CC BY
25
УДК 517.9: 62-50
УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ, СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
© 2021 М.М. Семенова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия
Статья поступила в редакцию 18.10.2021
В статье излагается метод декомпозиции нелинейных разнотемповых систем, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуется управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость системы вблизи начала координат. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.
Ключевые слова: декомпозиция многотемповых систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, устойчивость, стабилизируемость, асимптотические разложения. БО!: 10.37313/1990-5378-2021-23-6-111-115
ВВЕДЕНИЕ
В связи с интенсивным развитием промышленности, электроэнергетики, теории нелинейных колебаний, автоматического регулирования, оптимальных процессов развивается теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и ее методы активно применяются для решения задач из различных областей естествознания и техники. Для анализа нелинейных разнотемповых систем применяется метод декомпозиции, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Декомпозиция подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости, наблюдаемости, стабилизируемости трехтемповой нелинейной автономной системы.
Цель работы:
• Понижение размерности задачи управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости нелинейной трехтемповой автономной системы так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.
• Получение достаточных условий, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости сингулярно возмущенных систем.
РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотрим модель трехтемповой системы вида:
еу - а! (у, г, у, z, г, р) = ^ {у, zr е,
£ЦZ - a2(y,Z,y,Z,E,fi) = bz(yrz,E,iL)u,
W = <p(y,Z,£,fi)r (1)
Семенова Марина Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]
где у Е У а К™1, г Е 2 а М™" - переменные состояния, и Е и с - управляющие воздействия, ж Е V с Щр - измеряемая координата, Е Шп*,а2 Е Ш^.ф Е ПЬ'3 - векторные функции, Ь1г Ь2 - матричные функции соответствующих размерностей, равномерно непрерывные и ограниченные с достаточным числом частных производных по всем аргументам, - малые положительные параметры,
£ е е е №.
Введем обозначения, = угх2 = ¿- Получим трехтемповую систему:
У X ^ ^ X £-Х ^ {у, X ^ X 2 ^ JU■
+Ь1(у,г1£,р)и,Ерх г = ах(у,ггх1гхг,£,р) +Ьг(у, г, е, иг = ф(у, г, е„ р). (2)
Пусть для системы (2) выполняются следующие условия [1,21:
Уравнение а2 {у,£,хЛ,х7, 0,0) = 0 имеет
_ т^Со.о? л
изолированное решение х2 — гц {у^гХ^.
области П = {"("у.г г -X" н | -X л | Е-, и):
В
х2 - у.г.х^ | < рг,£ £ 6 (0,^]}
функции а1га2 имеют достаточное чис-
ло равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным. Собственные значения
Л1 - ¿¿(у^х^.г - 1, т
матрицы
^ (у, г, ^ (у, г,*,), 0,0) удовлетворяют неравенству
Не Я| < -рг < 0. При выполнении таких условий система
У ~ ^ % ^ г ^^ ^ ^ 1 Сз^"' ^ ^^ % ^ г ^х
имеет интегральное многообразие медленных движений
хг = $ P]jдвижение по которо-
му описывается системой
у =x1,¿ = h2(yrZrXlrEr¡l)r£X1 =
= OjCy, Z, xt, h2(y, z,xx, £,p),£, цУ (3)
Пусть для системы (3) выполняются следующие условия: Г) Уравнение
a^^,zrx1,I¿^,''i(y,z,x1),0,0\ = 0 имеет
изолированное решение = 2') В области
ílj = [(y,z,x1,Eli¡): - tif'B)(y,z)I <pvs E (0,sj,fi £ (0,pj1],
< — До) функции Oj, имеют
достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным.
3') Собственные значения А;=Л;("у,z),
z¡--да, , т (0,0) f Ч
i = l,n матрицы (у, z, пг (у, г},
h!^ a^(y,z, ft^0'0'(yj z), 0,0) удовлетворяет неравенству fíe A¡ < —/?г < 0.
При выполнении таких условий система (3) имеет интегральное многообразие медленных движений = h±(yrz, £r fi).
Функции fij, h2 определяют интегральное многообразие самых медленных движений х, = hl(yg,Vg,E,i¿),x2 = h2{Vq.Vq,
h1(v¿,VQ,E,ii),£'l')> движение по которому описывается системой
У = = k^V^V^k^V^V^E,
fí)r Er {/). Используя метод декомпозиции [4], основанный на теории интегральных многообразий, произведем расщепление управляемой системы (2). Произведем замену переменных вида у = 1?о + + = V¡ + £H*Í2) + s{iH${2),
В результате такой замены, получим систему блочно-треугольного вида:
¿о = fcifoVo^ft) -
vl,Er fl )U, EVt = А1 , Vlr Е, fí) +
+ Bi(.v0'v0'vi'v2>£' ¡i)ur si¿v2 = A2(v>q, v£,V1 ,V2,£,il) + B2(Vo,Vq1£,IJ)U1W =
= Ф1 i , vx, v2, £, fi), (4) где A± = a1(y^ry^rv1 + ^(у^Уо ЬЫ'Уо'»! + h\>E>t*)>t*) - а1(_Уо>Уо>
hi Ы'Уо' E> k2 (Уо1^ Уо> hi> Е> Е> ¿0 -
E,fi), E,ii) - h2 (у,1, у0г ,ht (Уо1, у02, г, ¡1}, Е, /i)] , А, (^о, Vq, О, fi) ЕЕ 0rA2(yarVarVlrV2r = а2 Оо1 + ЕН^ + EiiH^,vl + £ ■ + £fiHim, Vl + + pHf, v2 + h2,E, p1} - a2(y£ + sH^ + E/IH^V* +
+ SfiH^,Vl -I- + flHf, k2, E, fi) - Efl^ +EiI0&t + £VH'iK2"J'V1 + hi + PH1'V2 + h2'
- OjOjJ + гЛи1^ + +
sH0(2-) + + + ¡¿Hlrh2r£rii)r
A7.iV0>E> Z1) = 0>B3(y£,VQ,E,tt) =
= Ь2Ы + + Et*Hiw>vi + +
Д^вш^о + -н «доДз^р).^ =
Функции Я020).У = 1^2; i/^ равномерно непрерывны и ограничены с достаточным числом частных производных по всем аргументам. Функции hj, j = 1,2; Н{ можно искать в
виде асимптотических разложений [5]
h2(y, Z.X^E, fi) = Sfexo^^t (_y,Z,Xlr£),
hi Ы'УЬ £> = ^ hlk (уо1, yl, p),
Zk>aVkHlk(_y£r y£, У1, v2, e), нo(j) (У01, y£,yi,v2,Erfj) =
= i У«> yo'yi>v2> £J-1 = °Д;
y^f = + eH^J = 1,2, из соответствующих уравнений
+ ^^^гСy,zrxus,t0 + fij^ ■
a^iy.z.Xt.E.ii) = a^iy, z,xl,h2, e, fi); 0b1' + h2 (Уд1, уэ2,
К (Уо - Уо'Е' I*)'Е> Р) = ai Ы' У о' (Уо' Уа'
iOr h2(Уо -Уо> kiЫ'Уо>Е' А1)'ЯЬ Е> Р)-.
3liD'.ß , f 1 2 \ ■ W 1 2
3t.;
зд
____i |г л
1'
= Дй*,/ = 1,2; ДЛ^ = ^(Уо'Уо'^' м) -hj(г0\ v2, £, р), hh\ = h2(yjf,у2, h±(Уи1, Уо' Е,р),£,р)- h2 fo1,i?02, ht (т-*, vi, г, р),
SM,
öh:
£,р); Ер h-L (yj, у02, Е, р) 4 Ер ■ ^гСУо'Уо' vi + К(У1,У%,£,(Г),£, р) + "¿J* «1 (Уо1' Уо-^1 + К (Уо' Уо'А1)(Уо -
^гС^о^о^!,!^,«,^) = Дй.2,/ = 1,2;
= й^Оо1 4 еН^ю 4 4 еН^ й 4
«рЯоЮ^Р) - м); ДЛ-2 =
Ь2Оо + гЯо(1) + + гйо(й + е ■
■)'+ Ы^о + сНо[1) + ^^оСО'^о +гДвСй + Е' !*)•¿0 - Ы> Уо'
П + ^(Уо'Уо'£' м)- Е. р); 'ч(Уо'Уо'
Е,Р) 4 + ^(Уо'Уо'^
г, д) 4 ^ а1 (Уо'Уо' и1 + (Уо'Уо' М), ^г (Уо>Уо> + 'чСУо'Уо'£'
^0(1) + £рН^,Т?£ + 4 ЕрН$(2у V!
р) -\-рН1,1?2 + Ь2(уд 4 £ ■ + ерН^,VI 4 гЯД-г^ + £рН1т,л?х 4
+^1(Уп -Уо -А») + ЯЬ А») - «чСУо I
У1, ^ 1 + ^1(Уп'Уо'^г (Уо"' Уо2' + (Уо'Уо' £> Р). £,р),£,р)-
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
Рассмотрим задачу о приведении системы (4) из некоторой окрестности начала координат в начало координат с помощью гладкого управления. Пусть г^ (О) = 0,1?;(0) = 0,1 = 1,2. Линейная модель для системы (4) в окрестности начала координат имеет вид:
¿а = До^о + = (Уо^о У>
= 4 В ¡и; £рг>2 = А2ег 4
д
1,2; = В¿0,0,0,0, Е,рХВг = ß2(0,0,s,
Используя подход, предложенный в работе [6], можно доказать следующие утверждения.
Теорема 1. Рассмотрим модель управляемого процесса (4) с ограничивающим множеством Q а содержащим вну-
три себя точку и = 0. Предположим, что:
1) h1(0J0,f,/J) = 0,лг(0,0^,(0,0,£,рХ
= iij,i = 1,2. Тогда существу-
ют такие s* > > 0, что при всех £ Е (О, £*],£* < Е (О, рГ],рГ < jUfj,
область & нуль-управляемости открыта в JR2'-™1"1"™3'' (т.е. система (4) локально управляема вблизи нуля).
Теорема 2. Рассмотрим модель наблюдаемого процесса (4) в .Пусть функции системы
(4) непрерывно дифференцируемые в окрестности точки Vq — 0, Vq — 0,-fj^ — 0,i?2 — 0 ,и — О с входными сигналами u(trE,[/),0 < t < 1 в Ш-' и выходными сигналами {tr£r
(t, £, Сt, Sf |l),P2(t, £, li)r E, fi)
в ■ Предположим, что
1) = 0, k2(0,0,^(0,0,E,fi),E,ii) = 0;
2) rant (аде;.......=
Тогда существуют такие £ ' ^ что при всех £ Е (0,£*],£' < Е (О, < /ifl,
система (4) локально вполне наблюдаема вблизи начала координат.
СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ
В системе (4) выберем управление следующим образом: Вг (у^, vl,v1,v2,E,p)u = Vt, е, р) + , О0\ г^, Е,
р)и = -A^v^v^v^v^Stp) +A22v2, где матрицы Aiiri = 1,2 произвольные гурвицевы матрицы [7], соответствующие уравнениям Ля-
пунова с положительно определенным решением Р1Г т.е. + Р>А{1 = -1,1= 1,2. Следовательно, собственные значения Ак,/с = 1,п, матриц Ай имеют отрицательные вещественные части, т.е. удовлетворяют неравенствам Не Л.к < —рь < 0. Подставим выбранное управление в результирующую систему (4):
7 = V) + щ г1 А + 0(8г{1),у, = V, Р1
эя
¿о1 = ^К1.^2^.^) - Т^НгК^о2.
В результате получим систему блочно-треуголь-ного вида:
= АЛ' № = ^22(5) Исследуем устойчивость системы (5). Движение по интегральному многообразию v1 = 0,т?2 = 0, самых медленных движений системы (5), описывается системой 1>о = = кг{у1,т?%, ^(уъ^гг,^)^,^). Следовательно, система (5) сводится к системе блочно-диа-гонального вида ^ =
т>о = ^зС^О'^О' 'ЧСРО^О^
две быстрые подсистемы которой асимптотически устойчивы. Итак, задача устойчивости системы (5) сведена к задаче устойчивости на интегральном многообразии.
ПРИМЕР
Рассмотрим систему р нелинейных осцилляторов [8]:
£ХI + + = %и,£ = 1,71;
где коэффициенты
а1гЬ1г с}, ук,кк,1 = 1~п,] = п 4- 1,р, к = 1~р
отличны от нуля, и - скалярное управление, переводящее систему из начального положения в начало координат за минимальное время, |и| < 1,е, ¡1 - малые положительные параметры. Введем обозначения
- у1Г х1 - £ - 1/п, } - п + 1 , Р, тогда
система примет вид:
= — а;х-
ЬгУг =
Пусть для системы (6) выполняются условия 1) - 3), Г) - 3'). Произведем заме-
=77 1 ^¡{^-рр
Ы)
1+р*
2\ _
ну
переменных
»[ ^р.- Г JJ
Система блочно-треугольного вида является локально вполне управляемой вблизи начала координат и локально вполне наблюдаемой вблизи начала координат, так как медленная подсистема нулевого приближения, первая быстрая подсистема первого приближения и вторая быстрая подсистема второго приближения локально вполне наблюдаемы вблизи начала координат. Так как блочно-треугольная система получена из системы (6) с помощью обратимой замены переменных, то система (6) локально вполне управляемая и локально вполне наблюдаемая вблизи начала координат.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены свойства управляемости, наблюдаемости, стабилизируемости. Проведена декомпозиция моделей управляемых и наблюдаемых нелинейных автономных трехтемповых систем. Сформулированы достаточные условия управляемости и наблюдаемости нелинейных трехтемповых систем. Изучены свойства управляемости и наблюдаемости автономной трех-темповой системы нелинейных осцилляторов вблизи начала координат.
Автор выражает глубокую признательность профессору В.А. Соболеву за полезные обсуждения и ценные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных систем / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Наука, 1973. - 272 с.
2. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.
3. Соболев, В. А. Интегральные многообразия, сингулярные возмущения и оптимальное управление / В.А. Соболев // Украинский математический журнал. Т.39. 1987. № 1. С. 111-116.
4. Воропаева, Н.В. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем / Н.В. Воропаева, В. А. Соболев. - М.: Физматлит, 2009. - 256 с.
5. Кононенко, Л.И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л.И. Кононенко, В.А. Соболев // Сибирский математический журнал. - 1994. - Т. 35. - № 6. - С. 1264-1268.
6. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. - М.: Мир, 1972. 576 с.
7. Chen, C.C. Criterion for global exponential stabilisability of a class of nonlinear control systems via integral manifold approach / C.C. Chen // IEE Proc.-Control Theory Appl. - V. 147. -№ 3. - May 2000. - P. 330-336.
8. Богаевский В.Н. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений / В.Н. Богаевский, А.Я. Повзнер- М.: Наука, 1987. 256 с.
CONTROLLABILITY, OBSERVABILITY, STABILISABILITY OF THE NONLINEAR SYSTEMS
© 2021 M.M. Semenova
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia
A method of integral manifolds is applied to study of threetempo nonlinear systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of three-rate controllable and observable systems. Local controllability, local observability and stabilisability of these systems is investigated. The application of the method is illustrated on example.
Keywords: the decomposition of threerate models, integral manifold, controllability, observability, stability, stabilisability, asymptotic expansions. DOI: 10.37313/1990-5378-2021-23-6-113-115
Marina Semenova, Candidate of Mathematics and Physics, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: [email protected]
