке Р .

Опуская точку М на поверхность - М ^М0 еГ с учетом свойств потенциалов простого и двойного слоев для рассматриваемого нами двумерного случая, получаем

1 1 г дОМР 1 тдит (Р)

и- (М0) = - ит (М0) + — Г ит (Р)-------МоР ёэ -— Г К } • Ом рЖ, (22)

т ° 2 тУ ^ 2п Г дпР 2п Г дпР МоР

ёэ = ^ 1 + (к'(х ))2 ёх .

= у 1 +

Если бы в нашем случае отражающая поверхность была вся идеально проводящей, то левая часть и первый интеграл в (22) были бы тождественно равны нулю как в стандартной задаче. При анализе отражательных характеристик РАР существенную роль начинают играть “врезки” волноводов, и в этом случае (22) так сильно упрощено быть не может. Рассмотрим ситуацию подробнее.

Обозначим последние два интеграла в (22) как 11 и 12 соответственно. В 11 и 12 фигурируют неизвестные значения поля и т (Р) и его производной по нормали к поверхности -

ди т (Р )

----—----. Это, вообще говоря, связанные между собой величины, и для их нахождения мы вос-

дпР

пользуемся следующим приемом.

Разложим в 12 неизвестную функцию

Г (х) = -1 дип<Р)^1 + (,(х (23)

4 дпР

в ряд Фурье на периоде Л

І" (') =2 К.-*'"’', X є[о, Л], (24)

переходя к новым неизвестным величинам Ьпт .

Вследствие идеальной проводимости материала поверхности ит (Р) = 0 всюду, кроме

Гл —ь Л+ь^

интервала I—^^—I, а в этом промежутке значение поля можно, в силу его непрерывности, выразить через амплитуды мод, возбуждаемых в волноводах (см. (19)).Тогда в отмеченной области

7 ш Л — Ь

/т (х) = — -'(—7 )Х>~-< V, (X---------7-)' П о (х) . (25)

4 Р =1 2

В (25) мы учли, что I = 0, -^1 + {к'(х ))2 = 1, а элемент поверхности у в области волновода - у1 может быть опущен под его срез, то есть эта часть у принадлежит волноводному про-

странству ( г = 0 — 0 ).

В силу непрерывности поля и его производных в окрестности среза волновода записанное выражение справедливо для поля в сечении г = 0 + 0, то есть уже внутри рупора. Поэтому

/ ч , , Гл — ь л+ь^

из (24) и (25) для х е I ——,—2— I имеем:

1 ш Л — Ь

— 4 !’~Р -ат ' V (X----—)' П 0 (х) = ^ Ь„т ' е!“-‘ . (26)

4 р =1 2 п

Из (26) получаем выражение для амплитуд возбуждаемых волноводных мод а0т через коэффициенты Ьпт и, исключив из 112 а0т , сохраняем в (22) только одну группу неизвестных величин.

В силу ортогональности волноводных мод из (26) получаем нужную связь:

Кт =— ЕХрп'Ьпт , (27)

Ь% п

где

Л+Ь

2 Л—Ь

хРп = | (Рр(' ——)' еЩпХдх • (28)

л_ь 2

Первый член в правой части (22) также можно выразить через Ьт , используя (27) и тот факт, что это поле отлично от нуля лишь в выходном сечении волновода. Заметим также, что и" (М 0) - известная функция.

С учетом сказанного, выражение (22) дает бесконечную систему уравнений для определения значений ЬП" , п," є Z . Позднее мы покажем, что амплитуды отраженного поля (элементы матрицы ЯП" ) выражаются через эти величины.

Распишем теперь подробнее каждый член уравнения (22).

1) и"" (М0) = вп’"г 1' в1""'_1',"н(х) при разложении в ряд Фурье с учетом квазипериодично-

сти на периоде Л дает:

и" (м ) = в1у"г1^Г С

' к"

и"" (М о) = в""-'2 Ск"в1"кХ , к є Z (29)

к

где

п=-да

2

1 Л -1—(к-")х-ІУ"к( х)

Ск" =11 в Л Ох .

Л

2)

3)

4)

1

1

Л-Ь

-и"(Мо) = -£П(Х)2а\"Р(х--- --1' Л) , І є Z

2 4 и у о * 4 у Рт ' 4 о

2 І р=1 2

4

I, = 2-Е2аР" Р _^^ _ І' Л)' ^ Ох ,

2П І р=1 у/ 2

дпР

І є Z.

(30)

(31)

(32)

(33)

В (33) интегрирование ведется по I - му срезу волновода.

С учетом приведенных соотношений уравнение (22) после некоторых выкладок может быть записано для матричных величин:

1 ^ , 1 ^ ~ 1

где

Ск" • в1У"1 =_~г2^кпЬп" +л2 АкпЬп" +л2 АкпЬп"

І і. у, I \. у, I І. у,

= 4 2 ~ —

Мкп т / 2Х кр ~ Х кр

Ь р~р р ~ ~ *т

х = х ,

аь,=2 ск1 •«. ,

Л ,2п

С«’=Л1 в"

1 р -1—(к-І )х+1У/к(х)

Ох

Л ад

Акп =1 Ох 1 Ох' И(01) (',', Ь(х), И(' )) - в

-Щк'+Щп'

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(34) можно переписать в компактной форме:

С Ж = — Л

А - (С(1) + /)/>

'Ь

(40)

(41)

где матрица Ж - диагональная с элементами

етп = е^1 ' £ , £ - символ Кронекера,

тп пт 5 пт г г ?

I - единичная матрица.

Получим теперь выражение для элементов матрицы рассеяния через величины Ьпт, определенные в (24). Для этого рассмотрим область а , ограниченную контуром у2 иу а (рис.

4). Используя вторую формулу Грина, можно получить выражение

г дит дФ

[ (Ф^^ — ит^г)ф = 0 ,

Л дп дп

у2 и/

дп

(42)

где Ф - произвольная функция, удовлетворяющая в области а уравнению Гельмгольца. Из (42), учитывая, что

"

гп бо

(43)

и задавая Ф в виде различных плоских волн, можно получить зависимость амплитуд рассеянного поля от неизвестных коэффициентов Ьпт :

Я = єУрг1 ' 2 р" / .<

2 С (2) 1

-----Срп _Т

V, Л

рп

'Ьп

(44)

п — ад

п

При выводе (44) мы использовали изложенные выше соображения и соотношения отно-

сительно связи арт и Ъпт.

рт пт

Выражение (44) можно переписать в матричном виде:

Я = е ■

1

УС(2)------й

Л

■ ъ

(45)

где элементы матрицы е задаются в (41), /} - в (35), матрица V - диагональная с элементами

= 2 х

Урк ' хкр

Р Ук Р

а элементы матрицы с(2) имеют вид

1 Л .2П( ) . ,( )

~(2) 1 Г “г_Т(Р-п)х-1Урк(х) .

С =л!е Л А .

(46)

(47)

6. Уравнения погружения для матричного коэффициента отражения усеченной

РАР

Уравнения (40), (45) позволяют вычислить Япт (г1) и, в соответствии с (13), реализовать процедуру вычисления элементов матрицы прозрачности. Однако это неудобно, поскольку на каждом шаге, для каждого нового значения параметра погружения 21 (который пробегает множество значений от нуля до Н - высоты рупоров) придется решать систему (40), (45), что, вообще говоря, достаточно трудоемко. Проще во множестве этих решений построить уравнение эволюции Япт (г1) по параметру г1 - уравнение погружения. Его решение Япт (г1 + Аг) при известном Япт (г1) находится проще, чем решение системы (40), (45). Учитывая многократность

повторяемой процедуры, выгода становится несомненной.

Перейдем к выводу уравнений погружения для матричного коэффициента отражения усеченной РАР. Для этого проварьируем уравнения (40), (45) по г1, получим конечноразностное уравнение для Япт (г1) и перейдем в нем к пределу при Аг1 ^ 0 .

После варьирования (40), (45) и некоторых преобразований приходим к выражению для АЯ = Я (г, + Аг) — Я (г,):

пт пт\ 1 / пт V 1 /

да = к ж-С

1 (СДЖ + ДС Ж) - — к Ж -1С - (АЛ - ДС(1)/>) Л

УС -—и

Л

1

+ (ЖУДС + ДЖУС - ^ Д Щи)

у^с: -—и

Л

(48)

- выражению через известные матрицы и матрицы-вариации ДЖ, ДС, ДС(1), ДС, Д4, пропорциональные толщине наращиваемого слоя Дг1. Техника вычисления матриц-вариаций, встречающихся при рассмотрении отражения поля от периодической поверхности, достаточно подробно обсуждается в [15], поэтому здесь мы лишь приведем окончательные результаты:

ДЖ = Дг - НУ~1Ж

ДС~ = Дг1 -(-20 ІЖ -1У -1 ДС(1) = Дг1 - 2ї¥Ш-1

5

ДС = Дг1 - (-2/)У^-'ЙГ - 7

ДЛ = Дг, - 2і

СЙ7Л + ЛІЖС - 2 ЛИ7

а элементы матрицы 7 определяются выражением

7 2 . 7кп =Л Х1 ЯП С

(49)

(50)

(52)

(53)

(54)

(55)

Используя (49) - (54), перепишем (48) и после некоторых преобразований получаем матричное уравнение Риккати для коэффициента отражения линейной РАР в виде

1 ^ = к(I - Ь)У -1 - к 2і

/(I - НУ7) + (/ - Б)НУ

1

У-1 к + (і - Н7)У 4 і .

(56)

Здесь ,0 = Ж-'ЛС-У, Н = Ж-1, а матрица К = УС

Сравнивая уравнение погружения (56) для коэффициента отражения линейной РАР с уравнением погружения (44) из [15], полученным для коэффициента отражения идеально проводящей периодической поверхности, нетрудно убедиться в идентичности их структуры. Отличительным моментом является появление вместо матрицы I в (44) в [15] произведения матриц НУ в (56). Однако если посмотреть на внутреннюю структуру матрицы Н = УК~1Ж_1, видно,

что она идентична структуре матрицы 0, а новая матрица К = УС - — /) состоит из двух слаЛ

гаемых, второе из которых несет информацию о вкладе «подключенных» к поверхности волноводов. Если же положить равной нулю матрицу /}, т.е. “отключить” волноводы (это станет понятно, если проследить предельный переход Ь ^ 0 в соотношениях (28), (35)), то легко видеть, что произведение НУ в (56) перейдет в матрицу I из (44).

Действительно 1

н у=і7(ус -л-и)

Ь^0

-*ІХУС)- Ж-1У = І7С~1У-V = І7С - = /7 (57)

Таким образом, можно говорить о «преемственности» полученных уравнений погружения.

-1

Заключение

В представленной работе развивается новый подход к моделированию излучения рупорных антенных решеток, основанный на применении теории инвариантного погружения. В осно-

ве излагаемого метода лежит построение уравнений “эволюции” электродинамических характеристик исследуемой системы (матричных коэффициентов прозрачности и отражения) в пространстве решений вспомогательных задач. Краевая задача для уравнения Гельмгольца с достаточно сложной геометрией области интегрирования и специфическими граничными условиями (см. комментарии к уравнению (3)) заменятся на существенно более простую задачу об электродинамических характеристиках среза системы волноводов, решаемую методом согласования мод, и задачу Коши для уравнений погружения (13), (56). При этом решение задачи для среза волноводов определяет начальные условия задачи Коши.

Развиваемый подход интересен тем, что позволяет корректно вычислить угловой спектр излучения РАР с учетом как краевых эффектов, связанных со “свечением” краев рупоров, так и эффектов взаимного влияния излучателей в решетке.

Рассчитанный предложенным способом коэффициент прозрачности РАР позволяет легко перейти не только к задачам синтеза ДН РАР, но и к оценкам флуктуаций ДН, обусловленных нестабильностью амплитуд генерируемых в волноводах мод.

ЛИТЕРАТУРА

1. Скосырев В.Н. Особенности и свойства сверхкороткоимпульсной радиолокации. Конспект лекций, серия Сверхширокополосные системы в радиолокации и связи. - Муром, 2003.

2. Зарубежная радиоэлектроника, 1991, №1.

3. Содин Л.Г. Фокусировка электромагнитного снаряда //Радиотехника и электроника, 1998, т. 43, № 2.

4. Авдеев В. Б. Энергетические характеристики направленности антенн и антенных систем при излучении и приеме сверхширокополосных сигналов и сверхкоротких импульсов// Антенны, 200 , №7.

5. Wood R.W. Anomalous diffraction grating. Phys. Rev., 1935, vol.48.

6. Ахманов С.А., Семиногов В.Н., Соколов В.И. Дифракция света на случайной поверхности с “глубоким” профилем: взаимодействие дифрагированных волн, аномальное поглощение, максимально достижимые локальные поля.//ЖЭТФ, 1987, т.93.

7. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988.

8. Данилов Ю.Н., Красюк В.Н., Никитин Б.Т., Федорова Л.А. Техническая электродинамика и антенны. - СПб, Издательство Санкт-Петербургского института авиационного приборостроения, 1992.

9. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. - М.: Сов. радио,

1962.

10. Маделунг О. Теория твердого тела.- М.: Наука, Физматлит, 1980.

11. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн.//Антенны, 2001, №2 (48).

12. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization.// Progress in Electromagnetic Research: PIRS, VOL. 24, 1999.

13. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности. Радиотехника и электроника, 1999, т. 44, № 6.

14. Кузнецов В.Л., Шевелева В.Н. Об особенностях сингулярности коэффициентов уравнения погружения в задаче взаимодействия волн с периодическими структурами вблизи аномалий Вуда. //Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79, 2004.

15. Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Метод погружения в задаче взаимодействия излучения с идеально проводящей периодической поверхностью.// Научный Вестник МГТУ ГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79, 2004.

16. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны, 2004, №8-9.

17. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. - М.: МГУ,

1987.

MATHEMATICAL MODEL OF A HORN GRID ANTENNA RADIATION: TRANSFER FROM A BOUNDARY

PROBLEM TO A CAUCHY ONE

Bakhrakh L.D., Kouznetsov V.L., Vizgina I.I.

A new approach to construct a model of a horn grid antenna radiation is developed. The basis for this method is a reduction of a boundary problem for a Helmholz equation to a Cauchy problem for the matrix ‘imbedding’ equations. The latter describe variations of transmission and reflection coefficients of system as functions of the imbedding parameter. The imbedding equation for the linear horn grid antenna are deduced using either a splitting method or an integral equation method.

Сведения об авторах

Бахрах Лев Давидович, 1921 г. р., член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор, лауреат Ленинской и Государственных премий, лауреат премии АН СССР им. А.С. Попова, автор более 200 научных работ, область научных интересов - радиофизика.

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 80 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах.

Визгина Ирина Ивановна, окончила МГТУ ГА (2002), аспирантка кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - моделирование задач электродинамики.