Рис.1. Зависимость от числа Кнудсена (Кп) отношения /т
т умеренно крупных твердых цилиндрических частиц
Рис.2. Кривые зависимости J T от Kn твёрдых цилин-
_ ,,(0)/1 , „_ .4-3/2
s = sm(l + оу)
дрических частиц с коэффициентом
т
, находящихся в воздухе с =200С и давленем р<»=101325
(
Па. Кривые показывают зависимость т от Кп при а =0 (кривая 1), а =0,9 (кривая 2), а =0,5 (кривая 3), а =-0,5 (кривая 4), а =-0,9 (кривая 5) и е(0)=0,23 Вт/мК.
Литература
1. Грин Х., Лейн В. Аэрозоли - пыли, дымы и туманы : монография. М.: Химия, 1969 - 428 с.
2. Гейнц Ю.Э., Землянов А.А., Зуев В.Е., Кабанов А.И., Погодаев В.А Нелинейная оптика атмосферного аэрозоля: монография. Томск: СО РАН, 1999 -260 с.
3. Berger C., Harvath H., Scindler W. The deposition of soot particles from hot gas streams through pipes/ Journal of Aerosol Science, 1995. - V. 26. - P. 211218. 4. Ивлев И.С. Микростуктурные особенности аэрозолей вулканического происхождения/ Оптика атмосферы и океана, 1996. - №8. - С. 1039-1057.
4. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем: монография. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. - 194 с.
5. б.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие.- Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.
6. 7.Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц/ Журнал технической физики, 1982.-Т.52.- Вып.11.- С.2253-2661.
7. 8.Пискунов В.Н. Динамика аэрозолей: монография. М.: Физматлит, 2010. - 296 с.
8. 9.Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса: учебное пособие. М.: Мир, 1976. - 630 с.
9. 10 Щукин Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации/ Журнал технической физики, 1980. -Т.50. - Вып.6. - С.1332-1335.
10. Щукин Е.Р., Шулиманова З.Л. Особенности осаждения за счёт термофореза аэрозольных частиц в плоскопараллельных каналах со значительными поперечными перепадами температуры / Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №5. - С. 726 - 731.
11. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. К теории термофо-реза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разрежённом газе/ Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №2.- С. 271 - 275. 13.Zheng F. Thermophoresis of spherical and non-spherical particles: a review of theories and experiments / F.Zheng - Advances in Colloid and Interface Science, 2002. -V. 97. - Pp. 255 - 278.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ НАБЛЮДАЕМОСТИ МНОГОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ
Семенова Марина Михайловна
Доцент, к.ф.-м.н., ФГБОУВПО "СГЭУ", г. Самара
Фомин Владимир Ильич
Профессор, д.п.н., ФГБОУ ВПО "СГЭУ", г. Самара
АННОТАЦИЯ
В данной работе рассматривается метод декомпозиции моделей линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами при производных. Исследуется наблюдаемость этой системы. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.
ABSTRACT
In this paper the method of decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters is stated. Observability of this system is investigated. The example which illustrates the application of the receiving results is listed.
Ключевые слова: декомпозиция линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами, наблюдаемость многотемповых сингулярно возмущенных систем, асимптотические разложения.
Keywords: the decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters, observability of multiparameters singularly perturbed ssystems, asymptotic expansions.
Рассмотрим модель линейной многотемповой системы вида:
~ПеЛ = X A*] + Biu, i = 0,n;
j=0 n
z = £C
j=0
.X.,
jj
x
где t - время, 1 - переменные состояния, соответствую- по всем аргУментам при
Будем предполагать, что собственные значения
1=1 (х), I = Щ Апп(Х,0,...,0)
1 1\ 'и матрицы пп ' удовлетво-
Яе 1 < —2В < 0 ,
ряют неравенству 1 ^ ; матричные функции
А., (Л (х,0,0,...,0))Л Д., С г
17 4 " 17 обладают достаточным чис-
(1) лом непрерывных и ограниченных частных производных
X е Я, £е(0,£0 = 1
щие различным темпам движения, и - управляющие воз-£, 1 = 1, п
действия, - малые положительные параметры,
точка обозначает дифференцирование по ^
XеД,х, еЯп,ие Д',Л.= А.(Х^..^)Д = В1 (£...£),С1 = С.(х,£„...£п)
матричные функции соответствующих размерностей. Такие системы применяются в некоторых задачах теории управления [4].
Цель статьи изучить задачу декомпозиции многотемповых наблюдаемых систем.
Первый этап расщепления: произведем в системе (1) замену переменных
x
= +ЖН ,£,...,£ ) yh !
к=i+1 n-1
xn = уП + I L1 (t,^i,...,^n) xj,
j=0
в результате которой получаем систему:
i n-1 _
П^у; =Xj + B\u, i=0,n -1,
k=0 j=0
П£кУ n=Aiy:+bu,
(2)
-I с ;y;,
(3)
где
A1 = A.. + al; , i,j = 0, n -1; A1 = a -цп s^.A. ,
j ij in j' ' ' nn nn Z-jj=0J- Jk=j+1 к j jn '
B1 = B - In-1 П s,L} B , B1 = B. - H1 B1, C1 = с. + cl1. , i, j = 0, n -1;
n n Z.J j=0 X Jk=j+1 к j j ' i i i n? j j n j ' ' ' '
с1=с(/+in-0 n; 1^kLi h 1 )+yn-i0 п; ;^кс .h
n n \ Z—I j=0 ± Jk=j+1 к j j ) Z—i j=0 ± Jk=j+1 к j j
¿1 £ =У £кЬ1-к (X £ ... £ )
Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения 7 п 7 4 ' 1'"'' п-1' из
уравнений
n-1 n
a;j+ al; - n^l) -1 П^kL; (a. + Alnlj ) = 0, j = 0,n -1.
к=1 1=0 к=l+1
Я, 7 = 0, п — 1
Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения
h) =ifexhu (ts,...,^)
из уравнений
n-1 n
C k^^il1
Л +УП£кЛ!я: + П£кН — я1 Л1 = 0,1 = 0, п — 1.
1п ^^ 11 1 пп ? ?
В результате которой получим систему:
I=0 к=1+1 к=1
Будем предполагать, что собственные значения
1 = 1. (/), I = л1—1 п—1 (х,0,...,0)
1 1 ' п—1 матрицы п 1,п 1 удовлетво-
Яе 1 < —2а < 0 (Л;11 п1 (х,0,...р))—1 ряют неравенству 1 и 4 п—1п—11 у' ' ' ''
обладают достаточным числом непрерывных и ограниченных производных. На втором этапе произведем замену переменных в системе (3)
п—1 _
.1 ,.2 . ^ „ тт2
__n-2
nw2 = IД.2у2 + bu i = 0,n - 2,
'ks i ijs j
к=0 j=0
П^к:У2, = a2, ,y2, + B>,
_L _L ks n-1 n-1,n-W n-1 n-1 "
к=1 n
ПгкУ1 = A1 y1 + B'u,
_L _L ks n nns n n '
у1 = у.2 + IskH:(t,Sl,...,sn)y„2-1, i = 0,n - 2,
n-2
yh-1 = yh + XskL)(t ,s1,...,s„) y.2.
z = I C2 y2 + C1 y1
^^ j * j nS n
j =0
' ;-1 S ;-1 к j ^
j=0
(4)
-2 n-1
-2 n-1
A21 1 = A11 1 - instL2A1 1, B21 = B11 -ins.L^1 ;
n-1,n-1 n-1,n-1 ^^ ±_ ±_ к j j ,n-1 ? n-1 n-1 ^^ X X к j j '
j=0 k^.,+1
121
где
A2 = A1 + A1 1L2, B2 = B1 - H2B21, C2 = C1 + C11L2, i, j = 0,; - 2;
ij ij i,n-1 J ' i i i n-1 j j n-1 j ~ ~ J y y
j=0 к=j+1 2 n2 /<^2 ^ , /<^1 r2
к=0
k=1
j=0
n
n
n-1
к=1
n-2
t=1+1
n
n
п— /. п— i
С, = X Песн + С, i + X nj2
j=0 k=j+1
k j j j=0 k=j+1 y
Матричные функции , 7 0 я 2 могут быть найдены как асимптотические разложения
L2 = X 0е*.L2:k(t,e,...,e 2,е )
j я-1 j V ' 1 > ' я-2 ? я /
из уравнении
Í7— /. И—
Л^ + А1-1Я-1 Lj - - X (4 + Al-1 Lj) = 0, j = 0,я - 2.
k=1
/=0 k=l+1
н2, ] = о, я - 2
Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения
Н2 =Xk ё ,H2k (t,e,...,e 2,е )
j Z-^k >0 я—1 j V ? 1 ? ? я-2 ? я /
из уравнении
я-2 я-1
я-1
A1 , +X n^kA2H2 -ПН -H2A2, , = 0, i = 0,я -2,
>, я-1 у j X í k ij j í _L k i i я-1,я-1 ~ ~
j=0 k=j+1
k=1
тт й Л = Л (г), ' = 1, я Дя,(Г,0,...,0)
На п шаге предполагаем, что собственные значения ' 1 матрицы 11 4 ' ' ' ' удовлетво-
Яе Л <-2г < 0 ряют неравенству ' ' и матрица
(А11 (г ,0,--0)) обладает достаточным числом непрерывных и ограниченных производных. Произведем по-
я—1 я . „ „ „ Л я я-1 я , Т ¿и- ~ „Л я-1
У0 = У0 + £лН(г,ел,...яп)у,, у. = у, + Щ,£л,...,£„)у0
следовательную замену переменных 1 ^ ' ' я'-' у 1 ч ? 1? ? п/у0,
чтобы получить систему
Г.я ля , .я . ~ -я ля^.я , Т~)ял „ „ ,'.я—1 л я—1 .я—1 . пя—1,
У0 = Л0У0 + В0 М У = А11-У1 + В1 и ^2У2 = А22 У2 + В2 М
я-2 я-1
я-1
П^У1 = A1 у1 + BU,
X X k^ я яяУ я я '
k=1
z = с0яу0я +X c;-j+1 у^1
где
j=1
41 = A-1 - е, L471, в; = в;-1 - sxlb;1, Aoяo = AjT1 + Л7А в; = в;-1 - hb;;
(6)
С0я = C;—1 + C;-1L, С1я = C;-1 (i + е1 LH)+ е1С0я-1H.
Матричные функции Н могут быть найдены как асимптотические разложения
^>0 ^ V :> ^ 5 ^ ^>0 1 2> 5 ^, из уравнений
Jk >0 л я-1
a;;1 + Л;- - - еL(Л0Я0-1 + A71 L) = 0,47 + е1(Л0Я0-1 + A;-1L)h - е1 H - HA;, = 0
Система (6) блочно-диагонального вида. Первое уравнение соответствует медленной подсистеме, второе, и т.д., п-ое уравнения соответствуют быстрым подсистемам.
Наблюдаемость системы (6) на отрезке [г0,г1 ^сле-дует из наблюдаемости медленной подсистемы
• П АП П , Г)П П П
У0 = А00у0 + В0 м, г = С0 у0; Л
^0 ^^0 0 > ^0 ^ и п-быстрых подсистем.
Наблюдаемость системы (1) следует из наблюдаемости системы (6). Пример.
Рассмотрим модель двухтемповой системы
ё + x + е(х + x2)= sinx, z = 2x + x.
Введем обозначения x = у, тогда система примет
вид
x = у, еУ = -у - e(x + у2)+ sin x, z = 2x + у.
Линеаризуем систему в окрестности начала координат
x = у, ё = (l — e)x - у, z = 2x + у. В результате преобразования
у, = x — е(— 1 + 2е +...)У2, у2 = у-(1-2е + ...)x, получим систему блочно-диагонального вида
п
У =(1 -+ -Ь^ 2 = (-1 -£ + ...)У2, * = (3 - + ...)y +(1 -+ ...)^2.
Полученная система, а следовательно, и исходная система является наблюдаемой.
Список литературы
1. D. Cobb. Controllability, observability and duality in singular systems.- IEEE Trans. Automat. Control, 1984, v. AC-29, No 12.
2. В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003. - 614 с.
3. А.Б. Васильева, М.Г. Дмитриев. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления.-Итоги науки и техники ВИНИТИ, Математический анализ, т. 20, 1982, 3-77.
4. Н.В. Воропаева, В.А. Соболев. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 256 с.
К ТАЙНАМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Семенюта Николай Филиппович,
Канд. техн. наук, профессор, Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель, Беларусь
Исходные положения
Золотое сечение (золотое деление, золотое соотношение, золотая пропорция) - удивительный феномен Мироздания и Природы, которое с давних времен получило также название Божественной пропорции [1].
Среди моделей золотого сечения наибольшее применение в теоретических и прикладных задачах получили геометрические и алгебраические модели. Эти две модели лежат в основе многочисленных исследований, связанных с золотым сечением и гармоническими пропорциями в природе, искусстве, науке, технике, обществе как у мыслителей и ученых прошедших столетий, так и современных ученых [5].
В последние годы предложены также электрические модели золотого сечения и гармонических последовательностей чисел [3]. Их появление задержалось на сотни лет в связи с тем, что во времена античности и Возрождения вообще не было понятия об электричестве.
Электрическое моделирование позволяет выявить наиболее существенные факторы изучаемого объекта,
производить более глубокие изучения реальности, особенно по тем направлениям природы, науки и техники, где обмен информацией происходит передачей энергии сигналов.
В статье рассмотрены энергооптимальные модели золотого сечения, которые связанные с принципом наименьшего действия и характерные для Мироздания, Природы, Человека и др. [4] Думаю, что это еще один шаг на пути раскрытия тайн золотого сечения.
Золотое сечение
Золотое сечение (пропорция) - это пропорциональная связь целого и составляющих это целое частей. Простейшее геометрическое деление - это симметричное деление отрезка на две равные части (дихотомия) а = Ь, а/Ь= 1 (рисунок 1, а). Золотое деление - это асимметричное деление отрезка в крайнем и среднем отношении, когда целое (а + Ь) = 1 так относится к большей своей части (а), как большая часть - к меньшей (Ь), т. е. (а + Ь)/а = а/Ь = Ф, где Ф = 1,618 - «золотое» число («золотое» сечение) (рисунок 1, Ь).
Рисунок 1. Золотое сечение отрезка: а - симметричное; б - симметричное
Задача о золотом сечении также имеет алгебраическое решение в виде корней квадратного уравнения:
х2 - х - 1 = 0, (1)
численные значения, которых равны золотому сечению
х1 = (1+ л^5)/2 = 1,618... = Ф, х2 = (1- л^5)/2 = -0,618...= -1/Ф.
Золотое сечение связано также с рекуррентной последовательностью чисел Фибоначчи
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9..., (2)
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 ... Отношение чисел Fn+1/Fn при п ^ да равно Ф = 1,618 и обратное отношение равно Fn/Fn+1 = 1/Ф = 0,618, т. е. золотому сечению.
Электрические модели рекуррентных последовательностей чисел
Простейшим электрическим моделям рекуррентных последовательностей чисел соответствует однородная электрическая цепь с равными сопротивлениями Ю и К2 (рисунок 2).
Токи электрической модели в случае холостого хода (Ян = да), коротком замыкании (Ян = 0) и нагруженного Ял = 1, 2 и 3 приведены в таблице 1.
Согласованный режим электрической цепи: «источник - приемник»
В простейшем случае передачи электрической энергии, цепь состоит из источника тока Е (генератора) и приемника (нагрузки Ян ) (рисунок 3).