CC BY
35
УДК 621.396.677.494
ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ПОГРУЖЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ЗАДАЧЕ О РУПОРНОМ ПЕРЕХОДЕ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, П.В. ФИЛОНОВ
Проведен анализ влияния критических сечений рупорного перехода в поведении решения уравнений погружения. Показано, что сингулярности коэффициентов уравнений интегрируемы, а асимптотика значений коэффициентов отражения и прохождения соответствует общим физическим представлениям.
Ключевые слова: уравнения погружения, критические сечения, рупорный переход, метод погружения, сингулярные уравнения.
Задача о распространении поля в рупорном переходном слое занимает одно из центральных мест в расчете рупорных антенных решеток. Известен ряд подходов к расчету рупорного перехода, таких как методы ступенчатой аппроксимации с проекционным сшиванием полей [1], метод поперечных сечей [2, 3] и метод интегральных уравнений [4]. Эта работа посвящена развивитию нового подхода к задаче, основанного на методе инвариантного погружения. В отличие от работ [5-7], где было использовано представление поля в базисе мод Флоке, здесь мы воспользуемся базисом волноводных мод. Метод погружения позволяет на основе решения задачи о коэффициентах отражения и прохождения бесконечно тонкого рупорного перехода (элементарного слоя) и полученного «правила суммирования», сформулированного в виде матричного уравнения Риккати, решить задачу для рупорного перехода конечной высоты. При описании элементарного слоя могут быть использованы любые известные методы расчета рупорного перехода конечной высоты. В этом смысле метод погружения не следует рассматривать как альтернативу к известным методам. Преимущество развиваемого подхода заключается в появлении малого параметра -высоты слоя, который позволяет существено упростить задачу и заменить известные алгоритмические решения на простые аналитические формулы. В теории нерегулярных волноводов [8] известны особенности распространения волноводных мод, связанные с переходом моды из разряда однородных в неоднородные и обратно. Такие области перехода называются критическими сечениями. В этих сечениях волновой вектор моды обращается в нуль, а ее фазовая скорость стремится к бесконечности. Отмеченные особенности волнового распространения находят отражение в особенностях (сингулярностях) коэффициентов уравнений погружения для матрицы рассеяния рупорного перехода.
1. Анализ уравнений погружения вблизи точки сингулярности его коэффициентов
Рассмотрим полученное в [9] уравнение погружения для матрицы рассеяния 5
Введение
Е+ Т+
(1)
Коэффициенты р± и т± определяются конкретной геометрией рупорного перехода и для случая Е-поляризации поля принимают следующий вид [9, 10]
(2)
(3)
(4)
т+ = 1кР8Рк + Ррк + (Фр > фк )>
Ррк = ррк, трк = 2*КР 8Рк Трк ■ Матричное уравнение (1) распадается на 4 уравнения для Е± и Т±
= р+ + т+К+ + К+т~ + К+р
ап
р+ + т+Я+ + К+т- + Е+р-Е+,
(5)
= т+Т+ + К+р~Т+, (6)
ап (1Т - (П)
ап
ак-(п)
= Т-т- + Т-р- К+, (7)
= Т-р-Т+. (8)
ап
Система уравнений (5)-(8) записана так, что решение каждого следующего уравнения использует решение предыдущего, а первое уравнение замкнуто. Рассматривая решение предыдущего как известное уравнение, (6)-(8) становятся линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому детальный анализ поведения решения вблизи точек сингулярности начнем с уравнения (5), замкнутого относительно Я+ и представляющего собой уравнение Риккати. На его примере рассмотрим поведение решения вблизи точек сингулярности.
Возможные особенности решения могут проявляться вблизи точек, где постоянная распространения одной из мод обращается в нуль (критическое сечение). Для некоторой моды с номером I ширину критического сечения (I/ МОЖНО определить ИСХОДЯ ИЗ соотношения К/ = — (1т1/а)2 = 0, Т.е. (¡1 = 7Г///,'().
где к0 — волновое число. При заданной функции профиля рупорного перехода а(П) можно определить значения П — высоты критического сечения рупорного перехода.
Используя замену переменных П = П — (, где Пг — высота критического сечения, рассмотрим поведение коэффициентов уравнения погружения в малой окрестности Пг. Из выражений (2)-(4) для р± и т± видно, что эти коэффициенты имеют особенности двух видов - 1/С для диагональных элементов и 1/УС Для недиагональных. Интерес представляют сингулярности диагональных членов, поскольку сингулярности для недиагональных — интегрируемы. Для получение асимптотического представления сингулярных элементов вблизи критического сечения рассмотрим поведение диагональных элементов при малых (
1 1 ^ «(/г,;)—а'С ) а(Ы)—а'С, кд
2 К1 2 /_______7гг_____Л2 7,2
(а(М-а'с) ~к0
—, здесь обозначает производную по Н. (9)
При этом в рассматриваемой окрестности для коэффициентов р± и т± в уравнениях погружения можно ограничиться лишь вкладом сингулярных элементов, их можно записать в следующем виде
^ к2
= гда ^ = (10)
р+к = —ркк, ткк = ркк, ткк = —ркк. (11)
Правая часть уравнения (5) в окрестности критического сечения может быть представлена в виде членов с регулярными (ограниченными) и сингулярными коэффициентами. Сохранив только последние, перепишем (5) в виде следующей системы
= ~ри ~ Ти^и ~ ^ити ~ ^ири > (12)
ав+
-^ = -Кп1тй ~Кп1ра^1 п + 1, (13)
ап+
= ¡рй^ гпф1, (14)
ая+
-^ш = -К+р-К1т, тф1,пф1. (15)
Подобно системе (5)-(8) эта система уравнений также решается последовательно, начиная с первого, с дальнейшей подстановкой решения текущего уравнения в последующее. Из приведенной системы
нетрудно получить оценки решений в окрестности точки сингулярности коэффициентов. При малых Z имеем
RU = (7^27 _ RU ~* _1 ПРИ С ^ 0, (16)
R+1 = С2(27, п = I, R+ ^ 0 при С ^ 0, (17)
R+m = CseClç2Y, m = l, R+m ^ Сз при ( ^ 0, (18)
Rnm = ^Ci^C27 + C4, n,m R^m -► C4 при ( -► 0. (19)
Коэффициенты Ci, i = 1, 2, 3, 4 находятся из значений для соответствующих компонент матрицы R+ на левой границе рассматриваемой окрестности и могут быть получены при численном интегрировании исходной системы (5)-(8) на интервалах, где сингулярности отсутствуют. Соотношения (5)-(8) позволяют доопределить значение коэффициентов R+ в критических сечениях.
Анализ полученных оценок показывает, что в критических сечениях при вырождении мода испытывает полное отражение (16) и не порождает каких-либо других мод (17). Амплитуда l-й моды в сечении
hi равна нулю, и после критического сечения h < hi мода становиться неоднородной, увеличиваясь за счет процессов межмодового взаимодействия в части рупорного перехода с h < hi. При этом поведение коэффициентов отражения для невырожденных мод, как видно из (18),(19), не испытывает каких-либо особенностей. Данный результат можно трактовать как то, что появление сингулярных коэффициентов в уравнение погружения не приводит к особенностям решения.
Заключение
Проведенный в работе анализ асимптотики решений уравнений погружения в малой окрестности критических сечений, где коэффициенты уравнений имеют сингулярности, показывает, что:
• особенности интегрируемы;
• полученные из уравнений значения коэффициентов отражения и прохождения соответствуют общим
физическим представлениям.
Найденные в работе аналитические решения могут быть использованы для описания поведения коэффициентов отражения и прохождения в областях параметра h, для которых численное интегрирование уравнений невозможно из-за сингулярности их коэффициентов. Таким образом, полученные результаты можно рассматривать как своеобразные связки между областями решений, доступными для численного интегрирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Скобелев С.П., Килдал П.-С. Характеристики решеток прямоугольных ступенчатых рупоров со стенками, нагруженными диэлектриком в одной плоскости // Радиотехника и электроника, — 2000. Т.45. — №9. — С. 1071-1077
2. Александров Н.Л., Винниченко Ю.П., Леманский А.А., Туманская А.Е. Характеристики излучения решетки рупоров // Радиотехника и электроника, — 1988. Т. 33. — №2. — С. 412-414.
3. Александров Н.Л., Винниченко Ю.П., Туманская А.Е. Резонансные явления в волноводно-рупорных элементах фазированных антенных решеток // Радиотехника и электроника, — 1990, Т. 35. — №9. — С. 1829-1833.
4. Марков Г.Т., Бодров В.В., Зайцев А.В. Алгоритм и численные результаты расчета периодической структуры из излучателей в виде ступенчатых рупоров при различных способах возбуждения: Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. — М.: Высшая школа, 1980. — Вып. 4. С. 132-163.
5. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization.// Progress in Electromagnetic Research: PIRS, VOL. 24, 1999, P.P. 39 - 75.
6. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода погружения в теории рупорных антенных решеток // Антенны, —2001. — №2. — С. 7-13.
7. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны, — 2004. — №8-9. — С. 42-47.
8. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М.: Из-во АН СССР,
1961.
9. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения для обобщенной матриц рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Статья в данном Вестнике.
10. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых ТЕ-волнами // Радиотехника, — 2010. — Т. 20. — №4. — С. 30-38.
FOR INTEGRATION OF EMBEDDING EQUATIONS WITH SINGULAR COEFFICIENTS CONSIDERING PROBLEM OF UNREGULAR WAGEGUIDE
Kouznetsov V.L., Filonov P.V.
The analysis of critical sections influence on solution of embedding equations considered. It was shown what singularty of coefficients could be integrated and asymptotics of reflection and transition coefficients corresponded to generic physical picture.
Keywords: embedding equation, critical sections, horn layer, embedding method, singular equation.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных, случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант МГТУ ГА, автор 8 научных работ, область научных интересов - моделирование электродинамических систем и процессов.
