Научная статья на тему 'Декомпозиция задач наблюдаемости многотемповых систем'

Декомпозиция задач наблюдаемости многотемповых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
72
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ / THE DECOMPOSITION OF LINEAR TIME-VARIABLE SINGULARLY PERTURBED SYSTEM WITH SOME SMALL PARAMETERS / НАБЛЮДАЕМОСТЬ МНОГОТЕМПОВЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ / OBSERVABILITY OF MULTIPARAMETERS SINGULARLY PERTURBED SSYSTEMS / АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ / ASYMPTOTIC EXPANSIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Семенова Марина Михайловна, Фомин Владимир Ильич

В данной работе рассматривается метод декомпозиции моделей линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами при производных. Исследуется наблюдаемость этой системы. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Семенова Марина Михайловна, Фомин Владимир Ильич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

n this paper the method of decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters is stated. Observability of this system is investigated. The example which illustrates the application of the receiving results is listed.

Текст научной работы на тему «Декомпозиция задач наблюдаемости многотемповых систем»

Рис.1. Зависимость от числа Кнудсена (Кп) отношения /т

т умеренно крупных твердых цилиндрических частиц

Рис.2. Кривые зависимости J T от Kn твёрдых цилин-

_ ,,(0)/1 , „_ .4-3/2

s = sm(l + оу)

дрических частиц с коэффициентом

т

, находящихся в воздухе с =200С и давленем р<»=101325

(

Па. Кривые показывают зависимость т от Кп при а =0 (кривая 1), а =0,9 (кривая 2), а =0,5 (кривая 3), а =-0,5 (кривая 4), а =-0,9 (кривая 5) и е(0)=0,23 Вт/мК.

Литература

1. Грин Х., Лейн В. Аэрозоли - пыли, дымы и туманы : монография. М.: Химия, 1969 - 428 с.

2. Гейнц Ю.Э., Землянов А.А., Зуев В.Е., Кабанов А.И., Погодаев В.А Нелинейная оптика атмосферного аэрозоля: монография. Томск: СО РАН, 1999 -260 с.

3. Berger C., Harvath H., Scindler W. The deposition of soot particles from hot gas streams through pipes/ Journal of Aerosol Science, 1995. - V. 26. - P. 211218. 4. Ивлев И.С. Микростуктурные особенности аэрозолей вулканического происхождения/ Оптика атмосферы и океана, 1996. - №8. - С. 1039-1057.

4. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем: монография. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. - 194 с.

5. б.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие.- Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

6. 7.Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц/ Журнал технической физики, 1982.-Т.52.- Вып.11.- С.2253-2661.

7. 8.Пискунов В.Н. Динамика аэрозолей: монография. М.: Физматлит, 2010. - 296 с.

8. 9.Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса: учебное пособие. М.: Мир, 1976. - 630 с.

9. 10 Щукин Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации/ Журнал технической физики, 1980. -Т.50. - Вып.6. - С.1332-1335.

10. Щукин Е.Р., Шулиманова З.Л. Особенности осаждения за счёт термофореза аэрозольных частиц в плоскопараллельных каналах со значительными поперечными перепадами температуры / Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №5. - С. 726 - 731.

11. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. К теории термофо-реза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разрежённом газе/ Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №2.- С. 271 - 275. 13.Zheng F. Thermophoresis of spherical and non-spherical particles: a review of theories and experiments / F.Zheng - Advances in Colloid and Interface Science, 2002. -V. 97. - Pp. 255 - 278.

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ НАБЛЮДАЕМОСТИ МНОГОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ

Семенова Марина Михайловна

Доцент, к.ф.-м.н., ФГБОУВПО "СГЭУ", г. Самара

Фомин Владимир Ильич

Профессор, д.п.н., ФГБОУ ВПО "СГЭУ", г. Самара

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается метод декомпозиции моделей линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами при производных. Исследуется наблюдаемость этой системы. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.

ABSTRACT

In this paper the method of decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters is stated. Observability of this system is investigated. The example which illustrates the application of the receiving results is listed.

Ключевые слова: декомпозиция линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами, наблюдаемость многотемповых сингулярно возмущенных систем, асимптотические разложения.

Keywords: the decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters, observability of multiparameters singularly perturbed ssystems, asymptotic expansions.

Рассмотрим модель линейной многотемповой системы вида:

~ПеЛ = X A*] + Biu, i = 0,n;

j=0 n

z = £C

j=0

.X.,

jj

x

где t - время, 1 - переменные состояния, соответствую- по всем аргУментам при

Будем предполагать, что собственные значения

1=1 (х), I = Щ Апп(Х,0,...,0)

1 1\ 'и матрицы пп ' удовлетво-

Яе 1 < —2В < 0 ,

ряют неравенству 1 ^ ; матричные функции

А., (Л (х,0,0,...,0))Л Д., С г

17 4 " 17 обладают достаточным чис-

(1) лом непрерывных и ограниченных частных производных

X е Я, £е(0,£0 = 1

щие различным темпам движения, и - управляющие воз-£, 1 = 1, п

действия, - малые положительные параметры,

точка обозначает дифференцирование по ^

XеД,х, еЯп,ие Д',Л.= А.(Х^..^)Д = В1 (£...£),С1 = С.(х,£„...£п)

матричные функции соответствующих размерностей. Такие системы применяются в некоторых задачах теории управления [4].

Цель статьи изучить задачу декомпозиции многотемповых наблюдаемых систем.

Первый этап расщепления: произведем в системе (1) замену переменных

x

= +ЖН ,£,...,£ ) yh !

к=i+1 n-1

xn = уП + I L1 (t,^i,...,^n) xj,

j=0

в результате которой получаем систему:

i n-1 _

П^у; =Xj + B\u, i=0,n -1,

k=0 j=0

П£кУ n=Aiy:+bu,

(2)

-I с ;y;,

(3)

где

A1 = A.. + al; , i,j = 0, n -1; A1 = a -цп s^.A. ,

j ij in j' ' ' nn nn Z-jj=0J- Jk=j+1 к j jn '

B1 = B - In-1 П s,L} B , B1 = B. - H1 B1, C1 = с. + cl1. , i, j = 0, n -1;

n n Z.J j=0 X Jk=j+1 к j j ' i i i n? j j n j ' ' ' '

с1=с(/+in-0 n; 1^kLi h 1 )+yn-i0 п; ;^кс .h

n n \ Z—I j=0 ± Jk=j+1 к j j ) Z—i j=0 ± Jk=j+1 к j j

¿1 £ =У £кЬ1-к (X £ ... £ )

Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения 7 п 7 4 ' 1'"'' п-1' из

уравнений

n-1 n

a;j+ al; - n^l) -1 П^kL; (a. + Alnlj ) = 0, j = 0,n -1.

к=1 1=0 к=l+1

Я, 7 = 0, п — 1

Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения

h) =ifexhu (ts,...,^)

из уравнений

n-1 n

C k^^il1

Л +УП£кЛ!я: + П£кН — я1 Л1 = 0,1 = 0, п — 1.

1п ^^ 11 1 пп ? ?

В результате которой получим систему:

I=0 к=1+1 к=1

Будем предполагать, что собственные значения

1 = 1. (/), I = л1—1 п—1 (х,0,...,0)

1 1 ' п—1 матрицы п 1,п 1 удовлетво-

Яе 1 < —2а < 0 (Л;11 п1 (х,0,...р))—1 ряют неравенству 1 и 4 п—1п—11 у' ' ' ''

обладают достаточным числом непрерывных и ограниченных производных. На втором этапе произведем замену переменных в системе (3)

п—1 _

.1 ,.2 . ^ „ тт2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

__n-2

nw2 = IД.2у2 + bu i = 0,n - 2,

'ks i ijs j

к=0 j=0

П^к:У2, = a2, ,y2, + B>,

_L _L ks n-1 n-1,n-W n-1 n-1 "

к=1 n

ПгкУ1 = A1 y1 + B'u,

_L _L ks n nns n n '

у1 = у.2 + IskH:(t,Sl,...,sn)y„2-1, i = 0,n - 2,

n-2

yh-1 = yh + XskL)(t ,s1,...,s„) y.2.

z = I C2 y2 + C1 y1

^^ j * j nS n

j =0

' ;-1 S ;-1 к j ^

j=0

(4)

-2 n-1

-2 n-1

A21 1 = A11 1 - instL2A1 1, B21 = B11 -ins.L^1 ;

n-1,n-1 n-1,n-1 ^^ ±_ ±_ к j j ,n-1 ? n-1 n-1 ^^ X X к j j '

j=0 k^.,+1

121

где

A2 = A1 + A1 1L2, B2 = B1 - H2B21, C2 = C1 + C11L2, i, j = 0,; - 2;

ij ij i,n-1 J ' i i i n-1 j j n-1 j ~ ~ J y y

j=0 к=j+1 2 n2 /<^2 ^ , /<^1 r2

к=0

k=1

j=0

n

n

n-1

к=1

n-2

t=1+1

n

n

п— /. п— i

С, = X Песн + С, i + X nj2

j=0 k=j+1

k j j j=0 k=j+1 y

Матричные функции , 7 0 я 2 могут быть найдены как асимптотические разложения

L2 = X 0е*.L2:k(t,e,...,e 2,е )

j я-1 j V ' 1 > ' я-2 ? я /

из уравнении

Í7— /. И—

Л^ + А1-1Я-1 Lj - - X (4 + Al-1 Lj) = 0, j = 0,я - 2.

k=1

/=0 k=l+1

н2, ] = о, я - 2

Матричные функции 7 могут быть найдены как асимптотические разложения

Н2 =Xk ё ,H2k (t,e,...,e 2,е )

j Z-^k >0 я—1 j V ? 1 ? ? я-2 ? я /

из уравнении

я-2 я-1

я-1

A1 , +X n^kA2H2 -ПН -H2A2, , = 0, i = 0,я -2,

>, я-1 у j X í k ij j í _L k i i я-1,я-1 ~ ~

j=0 k=j+1

k=1

тт й Л = Л (г), ' = 1, я Дя,(Г,0,...,0)

На п шаге предполагаем, что собственные значения ' 1 матрицы 11 4 ' ' ' ' удовлетво-

Яе Л <-2г < 0 ряют неравенству ' ' и матрица

(А11 (г ,0,--0)) обладает достаточным числом непрерывных и ограниченных производных. Произведем по-

я—1 я . „ „ „ Л я я-1 я , Т ¿и- ~ „Л я-1

У0 = У0 + £лН(г,ел,...яп)у,, у. = у, + Щ,£л,...,£„)у0

следовательную замену переменных 1 ^ ' ' я'-' у 1 ч ? 1? ? п/у0,

чтобы получить систему

Г.я ля , .я . ~ -я ля^.я , Т~)ял „ „ ,'.я—1 л я—1 .я—1 . пя—1,

У0 = Л0У0 + В0 М У = А11-У1 + В1 и ^2У2 = А22 У2 + В2 М

я-2 я-1

я-1

П^У1 = A1 у1 + BU,

X X k^ я яяУ я я '

k=1

z = с0яу0я +X c;-j+1 у^1

где

j=1

41 = A-1 - е, L471, в; = в;-1 - sxlb;1, Aoяo = AjT1 + Л7А в; = в;-1 - hb;;

(6)

С0я = C;—1 + C;-1L, С1я = C;-1 (i + е1 LH)+ е1С0я-1H.

Матричные функции Н могут быть найдены как асимптотические разложения

^>0 ^ V :> ^ 5 ^ ^>0 1 2> 5 ^, из уравнений

Jk >0 л я-1

a;;1 + Л;- - - еL(Л0Я0-1 + A71 L) = 0,47 + е1(Л0Я0-1 + A;-1L)h - е1 H - HA;, = 0

Система (6) блочно-диагонального вида. Первое уравнение соответствует медленной подсистеме, второе, и т.д., п-ое уравнения соответствуют быстрым подсистемам.

Наблюдаемость системы (6) на отрезке [г0,г1 ^сле-дует из наблюдаемости медленной подсистемы

• П АП П , Г)П П П

У0 = А00у0 + В0 м, г = С0 у0; Л

^0 ^^0 0 > ^0 ^ и п-быстрых подсистем.

Наблюдаемость системы (1) следует из наблюдаемости системы (6). Пример.

Рассмотрим модель двухтемповой системы

ё + x + е(х + x2)= sinx, z = 2x + x.

Введем обозначения x = у, тогда система примет

вид

x = у, еУ = -у - e(x + у2)+ sin x, z = 2x + у.

Линеаризуем систему в окрестности начала координат

x = у, ё = (l — e)x - у, z = 2x + у. В результате преобразования

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у, = x — е(— 1 + 2е +...)У2, у2 = у-(1-2е + ...)x, получим систему блочно-диагонального вида

п

У =(1 -+ -Ь^ 2 = (-1 -£ + ...)У2, * = (3 - + ...)y +(1 -+ ...)^2.

Полученная система, а следовательно, и исходная система является наблюдаемой.

Список литературы

1. D. Cobb. Controllability, observability and duality in singular systems.- IEEE Trans. Automat. Control, 1984, v. AC-29, No 12.

2. В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003. - 614 с.

3. А.Б. Васильева, М.Г. Дмитриев. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления.-Итоги науки и техники ВИНИТИ, Математический анализ, т. 20, 1982, 3-77.

4. Н.В. Воропаева, В.А. Соболев. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 256 с.

К ТАЙНАМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Семенюта Николай Филиппович,

Канд. техн. наук, профессор, Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель, Беларусь

Исходные положения

Золотое сечение (золотое деление, золотое соотношение, золотая пропорция) - удивительный феномен Мироздания и Природы, которое с давних времен получило также название Божественной пропорции [1].

Среди моделей золотого сечения наибольшее применение в теоретических и прикладных задачах получили геометрические и алгебраические модели. Эти две модели лежат в основе многочисленных исследований, связанных с золотым сечением и гармоническими пропорциями в природе, искусстве, науке, технике, обществе как у мыслителей и ученых прошедших столетий, так и современных ученых [5].

В последние годы предложены также электрические модели золотого сечения и гармонических последовательностей чисел [3]. Их появление задержалось на сотни лет в связи с тем, что во времена античности и Возрождения вообще не было понятия об электричестве.

Электрическое моделирование позволяет выявить наиболее существенные факторы изучаемого объекта,

производить более глубокие изучения реальности, особенно по тем направлениям природы, науки и техники, где обмен информацией происходит передачей энергии сигналов.

В статье рассмотрены энергооптимальные модели золотого сечения, которые связанные с принципом наименьшего действия и характерные для Мироздания, Природы, Человека и др. [4] Думаю, что это еще один шаг на пути раскрытия тайн золотого сечения.

Золотое сечение

Золотое сечение (пропорция) - это пропорциональная связь целого и составляющих это целое частей. Простейшее геометрическое деление - это симметричное деление отрезка на две равные части (дихотомия) а = Ь, а/Ь= 1 (рисунок 1, а). Золотое деление - это асимметричное деление отрезка в крайнем и среднем отношении, когда целое (а + Ь) = 1 так относится к большей своей части (а), как большая часть - к меньшей (Ь), т. е. (а + Ь)/а = а/Ь = Ф, где Ф = 1,618 - «золотое» число («золотое» сечение) (рисунок 1, Ь).

Рисунок 1. Золотое сечение отрезка: а - симметричное; б - симметричное

Задача о золотом сечении также имеет алгебраическое решение в виде корней квадратного уравнения:

х2 - х - 1 = 0, (1)

численные значения, которых равны золотому сечению

х1 = (1+ л^5)/2 = 1,618... = Ф, х2 = (1- л^5)/2 = -0,618...= -1/Ф.

Золотое сечение связано также с рекуррентной последовательностью чисел Фибоначчи

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9..., (2)

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 ... Отношение чисел Fn+1/Fn при п ^ да равно Ф = 1,618 и обратное отношение равно Fn/Fn+1 = 1/Ф = 0,618, т. е. золотому сечению.

Электрические модели рекуррентных последовательностей чисел

Простейшим электрическим моделям рекуррентных последовательностей чисел соответствует однородная электрическая цепь с равными сопротивлениями Ю и К2 (рисунок 2).

Токи электрической модели в случае холостого хода (Ян = да), коротком замыкании (Ян = 0) и нагруженного Ял = 1, 2 и 3 приведены в таблице 1.

Согласованный режим электрической цепи: «источник - приемник»

В простейшем случае передачи электрической энергии, цепь состоит из источника тока Е (генератора) и приемника (нагрузки Ян ) (рисунок 3).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.