CC BY
10
Список литературы 1. Вотяков И.Н. Физико-механические свойства мерзлых и оттаивающих грунтов Якутии. Нов-ск: Наука, 1975.- 176 с.
2. Гаврильев Р.И. Теплофизические свойства горных пород и напочвенных покровов криолитозоны. Нов-ск:Изд-во СО РАН, 1998.-280 с.
3. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем//Журнал технической фи-зики.1951.Т.21, вып.6. - с.667-685.
К ВОПРОСУ О СКОРОСТИ ТЕРМОФОРЕЗА ТВЁРДЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Щукин Евгений Романович
Док. ф.-м. наук, проф., вед.н.сотр. ОИВТРАН, г.Москва Шулиманова Зинаида Леонидовна
Док. ф.-м.н., зав. кафедрой «Физика и химия» МГУПСМИИТ, г. Москва
В газах с неоднородным распределением температуры на аэрозольные частицы действует молекулярной природы термофоретическая сила [1,7-10 ], вызывающая их упорядоченное термофоретическое движение относительно газообразной среды. Это движение частиц обусловлено передачей частицам молекулами неоднородного по температуре газа нескомпенсированного импульса. Когда термофоретическая сила становится равной по величине силе сопротивления среды движению частицы, то при этом частица начинает двигаться равномерно. Скорость этого равномерного движения относительно центра инерции газообразной среды в месте нахождения частицы называют термофоретической. Знание закономерностей термофоретического движения необходимо в практических приложениях. Например, при оценке времени образования на поверхностях тепло- и массообмена вредных отложений из аэрозольных частиц [3, 11], определении размеров зон просветления в облаках и туманах [2], проектировании устройств, предназначенных для тонкой очистки газов и нанесении тонких покрытий из аэрозольных частиц [3,8,11]. В состав естественных и антропогенных аэрозолей могут входить как однородные [12], так и неоднородные по теплофизическим свойствам умеренно крупные сильно вытянутые аэрозольные частицы с формой поверхности близкой к цилиндрической [1,4,5,8,9,13]. Но закономерности термофоретического движения неоднородных цилиндрических частиц, даже в случае коэффициентов, зависящих от радиальной координаты, ещё не изучены.
В настоящей работе была исследована зависимость скорости термофореза твёрдых сильно вытянутых крупных и умеренно крупных цилиндрической частиц от их коэффициентов теплопроводности. Анализ был проведён в случае двух видов зависимости коэффициентов теплопроводности частиц от радиальной координаты. Движение частиц происходит в однокомпонентном газе во внеш-
(УТ )
нем поле градиента температуры 4 ,
вызывающего их термофоретическое движение. Частицы
ут
расположены перпендикулярно ех . Их коэффициент теплопроводности зависит от радиальной координаты.
Число Кнудсена частиц равно: Кп — А/К, где Х- средняя длина свободного пробега молекул газа, R - радиус цилиндрической частицы. У крупных частиц Х/ R <0,01, у
0,01 < Кп < 0,3 я
умеренно крупных: . Длина частиц
много больше их радиуса. Коэффициенты теплопроводности частиц и их производные по радиальной координате
являются непрерывными функциями. На величину
ут я\ут |/т «1
ех наложено ограничение: 1
[2-
4,9]. Движение частиц происходит при малых относитель-
Т
ных перепадах температуры е в их окрестности. При этом газ можно считать несжимаемым, а его плотность
^е и коэффициенты динамической вязкости ^е и теплопроводности е - постоянными величинами. В силу малости времён релаксации температурных и гидродинамических полей термофоретическое движение частицы происходит квазистационарно [6-10,12]. Движение частицы происходит при малых числах Рейнольдса Re<<1 и Пекле Ре<<1 [6- 10,12,13]. В связи с этим в уравнениях переноса импульса и тепла можно пренебречь конвективными членами [6-10,13] (т.е. не учитывать влияние движения среды на распространение температуры, давления и массовой скорости в окрестности частицы). В случае установившегося термофоретического движения частицы, действующая на частицу полная сила равна нулю. При этом термофоретический перенос частицы происходит при постоянной давлении. В связи с этим при решении задачи об установившемся термофоретическом движении частицы в уравнениях Навье-Стокса [6,9] можно не учитывать давление. При рассмотренных условиях решение задачи целесообразно проводить с помощью гидродинамического метода [6-10,12,13] в цилиндрической системе координат, ось 02 которой совпадает с осью вращения цилиндра. При этом направление полярной оси ОХ совпа-
ут
дает с направлением ех. Определенная в такой системе координат массовая скорость установившегося течения газа на бесконечности равна по величине скорости термофореза частицы, но противоположна ей по направлению.
В системе частица - газообразная среда при рассмотренных условиях распределения массовой скорости
V Те
, температур газа е и Т описываются следующей системой уравнений:
1 5 ^ Л 1 г,
—(V) + —- — о
г дг г дв
1 - (г 5- V) +
г дг дг г2
1 дV V 2 дVa
дв2
дв
— 0
2
2
г
г
1 8,8
г 8г 8г
(г—¥в ) +
1 8X гв_+2V
2 г2 80
г2 80
г
1 8 8Т 1 8%
—(г—-) + ——е= о
г 8г 8г г 80
1 8 8Т 1 8 2т
--(аг-) + е——г = 0
г 8г 8г г 80
V V
. = о где г и 9 - цилиндрические координаты [6,9], г и 0 -компоненты массовой скорости в цилиндрической си> стеме координат.
В случае умеренно крупных частиц систему уравнений (1) нужно решать совместно с граничными условиями (2) - (7) [12]:
VI = сКп- ^ е|
г1г=Я
80
2 I г=Я
(2)
г=Я = стКпЯ
<8_ 8г
V г У
1 8К
+ --
г 80
+ К<?(1 + Кп0к)-^-^ + К™Кпрк У- 82Т-
ЯТ 80
Т_ 8г80
— К% Кпрв
у„
2Т
Я
.А
8г
1_ Т
г2 80
1 82Т + --
г 808г
г=Я
(3)
8Т
Т - Т| = КТТ) КпЯ —е-1 Я
е 1г =Я Т 8г |г
г =Я
8Т 8Т ке—- + е— 8г 8г
Г 1 8 2Те|
г=Я =-С^еКп~^Г г=Я
г 80
(4)
(5)
V
= V^ сов0, Ув\ зш0.
Р = Р
г ^ад ад
Т
^е / Ре
= + г
V т
соб0
(6)
(7)
коэффициент кинематической вязко-
V
где
Т
сти, еад - температура газа в месте нахождения частицы. Граничные условия (2)-(5) записаны с учётом всех эффектов, линейных по числу Кнудсена [7,12]. В (2)-(5)
К(0) с
Т5 ' т - коэффициенты теплового и изотермического где
скольжений
• РяР ,Рв
- поправки на кривизну и бар-
неттовское скольжение;
, СV
- газокинетические коэффициенты потоков тепла и среднемассового переноса,
К(Т)
растекающихся в слое Кнудсена; коэффициент Т - коэффициент скачка температуры [7,12]. Выражения для гаК (°) с С , С
зокинетических коэффициентов 15 ' т, V,
Ря,Ря ,Рв приведены в [7], где они получены в ходе решения в слое Кнудсена уравнения Больцмана. При коэффициентах аккомодации тангенциальной проекции импульса и энергии молекул равных единице значения газокинетических коэффициентов, приведённые в [7] равны:
су = 0,971, ст = 1,131, К™ = 1,161, РЯ = —0,701, Ря = 3,731, Рв = 3,651, К{р = 2,179, сч = 0,548.
(8) В процессе решения граничной задачи (1)-(7) было получено следующее выражение для скорости тер-мофореза:
ит /т
v т
УТ
с* = ^ /К<0>,у = г/Я.
(9)
/т = К-^Ц + Кп(РЯ +РВ) — (1 + 4стКп)с*Кп\ к еу(5) + е(5)К{/)Кп
йу
(5 Л
йу
+
+ Кп(Ря —Рв )
(5)
е(5) ^--кес КпУ5) }/(1 + 2стКп)й
V
йу
Л ) }
У
й =
ке (1 — сКп)9(5) +а(5)(1 + КТТ) Кп) йу
(5 )
йу
В выражении (10) верхним индексом обозначены значения коэффициента теплопроводности е, функ-
.. „ йю/ йу л
ции ф и ее производной ' ' у при у=1, т.е. у поверхности частицы. Функция ф - зависящее от у, нерасходящееся при у=0, безразмерное частное решение уравнения
еу
2 й2ю й
, 2 + у~т(е )-г-Ю = 0 йу йу йу . (11)
В общем случае зависимость функций ф от у может быть найдена в ходе численного решения (9). Если коэф-
фициент е может быть представлен при конечного сходящегося ряда, т.е.
7 < 1
в виде бес-
е = е(0) Так7к = 1
к=0 , (12) то при этом выражение для ф может быть представлено в виде следующего степенного ряда:
да
ю = 7 ЕДУ Л =1
п=0 . (13)
Рекуррентное соотношение для, входящих в (13),
коэффициентов Лп равно:
Л1 =--
1
Е [(п - к)(п + 2) + к\акРп-к Л0 = 1
п(п + 2) к=1 . (14)
В некоторых случаях, при зависящих от у коэффициентах е, функции ф имеют явный вид. Например, при следующих коэффициентах
е = е(0) 7Г
(15)
е = е(0)(1 + ау)
-да<у<да, -3/2
, -1<а<1. (16)
В случае этих коэффициентов функции ф и их производные, соответственно, равны
^ 1 ^ ¡-у-2
2 -1.. I .. -л
ю
7
Хл-г\, 2
2
7
л
+ 4
а 2 Ю =7+—7
йю йу
(17)
= 1 + а7
Коэффициенты (15), (16) и, следовательно,
кривизны поверхности, барнеттовского теплового скольжения, теплового скольжения, связанного с градиентом температуры, растекания молекул вдоль слоя Кнудсена, обусловленного неоднородным распределением температуры [7]. При постоянном коэффициенте теплопроводности формула (9) позволяет оценивать скорость термофо-реза однородных по тепловым свойствам частиц.
Проведенный с помощью (9) численный анализ показал, что:
1)
2)
3)
4)
5)
зависимость коэффициентов теплопроводности от радиальной координаты может оказать значительное влияние на величину скорости термофореза цилиндрических частиц;
при равных радиусах, скорость рассматриваемой неоднородной цилиндрической частицы, при любом виде зависимости ее коэффициента теплопроводности от радиальной координаты, больше (меньше) скорости термофореза тех однородных частиц, у которых величина коэффициента теплопроводности больше (меньше) значений коэффициента теплопроводности неоднородной частицы; увеличение (уменьшение) значений коэффициента теплопроводности неоднородной частицы приводит к уменьшению (увеличению) ее термофорети-ческой скорости;
в наибольшей степени неоднородность теплофизи-ческих свойств частицы сказывается на величине термофоретической скорости крупных частиц; увеличение числа Кнудсена (Кп) приводит к сближению величин скоростей неоднородных умеренно круных частиц. Это обстоятельство можно объяснить тем, что при увеличении числа Кнудсена на термофоретическое движение частиц все большее влияние оказывают поверхностные газокинетические эффекты, в частности, обусловленные кривизной поверхности, барнеттовскими температурными напряжениями, скачком температуры, а влияние коэффициентов теплопроводности частиц уменьшается.
Кривые на рис.1-2 показывают зависимость от
/т иТ
(18) формулы (17), (18), могут быть использованы, например, при оценке величины скорости термофореза частиц с большими (малыми) значениями коэффициента теплопроводности, соответственно, центральной части частиц и у их поверхности.
Выражение для скорости термофореза иТ (9) при известной зависимости коэффициента теплопроводности от радиальной координаты позволяет непосредственно
оценивать величину | ^Т | и крупных (Кп< 0,01) и умеренно крупных цилиндрических частиц. С помощью выведенных формул оценивать величину термофоретиче-ской скорости умеренно крупных частиц можно в связи с тем, что при решении задачи в граничных условиях на поверхности частицы были учтены все газокинетические эффекты, линейные по числу Кнудсена [7,12]. Поэтому, с помощью найденных формул можно определять величину термоофоретических силы и скорости с учетом, в частности, зависимости коэффициента теплового скольжения от
числа Кнудсена Кп отношения ' еда уме-
ренно крупных твердых цилиндрических частиц с коэф-
е = е(0) 7Г,
фициентами
е
-е(0)
теплопроводности
(1+а)3/2
' е(0)=0,23 Вт/м-К, находящихся в воздухе с Те®=200 С и давлением р<»=101325 Па. Кривые на рис. 1 построены при у =0 (кривая 1), у =-3 (кривая
2), у =-1 (кривая 3), у = 1(кривая 4), у =3 (кривая 5). Кривые
{
на рис.2 показывают зависимость 7 Т от Кп при при а =0 (кривая 1), а =0,9 (кривая 2), а =0,5 (кривая 3), а =-0,5 (кривая 4), а =-0,9 (кривая 5). Для сравнения на рисунках при-
{
ведены кривые зависимости Т от Кп неоднородных частиц и однородной частицы (кривые 1) из бакелита, у которой е(0)=0,23 Вт/м К. с коэффициентом теплопроводности е е 7 , находящихся в воздухе с Те®=200 С и давлением р®=101325 Па. Кривые найдены при е(0)=0,23 Вт/мК в случае у =0 (кривая 1), у =-3 (кривая 2), у =-1 (кривая 3),у =1(кривая 4), у =3 (кривая 5).
да
V
Рис.1. Зависимость от числа Кнудсена (Кп) отношения /т
Т умеренно крупных твёрдых цилиндрических частиц
Рис.2. Кривые зависимости J T от Kn твёрдых цилин-
_ „_ .4-3/2
£ = £W(l + Оу)
дрических частиц с коэффициентом
Т
, находящихся в воздухе с еад =200С и давленем р<»=101325
(
Па. Кривые показывают зависимость т от Кп при а =0 (кривая 1), а =0,9 (кривая 2), а =0,5 (кривая 3), а =-0,5 (кривая 4), а =-0,9 (кривая 5) и е(0)=0,23 Вт/мК.
Литература
1. Грин Х., Лейн В. Аэрозоли - пыли, дымы и туманы : монография. М.: Химия, 1969 - 428 с.
2. Гейнц Ю.Э., Землянов А.А., Зуев В.Е., Кабанов А.И., Погодаев В.А Нелинейная оптика атмосферного аэрозоля: монография. Томск: СО РАН, 1999 -260 с.
3. Berger C., Harvath H., Scindler W. The deposition of soot particles from hot gas streams through pipes/ Journal of Aerosol Science, 1995. - V. 26. - P. 211218. 4. Ивлев И.С. Микростуктурные особенности аэрозолей вулканического происхождения/ Оптика атмосферы и океана, 1996. - №8. - С. 1039-1057.
4. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем: монография. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. - 194 с.
5. б.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие.- Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.
6. 7.Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц/ Журнал технической физики, 1982.-Т.52.- Вып.11.- С.2253-2661.
7. 8.Пискунов В.Н. Динамика аэрозолей: монография. М.: Физматлит, 2010. - 296 с.
8. 9.Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса: учебное пособие. М.: Мир, 1976. - 630 с.
9. 10 Щукин Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации/ Журнал технической физики, 1980. -Т.50. - Вып.6. - С.1332-1335.
10. Щукин Е.Р., Шулиманова З.Л. Особенности осаждения за счёт термофореза аэрозольных частиц в плоскопараллельных каналах со значительными поперечными перепадами температуры / Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №5. - С. 726 - 731.
11. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. К теории термофо-реза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разрежённом газе/ Теплофизика высоких температур, 1994. - Т.32. - №2.- С. 271 - 275. 13.Zheng F. Thermophoresis of spherical and non-spherical particles: a review of theories and experiments / F.Zheng - Advances in Colloid and Interface Science, 2002. -V. 97. - Pp. 255 - 278.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ НАБЛЮДАЕМОСТИ МНОГОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ
Семенова Марина Михайловна
Доцент, к.ф.-м.н., ФГБОУВПО "СГЭУ", г. Самара
Фомин Владимир Ильич
Профессор, д.п.н., ФГБОУ ВПО "СГЭУ", г. Самара
АННОТАЦИЯ
В данной работе рассматривается метод декомпозиции моделей линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами при производных. Исследуется наблюдаемость этой системы. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.
ABSTRACT
In this paper the method of decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters is stated. Observability of this system is investigated. The example which illustrates the application of the receiving results is listed.
Ключевые слова: декомпозиция линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами, наблюдаемость многотемповых сингулярно возмущенных систем, асимптотические разложения.
Keywords: the decomposition of linear time-variable singularly perturbed system with some small parameters, observability of multiparameters singularly perturbed ssystems, asymptotic expansions.
