Модификация уравнений погружения в задаче расчета комплексной диаграммы направленности конечной рупорной антенной решетки Текст научной статьи по специальности «Физика»

2007 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА № 120

Серия Прикладная математика. Информатика

УДК 537.874

МОДИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРУЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА КОМПЛЕКСНОЙ ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ КОНЕЧНОЙ РУПОРНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ

В.Л. КУЗНЕЦОВ, П.В. ФИЛОНОВ

На примере РАР дается решение внутренней электродинамической задачи теории антенн, базирующееся на методе инвариантного погружения. Построена математическая модель конечной РАР, учитывающая коллективные эффекты излучения.

Введение

Развитие сверхширокополосной (СШП) радиолокации, базирующейся на использовании наносекундных импульсов, породило новые требования к антенным системам (АС). В частности, возник вопрос об искажении формы сигнала при его излучении рупорной антенной решеткой (РАР). Завал фронта импульса и возникновение тяжелого «хвоста», т.е. значительное уши-рение излучаемого сигнала существенно понижает потенциальные возможности СШП - систем. Поэтому выявление причин уширения импульсов и выработка рекомендаций относительно выбора геометрических параметров АС является актуальной задачей.

АС представляет собой своеобразное переходное устройство, согласующее волноводы со свободным пространством. Учитывая, что с точки зрения спектрального анализа уширение импульса связано в первую очередь с расфазировкой его Фурье - компонент, полезно рассмотреть АС как своеобразный частотный фильтр, характеризующийся коэффициентом передачи K(iw) = A(w) exp {i Ф (w)}.

Поле антенной системы

Рупорная решетка (согласующий слой)

Рис. 1. Система рупоров как согласующий переходной слой

тт d F (w)

Известно, что если групповая задержка t =----------меняется с изменением частоты, то

g d w

форма импульса будет искажаться. Поэтому при разработке СШП - систем следует стремиться к тому, чтобы зависимость arg K (iw) от частоты была близка к линейной. В этой связи задача о расчете комплексной диаграммы направленности АС (диаграммы направленности (ДН) по полю) при монохроматическом возбуждении с высокими требованиями относительно точности описания фазы излучаемого электромагнитного поля приобретает особое значение.

В этой работе поднятая проблема анализируется на примере РАР, в которой система рупоров рассматривается как своеобразный согласующий переходной слой (рис. 1), назначением которого является минимизация эффектов отражения ЭМ-поля, согласование волноводов со свободным пространством.

Отметим, что эффекты взаимооблучения рупоров в решетке нарушат аддитивность величины излучаемого поля по числу излучателей, т.е. комплексная ДН РАР, вообще говоря, отличается от суммы ДН отдельных рупоров. Коллективные эффекты при описании излучения РАР в СШП - режиме могут играть весьма значительную роль, например, вблизи вудовского резонанса (аномалии Вуда).

В работах [1 - 4] был предложен подход к решению этой проблемы, основанный на методе инвариантного погружения, близкий по своей идеологии к подходу к задаче об электродинамических характеристиках интерфейса на плоской границе раздела двух сред [5, 6]. В работах [2 - 4] стенки волноводов и рупоров полагались идеально проводящими, что внесло существенные технические изменения в методику, изложенную в [5, 6]. Был применен аппарат метода интегральных уравнений для вывода одного из уравнений погружения - уравнения для коэффициента отражения РАР. В настоящей работе исследуется подход, позволяющий построить замкнутую систему уравнений погружения для РАР без привлечения метода интегральных уравнений.

1. Уравнение погружения для линейной РАР

В основу вывода уравнения для коэффициента прозрачности РАР положен метод погружения, суть которого заключается в следующем. Рассматривается пространство (множество) решений, сходных между собой задач, отличающихся друг от друга лишь значением одного параметра - параметра погружения. В рассматриваемом случае таким параметром будет высота рупора h - толщина переходного слоя. «Крайними» в пространстве решений будут поля, излученные системой подводящих волноводов (h = 0) и исследуемой РАР (h = H). Далее в этом функциональном пространстве строится уравнение эволюции решений, порожденное изменением значения параметром погружения. Таким образом устанавливается связь между решениями задач, соответствующими разным значениям параметров. При одном из значений параметра (в нашем случае h = 0) решение относительно просто и считается известным. Тогда решение искомой задачи (h = H) получается как решение задачи Коши для уравнения погружения (дифференциального уравнения первого порядка) с начальным условием в виде решения задачи при h = 0.

Заметим при этом, что задача об излучении волноводов (h = 0) значительно проще задачи излучения РАР (h = H).

Таким образом, переход от электродинамических характеристик среза волноводов (h = 0) к соответствующим характеристикам рупоров прослеживается при описании излучения промежуточных систем - элементов семейства усеченных рупоров, получаемых один из другого наращиванием высоты стенок, как это показано на рис. 2.

Если поле в подводящих волноводах Еп и в свободном пространстве Еои1 записать в смешанном д,2-представлении

то основная характеристика РАР - коэффициент прозрачности рупорного (переходного слоя) Т(д, дн) может быть определена как ядро интегрального соотношения

Здесь Н - толщина переходного слоя, высота слоя, высота рупоров.

Для упрощения задачи воспользуемся приемом периодического продолжения структуры, т.е. дополним рассматриваемую РАР, состоящую из N рупоров, слева и справа идентичными системами до периодической структуры. При таком «расширении» антенной решетки, пространственный спектр ее излучения становится дискретным. С точки зрения математики это означает, что мы переходим от интегральных уравнений к матричным. Обратный переход к конечной РАР мы реализуем в конце этой работы.

мости операторов от м>, q, д для простоты обозначений опускаем.

Согласно идеологии работ [5, 6] поле, необходимое для вычисления, рассматривается в бесконечно тонком (виртуальном) зазоре, отделяющем усеченный рупор высоты И от наращенного элементарного слоя. Границы зазора можно рассматривать как полупрозрачные зеркала с

РАР высоты И.

При таком рассмотрении легко показать, что матричные коэффициенты прозрачности и отражения удовлетворяют следующим уравнениям, записанным в конечных разностях:

Е (д, | Е (х, вщхёх,

(1)

(2)

элементарный

слой

зеркала виртуального ‘к Ъ зазора

виртуальный

Рис. 2. Эволюция рупорного слоя при росте параметра погружения.

Виртуальный зазор

Далее необходимо выразить коэффициент прозрачности «наращенной» РАР Т (И = ЛИ) через Т(И) и коэффициенты отражения и прозрачности элементарного слоя: г (ЛИ) и 7 (ЛИ) . Зависи-

коэффициентами отражения г (АИ) и Я (И). Здесь Я (И) - коэффициент отражения усеченной

Я(И Я(И) • ?(АИ)

(3в)

(3а)

Рассмотрим бесконечную сумму ^ \Я(И) • Г (А И)]п, фигурирующую в уравнениях системы

п=0

(3). В работах [2-4] эта сумма рассматривалась как новый неизвестный матричный оператор. При этом система (3), для достижения полноты математической модели, дополнялась уравнением погружения для матричного коэффициента Я (И), полученным с использованием метода интегрального уравнения. Здесь мы рассмотрим другой подход.

Нетрудно убедиться в том, что если эта сумма сходится к некоторому матричному оператору, то последний имеет обратный оператор следующего вида

М = \і - Я(И) г (АИ)]. (4)

Здесь I - единичная матрица.

Справедливость последнего утверждения легко проверить, убедившись в выполнении соотношений:

ММ • ¿[Я(И) • М(АИ)]п = ¿[Я(И) • М(АИ)]п • ММ = I (5)

п=0 п=0

Теперь систему (3) нетрудно переписать в виде:

Тп+1 = ^п+1 • • Тп

Яп+1 = Гп+1 + ¡п+1 • Мп • Яп • І+1 (6)

м,,=( I - а, • гИ+,)

Коэффициенты отражения г (АИ) и прозрачности 7 (АИ) элементарного слоя малой толщины АИ находятся из решения вспомогательной задачи о дифракции поля на решетке из идеально проводящих прямоугольных брусьев [7-9].

Систему уравнений (6) необходимо оснастить «начальными» условиями, т.е. пополнить выражениями для Т0 и Я 0.

Отметим, что хотя приведенная система (6) не слишком удобна для дальнейшего аналитического исследования, однако вполне пригодна для проведения численного эксперимента, т. е. представляет собой математическую основу компьютерной модели РАР.

2. Начальные условия для уравнений погружения модели РАР

В соответствии с идеологией инвариантного погружения траектория в пространстве решений, вдоль которой строятся уравнения эволюции, начинается с решения некоторой упрощенной задачи. В нашем случае в качестве такой упрощенной краевой задачи рассматривается задача об излучении системы обрезанных волноводов (рис. 3).

Поле над волноводами представимо в виде дискретного углового спектра

и (X, 7) = 2 и/^™2') , (7)

п

2р

где дп =------п, N - число подводящих волноводов в исходной РАР, Л - расстояние между

N ■ Л

волноводами,

4к2 - V2 при к > \Чп\

-к2 при к < \Чп\

V = <

п

В подводящих волноводах распространяются как предназначенные для излучения, так и отраженные волны, возникающие из-за неполной согласованности волноводного пространства со свободным. Первые могут быть представлены в виде множества {а1к (р1к (х)егУк2}, где к = 1,Ртах -номер моды волновода, р1к (х) - распределение поля в к -ой нормированной моде I -го волновода конечной системы, I = 1, N, а а1к - соответствующая комплексная амплитуда, полагаемая известной. Отраженные поля представляются аналогично - \ь[ р1к (х) е~гУкг}, с той лишь разницей, что к е N, т.е. учитываются и затухающие моды.

Рис. 3. Система излучающих обрезанных волноводов

Учитывая свойство гладкости решений уравнения Гельмгольца на границе «волновод - свободное пространство» при г = 0 можно записать:

К N ¥ N

Е = ЕЕ а рк (х)+ЕЕ ь рк (х) (8)

к=1 1=1 к=1 I=1

К N ¥ N

,и’ ---- > > І І Ґ~! /Р І "V 1 ______ > > П ь

к=1 1=1 к=1 1=1

Е ^«п е""х = ЕЕукак рк(х) _ ЕЕ ук ьк рк(х) (9)

Далее воспользуемся методом согласования мод. Для этого разложим NЛ - периодические выражения в (5) и (6) в ряд по системе ортонормированных функций {р (х)}.

Напомним, что р1к (х) = 0 вне I -го волноводного сечения, а рк (х)р^ (х)йх = 8кр согласно договоренности о нормировке. С учетом сказанного из (8), (9) получаем:

2 ип Ф 'к = а1 + Ъ[ , (10)

п

Е v,,«„< =1 (ак _ Ьк) • (11)

п

Здесь

Ф п = | ¿хе''-хр'к (х). (12)

п

NЛ

п

п

Исключив из уравнений (10), (11) Ьгк, находим

2

Ф1к I

пип = ак

(13)

Учитывая, что в соответствии с (2) ип = 2 Т{°рЕр, а Ер - фурье - компонента поля в волно-

Р

1 » N ^шах

водах равна Ер = — Г ёхв ЩрХ - 2 2 а1к • ср\ (х), и подставляя выражение для ип в (13), находим

2— ,=, к=1

2

V

1 +

V ^ J

1 К N /

ф ‘:к02-2 К 2 2 (ф Р )ак = а1

2ж р к=1 1=1

(14)

р к=1 1=1

Представим (14) в виде

К N 2 2

к=1 I=1

С Л

2 1+~п-

п V, V к0 J

Ф 1око^ 2 Т О (ф * )* _§ 1

п ~ ^ пр р / '-'к-ко ,1

2- „ ,

■ак =0

(15)

Принимая во внимание произвольность величин ак — амплитуд мод в подводящих волноводах, приходим к следующей линейной системе уравнений для элементов матрицы прозрачности излучающего среза волноводов

2

п, р

Ф 1кт0 (ф1к )* = 2-

п пр\ р /

(16)

В (16) мы положили к0 = к, 10 = I.

Аналогично находится и матричный коэффициент отражения Я 0. При выводе необходимо

учесть, что при отражении все волноводы оказываются идентичными и N следует положить равным единице. Тогда

Я =

1 _ 9 — ист—I

2

(17)

Здесь матрица I - единичная, элементы матрицы и задаются соотношением

икп

4 ¥ ~ 1

:—• 2 <ф!р — ф',р К 7 / ^ к ~ п

М ~р

(18)

где Ф = Ф , а элементы диагональной матрицы с определяются как атк = vkSkm.

3. Переход к излучению конечных РАР

Реализованное в начале работы периодическое продолжение РАР существенно упростило задачу построения уравнений погружения, переводя их из класса интегро-дифференциальных в матричные дифференциальные уравнения. Платой за такое упрощение стало отсутствие у такого излучающего объекта дальней зоны как таковой. Поэтому периодическая линейная РАР может рассматриваться как промежуточная модель реальной излучающей системы. Здесь мы обсудим процедуру обратного перехода от бесконечной периодической к конечной РАР и полу-

п

п

чим выражение для ее диаграммы направленности в дальней зоне через элементы матрицы прозрачности рупорного слоя.

Наложим на рупорный слой идеально поглощающий экран с отверстием, соответствующим линейным размерам реальной РАР (рис. 4). Такой искусственный прием приводит к тому, что в свободное пространство излучают лишь N рупоров, образующих исходную антенную решетку. Поскольку рассматриваемый подход претендует на учет эффектов взаимооблучения рупоров решетки, то возникает следующий вопрос. Излучение каждого из рупоров выделенной группы рассчитывается с учетом влияния соседей как слева, так и справа. В реальной ситуации крайние излучатели испытывают асимметричное влияние, что не учитывается в нашей модели. Эффектом асимметрии можно пренебречь, если N достаточно велико. Исследования для излучающей системы обрезанных волноводов показало [10], что эффекты асимметрии сказываются лишь на характеристиках 2-3 крайних излучателей, поэтому при N >> 1 отмеченными особенностями системы можно пренебречь.

Рис. 4. Иллюстрация перехода к конечной РАР

Поле на верхней границе рупорного слоя, т.е. на границе свободного пространства, может быть представлено в виде

Е°" (х) = £ г'?-х £Т„,К (?,.)

п=—¥ к=-¥

Накладывая экран и раскладывая прошедшее поле в угловой спектр

Е°ш (?) °3[П( х) • Е°ш (х)] находим выражение для поля излучения РАР

(19)

ЕГ (?) = 2р £ Є "(*^5

2р п=—¥

БІЙ С

£ тлЕк

(20)

Здесь Е™ - к- я компонента поля в подводящих волноводах.

Заключение

В работе предлагается новый подход к задаче расчета диаграммы направленности конечной РАР, основанный на методе инвариантного погружения. В отличие от работ [2-4], где для вывода уравнений погружения для матричного коэффициента отражения используется метод интегрального уравнения, здесь описывается алгоритм, использующий пошаговое вычисление обратной матрицы М-1 и позволяющий рассматривать нелинейную разностную систему (6), (16),(17) как полную математическую модель периодической РАР. Фактически развиваемый подход решает внутреннюю электродинамическую задачу теории антенн.

Следует особо отметить, что развиваемый подход естественным образом разделяет вклады структуры поля в подводящих волноводах и геометрических параметров самой рупорной ан-

к

тенны. Это обстоятельство видится весьма удобным при решении задач теории синтеза антенных систем. Представление поля в подводящих волноводах в виде углового спектра позволяет исследовать влияние многомодовости и флуктуационных процессов на вид диаграммы направленности РАР.

Реализован обратный подход от бесконечной периодической к конечной РАР.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн. Антенны, выпуск 2 (48), 2001

2. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны №8-9, 2004

3. Кузнецов В.Л., Визгииа И.И. Метод погружения в задаче взаимодействия излучения с идеально проводящей периодической поверхностью // Научный Вестник МГТУГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79, 2004

4. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгииа И.И. Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Коши // Научный Вестник МГТУГА, серия Математика и физика, №91, 2005

5. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization.// Progress in Electromagnetic Research: PIRS, VOL. 24, 1999.

6. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л., Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности. // Радиотехника и электроника, 1999, т. 44, № 6.

7. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках.- Харьков: Изд-во Харьк. Ун-та, 1973

8. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резонансное рассеяние волн. Дифракционные решетки. Т.1.— Киев: Наукова думка,1986

9. Шестопалов В.П., Сиренко Ю.К. Динамическая теория решеток.- Киев: Наукова думка,1989

10. Кюркчан А.Г. Влияние краевых эффектов на диаграмму антенной решетки.// Радиотехника и электроника, 1980, т. 35, № 4.

MODIFICATION OF IMBEDDING EQUATIONS IN CALCULATION PROBLEM OF HAA BEAM

Kuznetsov V.L., Filonov P.V.

The solution of intern electrodynamics problem of antennas theory based on invariant imbedding method is presented by the example of HAA. The mathematical model of finite HAA include a collective radiation effects is form.

Сведения об авторах

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 90 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.

Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), область научных интересов -моделирование электродинамических систем и процессов.