Метод инвариантного погружения в теории зеркальных антенн Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396

МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ЗЕРКАЛЬНЫХ АНТЕНН

С.В. БОЯРКИН, В. Л. КУЗНЕЦОВ

Предлагается новый подход к расчету электродинамических характеристик параболического рефлектора антенны, основанный на его представлении как секции нерегулярного волновода. Для расчета матричного коэффициента отражения используется метод инвариантного погружения.

Ключевые слова: рефлектор параболической антенны, нерегулярный волновод, метод инвариантного погружения.

Введение

Большинство современных подходов к задаче расчета излучения зеркальной антенны объединяют в группу так называемых гибридных методов, включающих два этапа [1; 2]. На первом этапе с использованием метода интегральных уравнений (или каких-либо его модификаций) вычисляется распределение плотности поверхностных токов на зеркале, на втором - по полученным распределениям токов методами физической оптики (методами геометрической теории дифракции) вычисляются поля в дальней зоне антенны. Проблемы и приближения таких методов хорошо известны [3; 4]. Возникает вопрос о том, насколько естественно и необходимо такое разбиение задачи и обязателен ли этап вычисления поверхностных токов.

Целью настоящей работы является рассмотрение другого подхода к анализу прямофокус-ной параболической зеркальной антенны, основанного на представлении ее рефлектора как неплоского торца круглого волновода с радиусом, равным радиусу апертуры (рис. 1), как секции нерегулярного волновода.

Преимущества такого представления очевидны уже потому, что оно хорошо согласуется со строгим решением задачи об излучении открытого конца волновода, полученным Л. А. Вайнштейном [5]. Отметим, что соответствующие, удобные для практических вычислений формулы приведены и использованы в [6] при расчете рупорных антенн.

Для этого необходимо найти коэффициент отражения параболического зеркала и смоделировать поле облучателя.

Рис. 1. Рефлектор зеркальной антенны Как неплоский торец круглого волновода

Коэффициент отражения мы будем рассчитывать методом инвариантного погружения, хорошо зарекомендовавшим себя при описании нерегулярных волноводов [7; 8]. Простые выкладки, приводящие к уравнению погружения для рассматриваемого случая, будут приведены ниже. Облучатель удобно моделировать цилиндрическим волноводом малого радиуса. В этой работе будем рассматривать случай, когда f/D- отношение равно 0.25, т.е. когда облучатель находится в плоскости апертуры антенны.

Оговоримся сразу, что эффектами затенения излучающего раскрыва зеркальной антенны фокальным модулем мы будем пренебрегать, используя модель облучателя лишь для вычисления спектра волноводных мод, падающих на зеркало.

1. Уравнение погружения для коэффициента отражения параболического рефлектора

Метод инвариантного погружения был предложен достаточно давно [9], но, к сожалению, не получил широкого распространения. Поэтому в этом разделе мы приведем упрощенный вывод уравнения погружения для рассматриваемой задачи, а общий, более строгий подход, можно найти в работах [10; 11].

В теории нерегулярных волноводов давно используется метод обобщенных матриц рассеяния [12; 13], суть которого можно интерпретировать как своеобразное «правило сложения» коэффициентов отражения и прохождения поля для последовательности из двух примыкающих друг к другу неоднородностей (рис. 2).

Для волны, падающей справа на эти неоднородности, коэффициент отражения Н+ (верхний знак указывает направление распространения отраженной волны

- знак «+» соответствует распространению в направлении оси X) выражается через коэффициенты отражения

- Н±, 1 = 1,2 и прохождения - 7г, 1 = 1,2 каждой из этих неоднородностей следующим образом [14]

1

-2

Рис. 2. Неоднородности в нерегулярном волноводе

Н+ = Н+ + 72+ (н+ + Н+Н"Н+ +...) 72".

(1)

Члены, стоящие в скобках в формуле (1), описывают переотражение волн в своеобразном резонаторе, образованном полупрозрачными неоднородностями. При выводе соотношения (1) никаких ограничений на сами неоднородности не накладывалось, поэтому можно дополнительно предположить, что вторая неоднородность имеет малую протяженность, т.е. область Аг, которую она занимает, мала. Учитывая, что в нашем случае профиль нерегулярного волновода меняется непрерывно по Ъ, для второй неоднородности можно записать

Н± (г, Аг) = р± (г) Аг + о(Аг) (2)

Т± (г, Аг) = I + т± (г)Аг + о(Аг) (3)

где I- единичный оператор. Действительно, при Аг ® 0 неоднородность становится полностью прозрачной, и ее коэффициент прохождения стремится к единице.

Подставляя (2) и (3) в (1), сохраняя лишь члены, пропорциональные Аг, и вводя обозначения

- Н+ = Н( г + Аг) , Н+ = Н( г) , приходим к следующему конечно-разностному уравнению

Н+ ( г + Аг) = Н+ (г) +

р+ (г) + Н+ (гУ(г) + т+ (г)Н+ (г) + Н+ (г)р"(г)Н+(г)]- Аг + о(Аг) .

(4)

Отметим, что из бесконечной суммы, стоящей в скобках в формуле (1), мы оставили только два первых члена, поскольку уже третий член - Н+ Н" Н+ Н" Н+ пропорционален (Аг)2 и должен быть отброшен.

Переходя к пределу Аг ® 0, получаем дифференциальное уравнение Риккати для коэффициента отражения нерегулярного волновода, именуемое уравнением погружения

— = р+ + Н+ т~+ т+ Н+ + Н+р-Н+. (5)

сСг

Аналогично получаются уравнения и для трех оставшихся характеристик , Ги Т

образующих обобщенную матрицу S = удовлетворяет матричному уравнению

Г R+ г Л

Г RP

которая, как показано в работе [11], сама

dS(z)=С + адг+Г-ад+вдс-ЗД, (6)

dz

' 1 N V о о о

где С+ и Г представляют собой блочные матрицы С

f + лЛ f + гЛ

pr | и Г ~

V 00) V" ")

Следует отметить, что матричное уравнение (6) имеет универсальный вид. Оно само и его компоненты могут быть использованы для описания взаимодействия поля с различными структурами, такими как фотонные кристаллы [15], периодически возмущенная поверхность [16], рупорные антенные решетки [17], нерегулярные волноводы [7; 8] и т.д.

Специфика каждой конкретной задачи проявляется в выборе базисных функций, через которые выражаются поля, и в явном виде матричных коэффициентов р + и V+ .

2. Представление поля и расчет коэффициентов уравнения погружения

До сих пор, упоминая коэффициенты отражения и прохождения, мы не конкретизировали явный вид этих операторов. Важным моментом для дальнейшего является то, что каждая неоднородность «окаймлена» секциями (быть может, бесконечно короткими, виртуальными) круглого цилиндрического волновода, внутри которых поле однозначно может быть представлено в виде суперпозиции собственных мод, т.е. в виде блочного вектора

E = (eEp eE2,...; ^Е^, ¡^2.....T, где первый блок (eEp g^, . ;) образуют комплексные амплитуды TE-, а второй - ( hE1, hE2.....) - TM-мод.

Тогда коэффициент отражения может быть представлен в виде 4-индексной матрицы ab Rnm, где m - номер, а ß - тип моды (e или h) инициирующего поля, а n и a- соответствующие параметры моды отраженного поля. Само уравнение погружения (5) в этих обозначениях приобретет вид d_ dz

Здесь по всем повторяющимся индексам предполагается суммирование.

Обратимся теперь к выводу матричных коэффициентов уравнения (7). В соответствии с

определением р+ и V+ , данным в уравнениях (2), (3), эти коэффициенты могут быть представлены как следующие пределы:

+ / \ 1- aßR+,m(z,Dz) + ( \ r aßTn+,m(z,Dz) aßP+ m (z) = Jim"—-7-, aßV +, m(z) = --(8)

Dz®0 Dz Dz ®0 Dz

Это означает, что коэффициенты отражения aßR+m (z, Dz) и прохождения aßTn+m(z,Dz) малой секции нерегулярного волновода следует вычислять с точностью до членов порядка Dz ,

пренебрегая членами более высокого порядка малости. Именно это приближение позволяет

+ +

значительно упростить задачу и получить аналитические выражения для р и V .

(aß RnmT)=aßP+m +agRnp gßV pm +agVnp gß R+m+agRnp g6 P pk 6ß Rkm . (7)

1 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 1 2 1 1 1 1 1 1 г+Аг

1 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 х. 1 X» 1 1 1 1 ъ

Рис. 3. Схема ступенчатой аппроксимации элемента зеркала

еф п (р( ;а )=-

В классических методах расчета нерегулярного волновода используются различные аппроксимации профиля вол-новодной секции: кусочно-постоянные (в методе согласования мод), непрерывные в методе поперечных сечений и методе интегральных уравнений.

В работе [8] на примере плоского рупорного перехода показано, что все эти подходы приводят к одним и тем же аналитическим выражениям для коэффициентов уравнения погружения. Поэтому здесь мы выберем наиболее простой метод - метод согласования мод для схемы ступенчатой аппроксимации нерегулярного волновода (рис. 3).

Методика расчета такой неоднородности хорошо известна [13]. В качестве входящего поля рассматривается одна из собственных мод волновода ТЕ - или ТМ-типа:

Рл

^(хп-р)

1 а

ф п (р,р ;а)=-

х2 -1 р ]1(Хп)

тх (Мп-Р)

008(() ■ р +

2 Хп

гх (х

п- )

а

х2 -1 а]1(Хп)

8ш(() ■ ((,

Р

Ь

нормированная на единицу

р а ]2(Мп)

еоБр) ■ р + .

Ъ ^п-) 1РМп' Р^ ^2(Мп)

■ Б1п(р) ■ (р

афт ■ ь ф^

а2р

I I аФ т (Р,(; а) ■ рФ з (Р,(; а> р^ ёр = 8ар-8т5.

Здесь а - радиус сечения рефлектора в точке г на левой границе элементарной неоднородности. Далее через Ь = а( г +Аг) будем обозначать радиус сечения рефлектора на правой границе неоднородности.

Взаимодействие волны со ступенчатым участком волновода протяженности Аг включает в себя распространение на однородных участках с соответствующим изменением комплексной амплитуды волны и трансформацию поля в другие моды в плоскости сочленения. В нашем случае малого Аг коэффициенты связи собственных мод в сопряженных волноводах а 2р

а я Стп(а, Ь) = || аФт(р, р ; а) ■ р ¥з(р, р ; Ь) ■ р ■ ёр^ ёр принимают особенно простой вид ар п п я

линейных по

0 0

Аг выражений:

ееСтп(а,Ь) =

2 а Т,. а. Хт■ Хп'Ь'^ (Хп'Ь)

^1(Хп)

Хт2

Хп2

Хт2 - (Хп

Ь >2

2/

а

■ (еертп) ■

Аг;

ЬеСтп (a, Ь) =

2 ■ А(м,- -)

о

М,

2/

а

■( е Ятп ;

ЬЬСтп (а ь) = 2

1па )

{Мп1ь) }\{М" Ь' 2/ . я

мп^2(мп)т-мп а? =а I ртп

Аг.

2

1

1

1

1

2

а

n Ф m

Здесь буквами / и ^обозначены корни уравнений У1(...) = 0 и J1(...) = 0 соответственно,

Г 2 2

2 / - (1 -mm)

eeßnm = \ a-1 -1' / - /iL)

1/ a, n = m

- 2*2,

ßnm —

hhHnm

a- (хП -cä)

2 / a, n — m

n Ф m

he

ßnm —

2

m —1

При преобразовании соотношений (9) учтено, что a(z)- радиус сечения параболоида в плоскости z = const определяется формулой (a(z))2 = 4 f ■ z и разность радиусов сопрягаемых волноводов (рис. 3) b- a = a(z + Dz)- a(z) » »(4 f/a) ■Dz - малая величина.

Записывая амплитуды отраженного и прошедшего полей для инициирующей m — й моды

b -типа (ТЕ или ТМ) в виде Y^La^n^j'A apfrnm(z)^Dz и ^La^MvA aP^U^ Dz

a n a n

соответственно, используя условия гладкости поля в плоскости сочленения и ограничиваясь лишь членами первого порядка малости по Dz, находим явный вид коэффициентов уравнения погружения (5) (табл. 1).

Таблица 1

Волны TE типа

Волны ТМ типа

eetlk

. a с — 2 f 0

— 1kk SH + ee Prn —"ee ß

f

he^lk — 'he ßkl

a

— — L ß ee plk — a ee ßkl'

heplk — T 'he ßkl'

kl

hh

^lk — 1kk dkl + hh Plk

2 f

a

ßk

hh kl

1 + К

K

t+ — 0

eh Llk~ v

f

k

1 — -

k

f k

a

_ ____'d

a kl a к, k

hh pkl — 'hh ßkl a

к

к

f ka d ----_' d

a к

kl

eh

Рш — 0

к

к

hhtlk

hh

Plk

— 21kad — т+

k kl hh lk

hh Pl+k

ee^lk — 2lKkdkl ee ^lk

Plk —l ee Plk

к

k2 —

fy Л ck

a

V У

2

Здесь kT —

m) , а k

2p

I

волновое число.

3. Некоторые результаты численного эксперимента

Для удобства дальнейших расчетов перейдем к безразмерным переменным, проведя нормировку всех геометрических параметров задачи на А - волновое число для поля в свободном

пространстве. Очевидно, что безразмерными станут и коэффициенты уравнения погружения.

a

1

a

1

2

Функционально их (р и Т ) вид не изменится относительно того, что приведено в табл. 1.

а У

Следует лишь заменить выражение для К на М —^т , где а - безразмерный радиус.

Достоинством метода погружения является то, что с его помощью удается свести краевую задачу для поля к задаче Коши для коэффициентов отражения и прозрачности (в нашем случае только для коэффициентов отражения). Поэтому уравнение (7) следует «оснастить» начальными условиями. Воспользуемся следующим приемом. Заменим маленький кусочек поверхности в вершине параболоида на плоский. В наших расчетах безразмерное расстояние от вершины до

плоскости выберем равным 10-2.

Рис. 4

б

а

Рис. 5

б

а

Рис. 6

Тогда в качестве начальных условий для ap Rnm можно выбрать диагональную матрицу с элементами, равными -1. Безразмерный фокус зеркала был выбран равным 33, а число учитываемых мод для каждого типа волны - 23. Эти параметры соответствуют тому, что в апертуре антенны учитываются 20 распространяющихся и 3 неоднородные моды TM . В отношении TE моды эти числа составляют соответственно 21 и 2.

На рис. 4, a приведены графики зависимостей модулей коэффициентов отражения из первой моды в первую для волн TE и TM типов. На рис. 4, б те же графики приведены в увеличенном масштабе вблизи критических сечений Zj = 0.02568 для TE и Z2 = 0.11123 для TM волн.

На рис. 5, a и 5, б показаны изменения аргументов коэффициентов отражения тех же волн. Видно, что в областях, где поля становятся неоднородными, фазы коэффициентов отражения равны Р, т.е. сами коэффициенты отрицательны. Справа от критического сечения наблюдается монотонный рост фазы.

На рис. 6, a и 6, б представлены виды зависимостей модулей aaR31 и aaR 14, определяющих перекачку поля из первой и четырнадцатой мод в третью моду для TE и TM волн. Видно, что в критических сечениях третьей моды эти коэффициенты устремляются к нулю. Аналогичное имеет место и для других мод. Это означает, что участок параболоида глубиной

z^ = ткI(4 • f) для ТЕ волн (или z^ = j(4 • f) для ТМ волн) не преобразует энергию прочих

облучающих его мод данного типа поля в k -ю.

Заключение

В работе предлагается новый подход к решению внутренней задачи электродинамики симметричных зеркальных антенн, основанный на представлении параболического зеркала, как секции нерегулярного волновода. Для расчета коэффициента отражения зеркала предлагается использовать метод инвариантного погружения, сводящий краевую задачу для поля к задаче Коши для коэффициента отражения.

Предложенный подход хорошо согласуется с известным решением задачи об излучении открытого конца круглого волновода и тем самым позволяет надеяться на получение полного строгого решения задачи об излучении параболической зеркальной антенны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Davidson D.B. Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 2005.

2. J. Liu and J.-M. Jin A novel hybridization of higher orderfinite element and boundary integral methods for electromagnetic scattering and radiation problems, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 49, pp. 1794-1806, Dec. 2001.

3. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. Введение в физическую теорию дифракции. - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2012.

4. Неганов В. А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики. - М.: Сайнс-Пресс, 2008.

5. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. - М.: Сов. Радио, 1966.

6. Скобелев С.П., Виленко И.Л., Сусеров Ю.А. и др. Комбинированный подход к анализу осесимметричных рупорных антенн // Радиотехника. - 2007. - № 4. - С. 82.

7. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых TE-волнами // Радиотехника. - 2010. - № 4.

8. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнение погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56. - № 9.

9. Амбарцумян В.А. Об одном случае задачи о рассеивающей и поглощающей среде конечной оптической толщены. - Известия. Академия наук Армении, 1944, - № 1-2.

10. Barbanenkov Yu.N., Kouznecov V.L., Barbanenkov M.Yu. Transfer relations for electro- magnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization, Progress in Electro- magnetic Research: PIER, Vol. 24, 1999.

11. Barabanenkov Yu.N., Barabanenkov M.Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and Transfer Matrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures // PIERS proceedings. Cambridge, 2006.

12. Амитей Н., Галиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. - М.: МИР, 1974.

13. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митры. - М.: МИР, 1977.

14. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: МИР, 1974.

15. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 123. - Вып. 4. - С. 763.

16. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двух - масштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника. - 1999. - Т. 44. - № 6.

17. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны. - 2004. - № 8-9(87-88). - С. 42.

INVARIANT IMBEDDING METHOD IN THEORY OF REFLECTOR ANTENNAS

Boyarkin S.V., Kuznetsov V.L.

A new method for compute of electrodynamics' characteristic of parabolic reflector, exanimate as section of irregular waveguide, is proposed. The value of matrix reflection coefficient is calculated by invariant imbedding method.

Key words: parabolic reflector antennas, irregular waveguide, invariant imbedding method.

Сведения об авторах

Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., окончил МГТУ ГА (2010), аспирант МГТУ ГА, область научных интересов - математическое моделирование взаимодействия поля с пространственно-неоднородными структурами.

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно-неоднородных случайных и периодических средах, УВД, безопасность полетов.