Проблемы наносекундных технологий в радиолокации. Рупорные антенные решетки Текст научной статьи по специальности «Физика»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 145

УДК 537.874

ПРОБЛЕМЫ НАНОСЕКУНДНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В РАДИОЛОКАЦИИ.

РУПОРНЫЕ АНТЕННЫЕ РЕШЕТКИ

В.Л. КУЗНЕЦОВ, П.В. ФИЛОНОВ

Исследованы некоторые причины разрушения наносекундных импульсов при излучении антенными решетками. Основной причиной полагается дисперсия сигнала, связанная с резонансами Вуда в окрестностях рэлеевских длин волн. На основе метода инвариантного погружения строятся уравнения для описания характеристик рупорной антенной решетки (РАР). Предложено решение базовой задачи о дифракции на решетке из идеально проводящих брусьев с использованием периодичных базисов. Приведены результаты экспериментов.

Ключевые слова: наносекундная радиолокация, рупорная антенная решетка, резонансы Вуда.

Введение

В последнее время в научных работах большое внимание уделяется наносекундной радиолокации. Характеристики сверхкоротких импульсов позволяют повысить эффективность и разрешающую способность радиолокационных систем. Однако существующие модели излучения антенных решеток не позволяют полностью описать процессы, которые проявляются в случае излучения наносекундных импульсов. Для наносекундных импульсов, характеризующихся широким спектром, важно, чтобы между компонентами этого спектра фазовые соотношения сохранялись. Нарушение этих соотношений может приводить к уширению импульса во времени и потере основных преимуществ подобных сигналов. В классических моделях узкополосных радиолокационных систем так остро проблема не ставилась, полагалось, что частотная дисперсия мала. В этом смысле эти модели оказались не адекватными новым задачам сверхширокополос-ной (СШП) радиолокации. Для уменьшения негативных эффектов может ставиться задача выбора формы импульса или синтеза антенной решетки с заданными характеристиками. Для решения подобных задач необходимо иметь удобную в использовании и расчете математическую модель антенной решетки, адекватно отображающую расфазировку спектральных компонент сигнала при излучении.

Основная причина разрушения сверхширокополосных импульсов, по нашему мнению, лежит в нелинейности фазового сдвига по спектру излучаемого сигнала, вызванного поперечными аномалиями Вуда, связанными со взаимооблучением элементов решетки. Мы рассматриваем трансформацию импульса при излучении как результат воздействия на него оператора Т(т)= Л(т)в1ф(ю') (рис. 1), где ф(ю) - фазовый сдвиг для различных компонент спектра. Если Ф(о) ~ о, то форма сигнала не изменяется, а происходит только «смещение» по времени. В случае отклонения от линейной зависимости форма сигнала может изменяться в сторону «уши-рения» во времени [1]. Схематично эти искажения можно представить как уход от линейной зависимости в окрестности резонансных точек (рис. 2). В нашем предположении нелинейное поведение ф{а>) имеет периодичный характер. Описание этих аномалий выглядит естественным образом в методе инвариантного погружения.

Генератор .Антенная Свободное

ранетка пространство

ЕГ(м)

ад

&(й))=Т(й) )•[/(©)

Рис. 1. Трансформация импульса при излучении

Рис. 2. Отклонение фазового сдвига от линейности

1. Рупорная антенная решетка как согласующий слой. Метод погружения

Рассмотрим задачу об излучении импульса рупорной антенной решеткой [2]. Такая геометрия антенны позволяет повысить эффективность излучения за счет лучшего согласования поля в подводящих волноводах со свободным пространством. Для описания коэффициентов прозрачности Т (ю,д,д') воспользуемся приемом периодического продолжения решетки на бесконечность. Такое представление позволяет представить поле в свободном пространстве дискретным набором плоских волн. При этом оператор Т принимает матричный вид Т(т,ц,ц’) ® Тт,(ш). После определения матричного коэффициента прозрачности можно перейти к конечной решетке путем наложения непрозрачного экрана [3].

Согласно идеологии метода погружения [2,4,5] мы можем свести краевую задачу к задаче Коши для уравнений погружения. При этом в качестве начального условия будем рассматривать систему усеченных волноводов. В качестве параметра погружения возьмем высоту рупорного слоя И е [0, Н]. Для получения уравнений погружения нам необходимо построить зависимость Т (г + Лг) от Т (г). Поскольку эволюция Т (г) зависит от коэффициента отражения рупорного слоя сверху (Я(г)), то в дальнейшем будем рассматривать эволюцию этих параметров совместно. Согласно [2,4,5] уравнения погружения имеют вид

Т(г + Л) = г(Лг/2 (я(г)г(Лг))к V(г)

V к=0 ) (1)

Я (г + Лг) = г (Лг) + г (Лг )|^2 (Я(г )г (Лг ))к ^|^(г )г (Лг)

где ряд

2 (Я( 2)г (Лг))к (2)

к =0

описывает многократное рассеяние поля в виртуальном резонаторе из полупрозрачных зеркал. Нижнее зеркало резонатора образует срез рупоров, а верхнее - элементарный наращенный слой с коэффициентами отражения и прозрачности г,г. В [4,5] данный ряд исключался из полученной системы, что позволяло получить отдельное уравнение для Т (г)

Т (г + Лг) = [Я(г + Лг)- г (Лг )]г— (Лг )Я — (г )Т (г), (3)

а для определения Я(г) строилось дополнительное уравнение Риккати [4,5].

В новом подходе предлагается представить ряд (2) как сумму геометрической прогрессии с коэффициентом Я(г)г (Лг). Можно показать [6], что такой операторный ряд сходится, если спектральный радиус Я ■ г меньше единицы (¿(я ■ г) < 1) и в этом случае имеет место

2 (Я ■ г У= [! — Я ■ г ]-1 . (4)

к=0

Обозначим новый оператор как М = ! — Я ■ г и перепишем систему (1), обозначая элементы, связанные со слоем г индексом п и со слоем г + Лг индексом п + 1, тогда

Т—+1 = гп+1 ■ М—+1 ■ Тп Я—+1 = Г—+1 + г—+1 ■ М—+1 ■ Я— ■ г—+1 . (5)

М—+1 = !—Я— ■г—+1

Полученная система представляет собой рекуррентные соотношения, которые позволяют проследить эволюцию параметров антенной решетки при увеличении высоты рупорного слоя.

Подобная система также пригодна для описания антенных решеток более сложной геометрии путем описания изменения элементарного слоя с увеличением высоты. В силу малости Лг «наращенный» слой можно представить как решетку из брусьев прямоугольного поперечного сечения малой высоты. Путем целенаправленного выбора изменений параметров решетки из брусьев от слоя к слою можно получать различные геометрии рупорного слоя, в том числе с неоднородным вдоль оси г диэлектрическом заполнением.

Так как система (5) описывает итерационную процедуру, то при расчетах погрешности будут накапливаться. Это ужесточает требования к точности расчета параметров 1п и гп, которые

описывают рассеяние плоской волны, как однородной, так и неоднородной, на решетке из брусьев.

2. Задача дифракции на решетке из брусьев

Запишем представление полей в следующем виде:

Е = '(%У~К02) к „ А *пУ+Кп2)

^пад ^

Е = V

прош

\Е = V ае

’ отр / 1 п

п

, К (z + J

пУ п\

а е

А*пУ-кп (г+И))

(6)

Е

внутр

V

к=1 '

ске

2п

где Чп= ~А п + д°К п

*

Л

Решение данной задачи хорошо описано в работах [7, 8], однако, численные эксперименты и анализ предложенного решения продемонстрировали некоторые проблемы применимости этих решений в уравнениях погружения (5). В частности, это выражалось в расходимости ряда (2), при рассмотрении случая падения неоднородной волны. Так же, по нашему мнению, проблему составляет переопределенность полученной в [7, 8] системы уравнений.

Описание этой проблем можно представить следующим образом. Условия сшивки полей применяются отдельно на щели и на металле (рис. 3), что приводит к 2-м бесконечномерным системам. При учете конечного числа мод она становится переопределенной. Далее в этих работах используется эмпирическое правило по отбору количества уравнений определяемого относительной величиной

и^и

Л 1'

щели -

й/

|р

/Л'

Рис. 1. Решетки из брусьев

3. Использование Л - периодичных базисов

Для снижения остроты проблемы переопределенности системы используем следующий прием. Запишем условия непрерывности поля на верхней границе как систему уравнений:

-%у

лУ _

/п["7У] ,уев°

о , у е д

(7)

2

е

п

где Г)0 = [0, й ], Д = [й, Л- й ]

Умножая (7) на е щ°у , приводим левую часть к виду Л - периодичной функции и, как следствие, правая часть уравнения имеет тот же период. Разложим уравнения по Л - периодичному базису и получим выражение для ап

а„

1

к=1

ск + Лке‘ик

к

Лпк .

Для непрерывности производной поля применим тот же подход

■к 0 ег9°у+ У а к пещпУ

0 / і п п

к=1

к

■ск ІБІП

пк ' -у.

(8)

(9)

Неизвестный скачок производной на металле g (у) не позволяет получить замкнутую систему уравнений, поэтому воспользуемся следующим искусственным приемом. Наложим на уравнение (9) «маску» путем умножения на П (у; Л) = & (у + Лр)-&(у - й + Лр ),р , где &(у) -функция Хевисайда

2п ^

і—пу

апкпе Л

пп

п

к

. і пк

П (у;Л)=У °к 14^"- ск )1п[уу ]е ~щ<р п(у; Л). (10)

Разложим полученную систему (10) по Л - периодичному базису и, подставляя выражение для ап из (8), получим:

-2к 0 вп°+ Л У к р

У (ск + аке °к Урк

.к=1

Впр= У О к [ ¿ке

к=1

к

с и I Л . .

к рк

(11)

Для условий на нижней границе выкладки проводятся аналогично. Из условия непрерывности поля находим

1

К = Л У

Л к=1

¡а, к с*е +ак

пк

(12)

а из непрерывности производной

У

к.

У (Лк + ске г°к Урк

к=1

к=1

к

Впр= У ак [ ске °к - ¿к IЛрк

(13)

после замены переменных хк = ск + ¿к,ук = ¿к — ск и модификации уравнений приходим к

'2к 0 Вп°+ Л У к р Л р

- 2к 0 Вп°+ Л У к р

У хк (1+е іа к )л

.к=1

У ук(е 1 а - 1)л

к=1

В, = У'

к=1

Впр = У акук [е°к -1|Л

к=1

к

к

11Л

рк

рк

Представим систему (14) в матричном виде с новыми обозначениями

[ Л М (I+ Е) + аЛ(і - Е )| х = Р [-ЛМ(I - Е) + аЛ(і + Е) ^у = -Р

(14)

п

р

р

io. h

здесь

I.=5 ,к =5 к ,Е =5 e ‘ ,о.=5..o ,M=BkA,F = 2к Бг.

І] i] ’ i] i] i ’ i] i] i] i] i i О lO

Полученные на основе этих уравнений решения показывают хорошее соответствие результатам работ [7, 8] и претендуют на более высокую точность.

4. Анализ численных экспериментов

Уравнения (15) решены численно и показали адекватное соответствие при различных значениях параметров решетки и падающей волны. Результаты хорошо согласуются с работами [7,8] и показывают более высокую точность (приблизительно на 2 порядка) при проверке теоремы Пойнтинга. К особенностям расчетов следует отнести эффект ухудшения обусловленности системы уравнений при увеличении количества рассматриваемых мод. На основе экспериментов определено, что при рассмотрении менее 81 мод обусловленность системы достаточна для использования прямых методов решения. Для больших размерностей следует применять методы регуляризации, обеспечивающие сходимость решения.

Результаты расчетов для случая нормального падения внешней волны при параметрах решетки Л = 2p, d = 0.7Л, h = 0.03Л и для количества мод n = 21 представлены на рис. 4. Хорошо просматриваются резонансные эффекты при целочисленных значениях аргумента, описывающие момент перехода соответствующей волны из неоднородной в однородную.

На соответствующих графиках

Mode □ Mode 1 J ' l T

для фазовых соотношений (рис. 5) можно наблюдать предполагаемые отклонения от линейной зависимости в окрестностях резонансов. Отметим, что фазовые соотношения между точками резонансов являются кусочно-линейными функциями.

ff

./ У ! п (.( : ( :/

//

/

Рис. 2. Амплитуды рассеянных мод

5. Наращивание решетки из брусьев методом погружения

Для проверки полученных соотношений (5) рассмотрим следующую тестовую задачу о дифракции поля на решетке конечной толщины. Нетрудно заметить, что рассеяние на решетке толщины И можно рассчитать как непосредственно по формулам (15) (эталонное решение), так и получить из системы (5), представив исходную решетку как набор т подрешеток толщины И/т. Каждая пара таких подрешеток разделена виртуальным резонатором, описываемым в (5) матричным оператором М-1. В соответствии с замыслом предлагаемого численного эксперимента согласование результатов будет

Рис. 3. Фазовые соотношения для рассеянных мод

свидетельствовать о работоспособности метода погружения для описания РАР. В работе рассматривались задачи по сшивке т слоев, где т = 2,10,100.

Рис. 4. Сравнение амплитуд отраженного поля для исходной и полученной методом

погружения решеток

Рис. 5. Проверка теоремы Пойнтинга

Из графиков, представленных на рис. 6, видно хорошее совпадение с эталоном.

Проверка теоремы Пойнтинга показывает медленный рост ошибки с увеличением т - количества подрешеток (рис. 7), в худшем случае (т = 100 просчитано 99 виртуальных резонаторов) ошибка достигает в окрестности резонанса 2%. Для уменьшения погрешности необходим критерий оценки для выбора толщины элементарного слоя (ЛИ ), при котором эта ошибка будет близка к минимальной и позволит выделить резерв для увеличения числа учитываемых мод дифрагированного поля в окрестности резонансов.

Заключение

Рассмотрена гипотеза о причинах разрушения наносекундных импульсов при излучении антенными решетками, связанных с вудовскими резонансами. Предложена математическая модель на основе метода погружения для описания рупорной антенной решетки, учитывающая влияние резонансных эффектов на сигнал. Получено решение базовой подзадачи о дифракции волнового поля на брусьях прямоугольного поперечного сечения на основе Л - периодичных функций.

Проведены численные эксперименты, показавшие более высокую точность предложенного метода. На основе полученных уравнений рассмотрена тестовая задача о наращивании решетки

из брусьев методом погружения, показавшая адекватность предложенной модели. Подтверждена возможность применения метода погружения для описания процесса излучения сигналов рупорными антенными решетками с учетом влияния резонансных эффектов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М., 1957.

2. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн // Антенны. 2001. № 2 (48).

3. Кузнецов В.Л., Филонов П.В., Модификация уравнений погружения в задаче расчета комплексной диаграммы направленности конечной рупорной антенной решетки // Научный Вестник МГТУГА, серия Прикладная математика и информатика, № 120, 2007.

4. Бахрах Л. Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) // Антенны. 2004. № 8-9.

5. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Коши // Научный Вестник МГТУГА, серия Математика и физика, №91, 2005.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М., 1984.

7. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резонансное рассеяние волн. Дифракционные решетки. Т.1 - Киев,1986.

8. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. - Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1973.

THE PROBLEMS OF NANOTECHNOLOGIES IN RADIOLOCATION. HORN ARRAY ANTENNAS

Kuznetsov V.L., Filonov P.V.

Some problems of distortion of nanosecond impulse radiated by antenna are considered. As a main reason we propose a dispersion of signal connected with Woods’s resonances. On basis of embedding method the equations for coefficients for horn array antenna were built. The solution of basic subproblem of diffraction on ideal conductive lattice is shown. The results of numerical experiments are presented.

Сведения об авторах

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных, случайных и периодических средах, безопасность полетов.

Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), аспирант МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - моделирование электродинамических систем и процессов.