Система дифференциальных уравнений с малым параметром: численное решение на основе асимптотических представлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.62

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-1

Н. Ю. Петухова

система дифференциальных уравнений с малым

параметром: численное решение на основе асимптотических представлений

Аннотация.

Актуальность и цели. Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. Система исследована в том случае, когда известен вид асимптотического разложения решения по малому параметру. Цель работы - получить численное решение задачи, построив численное приближение начальной суммы асимптотического ряда.

Материалы и методы. Для получения численного решения надо вычислить несколько первых функций асимптотического ряда. Поставлены задачи для регулярных и пограничных функций, предложены численные алгоритмы для определения с требуемой точностью регулярных функций на отрезке и пограничных функций на полубесконечной прямой.

Результаты. Доказана устойчивость этих численных методов, позволяющая использовать значения уже вычисленных функций при формировании начальных условий и дифференциальных уравнений для последующих функций. Приведены оценка числа арифметических действий, которые требуют построенный численный метод, и сравнение ее с трудоемкостью других методов. Эта оценка показывает его большую вычислительную простоту.

Выводы. Реализация численного метода оказывается проще, особенно при решении серии задач с различными значениями малого параметра. Для рассмотренного типа сингулярно возмущенной системы метод не требует никаких дополнительных ограничений на коэффициенты дифференциальных уравнений и на начальные условия.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача, разложение по малому параметру, регулярные и пограничные функции, жесткая задача.

N. Yu. Petukhova

a system of differential equations with a small parameter: a numerical solution based on asymptotic representations

Abstract.

Background. There is a system of nonlinear differential equations with a small parameter on derivatives. In this paper we consider the initial value problem, which has a well-known form of asymptotic expansion in a small parameter. The numerical method is based on the approach of a numerical sum of initial asymptotic series.

Materials and methods. For numerical solution it is necessary to calculate the first few functions in an asymptotic series. The authors set tasks for regular and boundary layer functions and constructed numerical algorithms for determining the required accuracy of regular functions on a segment and boundary layer functions on a semi-infinite interval.

Results. The researchers have proved stability of the methods, allowing the use of the values of already computed functions in problems for subsequent functions. The artilce estimates the number of arithmetic operations required by this method, and compares it with conventional numerical methods. This estimate shows the computational efficiency of implementation of the method.

Conclusions. The numerical method is easier to implement, especially when solving problems for series of different values of a small parameter. For the considered type of singularly perturbed system the method requires no additional restrictions on the coefficients and on the initial conditions.

Key words: singularly perturbed problem, small parameter expansion, regular and boundary layer functions, stiff problem.

Введение

Рассматривается начальная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. К таким задачам приводят, например, системы уравнений, описывающие химические процессы с быстрыми и медленными реакциями или большие и малые колебания в электрических схемах, подчиненные уравнению Ван дер Поля. Еще одним примером подобных задач может быть уравнение диффузии с малым коэффициентом вязкости или нестационарное уравнение диффузии, в ходе решения которого производные по пространственным переменным были заменены конечными разностями [1, 2]. Решение таких задач традиционными численными методами требует обязательного применения неявных методов и решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Наличие малого параметра приводит к неустойчивому итерационному процессу, поэтому большинство методов эффективно работают лишь в области медленного изменения решения, а также требуют при своей реализации дополнительных ограничений на коэффициенты дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи

Исследована система нелинейных дифференциальных уравнений в том случае, когда известен вид асимптотического разложения решения по малому параметру. Рассмотрим начальную задачу для системы векторных функций z(x) и y(x):

dz

Е—= F (z, y, x),

dx

* ^ = f (z,y, x), 0 < x < X, (1)

dx

z(0) = A, y(0) = B.

Здесь e> 0 - малый параметр; z(x), y(x) - векторные функции размерностей m и l. Система (1) исследована в случае, когда вид функций F(z,y,x),

позволяет доказать существование решения и использовать при получении его асимптотики решение вырожденной системы:

F(zo, У0 , x) = 0, <^0

= f (zo,У0, x), 0 < x < X, (2)

dx

У0 (0) = B.

Согласно [3] эти условия имеют следующий вид:

1) функции F(z,y,x), бесконечно дифференцируемы в области D:

{||< м,||у|| <M,0 < x < X},

здесь

Il II Г~2 2 2"

\\ц = Vzl + z2 + - + zm ;

2) уравнение F(z,y,x) = 0 имеет относительно z изолированный корень z0 = Ф(У,x); (y,x)e A:{|M| <M,0 < x < X}, а задача (2) при z0 = фу,x) имеет на отрезке 0 < x < X единственное решение y0 (x) ;

3) справедливы неравенства

Re(X(x)) < 0, i = 1,2,...m, (3)

где Xi (x) - собственные значения матрицы (z0 (x), y0 (x), x) ;

4) решение задачи

|Y(t ) = F(z, B,0), z (0) = A

существует при t > 0 и при t ^ стремится к точке покоя ф(В, 0).

В этих условиях существует единственное решение (z(x, e), y(x, e)) задачи (1), для него справедливо асимптотическое разложение по малому параметру:

U(x, e) = £ ek (Vk (x) + П (t)), (4)

k=0

и имеет место оценка:

||U( x, e) - Sn ( x, e)| | = Си ew+1. (5)

В выражениях (4), (5) обозначено: t = x / e; U( x, e) означает (z(x,e), y(x,e)) в совокупности; Vk(x) = (zk(x),yk(x)), k = 0,1,..., - функции регулярной части асимптотики; П (t) = ( Пгк (t), Пук (t)) - функции пограничного слоя,

Sn ( x, e) = £ ek (Vk ( x) + П (t )).

k=0

Константа Сп в (5) зависит от п и не зависит от е . Теперь для получе-

„N+1

ния численного решения задачи (1) с точностью А N = СN е , N > 0, надо вычислить с такой точностью функцию

N

SN (X, е) = £ ek (Vh (х) + П (t)), 0 < X < X .

k=0

(6)

При этом для достижения данной точности А N каждую из функций приближенного решения (6) надо вычислять с точностью

Sk =Дn /е ,k = 0,1,...,N.

(7)

Построенная таким образом функция и N (х, е) = 8 N (х, е) будет равномерным по е на всем отрезке [0; X] численным приближением решения задачи (1). При больших значениях N ^> 3) реализация такого численного метода станет достаточно громоздкой; если же 0 < N < 2, его применение оправдано.

2. Задачи для регулярных и пограничных функций и их численное решение

2.1. Задачи для регулярных функций Уравнения для регулярных функций гк (х), ук (х) в (4) получаем, приравнивая коэффициенты при ек в разложении в системе:

^ ^ ^

„к ' 1? гЛ Л

е£ ekzk(х) = F £ ekzk(х), £ ekyk(х)

k=0 I k=0 k=0

k'/„\ r Jk

£ ekyk (X) = f £ ekZk (X), £ ekyk (х)

k=0 I k=0 k=0

, z (0) = A, y (0) = B.

При к = 0 имеем: уравнение Е(г,у,х) = 0 и задачу Коши для у(х) (2). Согласно (3) функция го = ф(у, х) нам известна; тогда функция уо(х) - решение задачи (2) может быть без труда вычислена с требуемой точностью 80 = А N стандартным численным методом решения задачи Коши. Далее, раскладывая функции Г(го + ^, уо + d2, х) и Г (го + dl, уо + d2, х)

^ оо

(dl = £ ек гк (х), d2 = £ ек ук (х)) в ряды, получим системы уравнений для к=1 к=1 следующих регулярных функций: к = 1:

dz

dх dy

0 = F; (M)zx (х) + F; (M)yi (х); zx (0) + Uz1 (0) = 0;

dх

1 = f;(M)zx(х) + f;(M)yi (х); y i(0) + ПУ1 (0) = 0.

(8)

k = 2:

dz1=F^ (M)z2 (х) + F; (M)y2 (x) +1Г Э Э Э ^

dx ;

z 2 (0) + nz 2 (0) = 0,

dy2 = f; (M )z2 (X) + f; (M)y2 (x) + ^

2!

-U\ +

duj du2

U2 +... +

du

'um+l

m+l

(

dx ; { y 2 (0) + Пу2 (0) = 0.

2!

-Uj +--

duj du2

U2 +... +

du

m+l

'um+l

F(M);

f (M);

В системе (8) обозначено: точка М = (го (х), у0 (х), х),

/12 т 12 К (г) (г)

u = (21,,...,,л, у1 ,...,з^), ы^ = ' или у! ' - г-я компонента вектора

Zl (х) или У1 (х). Задачи для последующих регулярных функций будут выглядеть аналогично.

Схема численного решения (8). При к = 1: функция г0 (х) известна точно и согласно п. 3 условий (3) матрица (M) при всех х имеет обратную. Тогда функция Zl (х) может быть однозначно выражена из первого уравнения системы и подставлена во второе. Так будет получена система линейных дифференциальных уравнений для вектор-функции У1 (х) общего вида:

dyi

= D(x)y1 (х) + H (х), 0 < х < X,

dx

y1 (0) = -Пу 1 (0),

d( x)=f; (m ) - f; (m )(fz' (m ))-1f; (m ).

(9)

Начальные условия для У1 (х): У1 (0) = -Пу1 (0). Ниже, при вычислении пограничных функций, это значение будет вычислено с требуемой точностью 81. Далее начальная задача для функции у1 (х) может быть решена с требуемой в (7) точностью 81 стандартным численным методом для решения задачи Коши.

После вычисления функции У1 (х) из первого уравнения (8) с той же точностью получим Zl(х) и значение Zl(0) = -Пг 1 (0) .

При к = 2, чтобы из первого уравнения (8) выразить Z2 (х), надо знать значения функций Zl (х), У1 (х) и (х). Для определения значений (х) через известные с точностью 81 значения Zl (х) в нашем случае можно использовать стандартные формулы численного дифференцирования первого или второго порядка. Пусть Zl (х) известна с точностью 81, функцию Z2 (х) надо получить с точностью 82 = 81 / е, и применена формула численного дифференцирования

первого порядка: гк (х{) = (гг-+1 - Zi) / к . Тогда для погрешности этой формулы должно выполняться условие: 81 / к + к <82 = 81 / е . Минимальное значение вы-

ражения в левой части равно , при этом ограничение д/81 <82 = 8} / е вы-

2 3

полняется, если 8} > е или Ад > е . Это ограничение после формулы (7) мы считаем выполненным. Таким образом, выразив функцию г2 (х) из первого уравнения и подставив во второе уравнение (8), мы снова получим для У2 (х) систему линейных дифференциальных уравнений общего вида (9):

'аУ 2

= Б(х)у2 (х) + Н2 (х), 0 < х < X, ах (Ю)

У2 (0) = -Пу 2 (0),

в которой функция Н2 (х) и начальное условие У2 (0) = - Пу2 (0) известны с точностью 8} или 82. Осталось обосновать возможность использования значений ранее вычисленных приближенно функций у^ (х) и (х) при формировании начальных условий и дифференциального уравнения для У2 (х).

Пусть у2 (х) - решение задачи вида (10), где ||у2 (0) - у2 (0)|| <АЬ ||Н2 (х) - Н 2 (х)|| < А 2 и выполнено условие:

ц(Б(х)) < I(х), 0 < х < X;

ц(Б) - норма матрицы Б(х). Тогда согласно [4] имеет место следующая оценка:

( х \

||У2 (х) - У2 (х)|| < х) А1 +1^(р)А2ар

0

(11)

L(x) = Jl(p)dp.

где

0

Норма матрицы Б(х) ограничена при всех х, следовательно, ||У2 (х) - У 2 (х)|| < С (А1 + А 2) = С 82.

Далее задача (10) также может быть решена с требуемой точностью 82 стандартным численным методом для задачи Коши. После вычисления функции У2 (х) из первого уравнения (8) с той же точностью получим г2 (х). Таким же методом можно получить численные решения дифференциальных уравнений для следующих регулярных функций. Так будет вычислена с нужной точностью А N регулярная составляющая асимптотики (6).

2.2. Вычисление пограничных функций

Пусть ^ = х / е > 0 . Уравнения для пограничных функций (^) и Пук (0 получаем, приравнивая коэффициенты при ек в разложениях по степеням е в уравнениях системы:

^ f ^ ^ 2 ek nzk (t) = F 2 ek (zk (et) + nzk (t)), ^ ek (Ук (et) + Пук (t)), et)

k=0 I k=0 k=0

-F

f ^ ^ ^ ekZk (et), 2 ekУк (et), et

Уk=0 k=0

.. ^ f ^ ^ - ^ ek Пуk (t) = f ^ ek (zк (et) + №к (t)), 2 ek (Ук (et) + ПУк (t)), et

e' " Уk=0 ' "

k=0

f ^ ^ kk

k=0

f

2 ekZk (et), 2 ekУк (et), et

уk=0 k=0

(12)

(13)

При к = 0 имеем следующую задачу:

Г №0(0 = Б (2 0 (0) + № 0 (г), у о (0) + Пу о (х ),0), № о (0) = А - 2 о (0) [ Пу0(х) = 0, Пу о (0) = 0, х > 0.

Тогда Пу о (х) = 0 , и Пи о (х) есть решение системы нелинейных дифференциальных уравнений:

|Пг0 (х) = Б (2о (0) + №о (х), В,0), х > 0, [ Пго(0) = А - 2о(0).

Система при к = 1:

Г Щ (х) = Б2 (М (х)) № 1 (х) + Бу (М (х)) ПУ1 (х) + G1 (х), №х (0) = -21 (0), { Пу1(х) = & (х), х > 0.

В(13) обозначено:

М(х) = (го(0) + №о(х),В,0), М = (2о(0),В,0), &(х) = Г(М(х)) -{(М), С (х) = (¥ (М(х)) - ¥ (М ))(хг0(0) + г1 (0)) + +(Еу(М(х)) -¥у(М))(ху0(0) + у1 (0)) + х(¥'х(М(х)) -¥'х(М)).

Согласно [3] начальные данные для Пук (х) получают из условия стремления пограничных функций к нулю при х ^ж. Из (13) имеем:

х ж

Пу 1 (х) = Пу 1 (0) + \gl (х)ёх и Пу 1 (0) = -\ gl (х)ёх. (14)

0 0

Задачи для следующих пограничных функций Пгк (х) и Пук (х) при к > 1 будут аналогичны задаче (13)-(14) с другими функциями Ск (х) и gk (х) .

Численное решение задачи для Пго (х). При вычислении потребуется экспоненциальная оценка Пг о (х) при х ^ж вида

||№о (х)|| < С0вХх, Х< 0. (15)

Она может быть получена при выполнении условий (3) и при использовании логарифмической нормы матрицы F^ (z (x), B,0) [4]. Логарифмическая норма FZ, согласованная с нормой z, вычисляется по формуле: ^(FZ) = Xmax,

где Xmax - наибольшее собственное значение матрицы -2 ^ + (F^ )T j. Тогда

при выполнении (3): Xmax(x) = max Re(X (x)) < 0. Далее согласно [4], если

1<i<m

^(F^(z(x),B,0)) < l(x) при z 6[zq(0), A], то ЦГМОЦ < eL(t) ||Пго(0)||, где

t

L(t) = Jl(x)dx . У нас l(x) < 0 и для получения оценки (15) положим:

C0 =1 |nz 0 (0)1, X= max l (x) < 0.

ze[ A,z (0)]

Теперь для численного решения задачи (12) сведем ее к задаче Коши на конечном отрезке 0 < t < TQ, где значение TQ выбирается из условия:

CoeXT0 =Sq. На отрезке [0, TQ] построим неравномерную сетку. Положим

— = ePt, Р> 0, более точно значение в определим позднее. Отрезок [0, TQ]

ds

перейдет в отрезок S1 < s < S2, где S1 =-1/ Р, S2 = -e~PT0/ P . Теперь длина отрезка интегрирования |s2 - s^ < 1/ Р, не зависит от e и 8q . Задача Коши для функции Пг о (s) примет вид

dFIz о (s)

ds

= F(zo(0) + Пго(s), В,0)

( 1 ^

Ps

s1 < s < s2,

V IJ

Пг о (s1) = A - z о (0).

(16)

На отрезке [¿1, S2] построим равномерную сетку {5 = + ¡И, I = 1,...,п}. Если для численного решения (16) применять какой-либо стандартный устойчивый метод порядка р, р > 1: многошаговый или метод типа Рунге -Кутта, то для его погрешности справедлива оценка [4]:

Пго (sm ) - ПZm

< hp max

s

nz о( P+1)( sm )

X(exp((sm - s1)L1) -1) / L1, s1 < sm < s2 .

(17)

Здесь Пгт - численное решение в точке 5т = 51 + тИ и логарифмическая норма матрицы ^ (г0 (0) + Пг0 (з), В ,0) • (-1/Р^) < Ьу. Число как и (г(х),В,0)), также отрицательно, и (17) можно записать в виде:

Пг о (sm ) - Пг m

< Chp max

s

Пг о( p+1)(sm)

С не зависит от 7д и 80. Для нормы функции ГЬ 0( P+J)( s) оценка:

" dp+1Uz0 (t) f dt \ P+1

справедлива

Dz o( p+j)(s)

dtP+J

• C0eXt • ePt(p+j) = C0 exp(t(X + P(p + 1))) .

Последняя величина будет равномерно ограничена при 0 < х < 7д, если

0 <Р< -X / ((р + 1). (18)

При этом шаг численного метода выбирается только из условия требуемой точности вычисления № о (х): кр < 8д.

Задача (16) становится жесткой при значениях 5, близких к 52 , так как

собственные значения матрицы ¥'2 (го(0) + Шо(5), В,0) • (——) имеют вид:

X(s) = X(t) / (-Ps) = X(t)ePt. При значениях s, близких к S2 : |X(s)| =

X(t )e

РТ0

Однако, если выбор Т, как и выбор шага сетки к, определяется требуемой точностью 80, дополнительных ограничений на величину шага или на класс используемых численных методов не возникнет. Это вытекает из следующих оценок:

наибольшее значение |X(s)| •

PT f согласно^

О' 0 -

■ e 0 =

(18)

= e P+j0 = e-WMP+1 =

( л \

у §0 ,

P+1

I f 1 1 ^

Шаг сетки h = 5P . При этом |hX| = O 5p p+j

= O

f 1 ^ 5 P( P+1)

= O(1).

Тогда условие |hX| < const можно считать выполненным. Это означает, что

при решении задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений (16) нет необходимости использовать неявные численные методы, имеющие неограниченную область устойчивости.

Найдем численное решение системы (13) при k = 1. Для функции gi (t)

выполняется теорема о среднем и оценка: ||gi (t)|| < C11 Ez0 (t)|| = Ce-Xt. Пу1 (t)

находим по формуле: Пу1 (t) = -Jg 1 (x)dт. Тогда для Пу^) также справед-

t

лива оценка ||Пу1 (t)|| < Ce-Xt и Пу1 (0) = - J g1 (T)dт . Для вычисления послед-

1

X

1

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион него интеграла с точностью 61 считаем его по конечному отрезку 0 <т< 7, где Т1 определяется из условия: Се / ^ = 81. После замены переменной & / = еРг ,0 < Р < -X получим интеграл по отрезку [з^, 52 ], 51 =-1/ Р, 52 = -е-РТ / Р, З1 - ^ | < 1/ Р = 0(1). Далее значение интеграла

s2

J gl (t(s))t'(s)ds надо найти с точностью 81, используя стандартные методы

s1

численного интегрирования. Так будет получена задача Коши для функции

|пУ ;«)=8,«),о <, < я,

[ Пу 1 (0) известно.

Далее, имея экспоненциальную оценку для Пу 1 (1), эту задачу можно решить по схеме, использованной выше при вычислении Пи о (1). Как и при вычислении регулярных функций, при к > 1 надо обосновать возможность использования при численном решении приближенно известных начальных данных и функции §1(1). Для этого снова воспользуемся (11). В нашем случае

||ё1 (1) - §1 (1) < С80 , || Пу1 (0) - Пу^ (0) < С81 и логарифмическая норма равна

нулю.

После вычисления функции Пу 1 (1) подставим ее в первое уравнение системы (13) и получим задачу Коши для функции Пи 1 (1):

Г га 1 (1)=б; (М (1)) га 1 (1)+С1 (1), 1 > 0, [ ГЬ 1 (0) = -1 (0),

( 1 (1) = С1 (1) + ¥'у (М(1 ))Пу 1 (1).

В этой системе линейных уравнений, как и в (12), ) <Х< 0, начальные данные и функция (1 ( 1) известны с точностью 81:

h( - G 1( t)

<81

П;h (0) - га 1 (0)

<81. Тогда на основании (11) имеем:

|g h(t)

|lTz 1 (t) - гаi (t)|| < C81, где flzi (t) - решение задачи вида (19) с функцией

Gh (t) и начальным условием Пгh (0). Эта оценка обосновывает возможность использования ранее вычисленных приближенно регулярных и пограничных функций при формировании задачи (19) для Пи 1 (t).

Теперь, чтобы решить (19) по схеме, примененной выше для вычисления га о (t), осталось получить для га 1 (t) экспоненциальную оценку вида

| гаi (t)|| < Qe X1t, X > 0 . Для этого надо получить подобную оценку функции

G1 (t). Для функции F'y (M(t))Пу 1 (t) имеем

||F_y(M(t))Пуi(t)||<C21e-Xt, С21 = Cq • max ||F^(z,B,0)||. 11 ^ 11 ze^m (0)]

Для всех элементов матрицы (М (х)) - ¥'2 (М) на основании теоремы о среднем и (15) выполнено неравенство

IF (M(X)) - FZ (M)|| < c22e-Xt, где c22 = Cq • max

ze[Q,nz (0)]

д 2F

dzj dzj

(M(t)

Такие же оценки выполняются для (М(х)) - ¥'у (М)|| и

||¥х'(М(х)) - (М)||. Далее выберем Х1:0 <Х1 <Х так, чтобы хе-Хх < е-Х1, х > 0 (например, Х1 = X /2). Теперь получим:

||С 1 (х)\\ < Схе~Х, С1 = 6тах(, С23, С>1, ||г0(0)||, ||жх(0)||, ||у0(0)||, ||У1 (0)||),

с23 = Cq • max

ze[Q,nz (0)]

д 2F

дУ дУ

■(M(t)

Согласно [4] для решения системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (19), где ) < I(х) <-Х< 0 , выполняется неравенство:

|№! (t )|| <

)

t Л

|№! (Q)| + J e- L( p )| ! (p)j dp

0

где

имеем:

L(t) = Jl(p)dp .

0

Тогда L(t) <-Xt, ||nz1(0)| eL(t) <|| №x (0)|| e"Xt. Для второго слагаемого

t t Je-L(p) ||Gj (p)||dp < C1Je-L(p)-Xipdp =

= C J e- L( p)-Xip

0 0

(L( p) -Xjp У (L( p) -Xjp)'

/

C

'< ~"exp(-L( p) -Xj)

= -^(exp(-L(t)-Xit) -1).

Здесь V = min |(L(p) + Xip)'| = min|l(p) + X^; — - ограниченная вели-

0<p<t p V

чина. Окончательно для ||Пг j (t)|| получаем оценку:

II nz! (t)|| < 11 nz! (0)1 e-Xt + C1eL(f) (exp(-L(t) - X1t) -1) / V < Qe-^ , ( = 3max(|| Пг x (0), C1 / V).

Далее задача (19) для Ш 1(1) может быть численно решена с требуемой точностью 81 по схеме, построенной выше для вычисления Пи о (1). После построения неравномерной сетки шаг численного метода выбирается только из условия: Нр <81. Таким же методом можно вычислять пограничные функции Пик (1) и Пу^ (1) при к > 1.

Теперь по формуле (6) можно построить численное решение задачи (1) и % (х, е) = 8% (х, е). Обобщение результатов этого раздела приведем в следующей теореме.

Теорема 1. Функция (х, е), полученная по формулам (6)-(7), является на всем отрезке 0 < х < X численным решением задачи (1), (3), удовлетво-

„М+1

ряющим условию: max

0< x< X

М^ не зависит от е.

U(x, е) - SN (x, е)

< MN EJV_t" \ N = 0; 1; 2. Константа

3. Сравнительный анализ эффективности метода и вопросы практической реализации

В ходе реализации численного метода основные вычислительные затраты приходятся на вычисление пограничных функций. Задача для функции ГЪ0(t) решалась на отрезке 5е [si, s^], S -= 0(1). Задачу можно решать явным методом (Рунге - Кутты или многошаговым) порядка р > 1. Число арифметических действий при вычислении Пг о (t):

«0 ~ mS2 - zi\ /(hp) = m|s2 - z^ / ^SQ (m - размерность JTz0(t)). Вычисление следующих пограничных функций №k (t) и Пук (t), k > 1: после построения неравномерной сетки обе задачи решаются стандартными численными методами порядка р > 1 на отрезке длины О(1). Нет необходимости использовать неявный метод, шаг сетки не зависит от е , выбирается только из условия требуемой точности: hp <Sp . Это же можно сказать про метод численного интегрирования для вычисления Пук (0). Тогда здесь число операций: «k ~ (m + 2l) / (hkp ) = (m + 2l) / ^Sp (l - размерность Пук (t)).

Решение задачи (1) традиционными численными методами приводит к необходимости решать систему (m + l) нелинейных дифференциальных уравнений. При малом е эта система является жесткой. Ее решение многошаговыми методами или методами типа Рунге - Кутты требует применения неявных методов, являющихся А-устойчивыми или жестко устойчивыми [1]. При этом на каждом шаге надо решать систему (m + l) нелинейных алгебраических уравнений. Из-за большой величины max|(z, y, x)/ е|| эта система

z

является плохо обусловленной. Вследствие этого итерационный метод решения системы является неустойчивым к вычислительным погрешностям, требует очень точного задания начальных приближений [5]. Успешный итерационный метод решения такой системы построить сложно. Методы типа Рунге -Кутты порядка р дают равномерную по е величину сходимости

U( xn) - U П

= O(hp) только в задаче, где согласованы начальные условия,

т.е. F(z(0), y(0),0) = о и № о (t) = 0 [1]. В нашем случае это требование не выполнено. То же можно сказать про многошаговые методы, которые эффективно работают лишь вне зоны пограничного слоя. Другие возможные методы решения (1), такие как построение неравномерной сетки или специальных подгоночных параметров [6-8], хорошо адаптированы лишь к решению линейных систем. Таким образом, реализация предложенного здесь численного метода при малых значениях е оказывается проще.

В заключение отметим еще одно полезное свойство вышеописанного численного алгоритма. Функции zh (x), yjj (x), Пгh (t), Пу^ (t), составляющие

численное решение SN (x, е) в (6), не зависят от е . Это позволяет, один раз вычислив SN (x, ео), использовать эти же функции zh (x), yjj (x), Пгh (t), Пук (t) для получения численных решений серии задач (1) при различных значениях малого параметра е^ео, легко проводить сравнительный анализ этих решений. Другие примеры применения подобного подхода при численном решении краевых задач для различных дифференциальных уравнений с малым параметром на плоскости или на отрезке можно найти в [9, 10].

Заключение

Реализация численного метода оказывается проще, особенно при решении серии задач с различными значениями малого параметра. Все условия его применимости - это условия существования у решения задачи (1) асимптотического разложения определенного типа. Никаких дополнительных ограничений на коэффициенты дифференциальных уравнений и на начальные условия метод не требует. Метод вычисления пограничных функций можно использовать как способ численного решения начальной задачи для системы дифференциальных уравнений, поставленной на полубесконечной прямой.

Библиографический список

1. Хайер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайер, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1999. - 685 с.

2. Vulanovic, R. On the singularly perturbed semilinear reaction - diffusion problem and its numerical solution / R. Vulanovic, L. Teofanov // International Journal of numerical analysis and modelling. - 2016. - Vol. 13, № 1. - Р. 41-57.

3. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М. : Наука, 1973. - 272 с.

4. Хайер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1990. - 512 с.

5. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. - М. : Наука, 1975. -610 с.

6. Дулан, Э. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем / Э. Дулан, Дж. Миллер, У. Шилдерс. - М. : Мир, 1983. - 200 с.

7. Лисейкин, В. Д. Разностные схемы и координатные преобразования для численного решения сингулярно возмущенных задач / В. Д. Лисейкин, Ю. В. Лиха-нов, Ю. И. Шокин. - Новосибирск : Наука, 2007. - 246 с.

8. Kumar, V. A robust computational technique for a system of singularly perturbed reaction - diffusion equations / V. Kumar, A. Lal, R. Bawa // International Journal of applied mathematics and computer science. - 2014. - Vol. 24, № 2. - Р. 387-395.

9. Березин, Б. И. Использование асимптотических разложений для построения численных алгоритмов решения сингулярно возмущенных краевых задач / Б. И. Березин, Н. Ю. Петухова // Фундаментальная и прикладная математика. -1996. - Т. 9, № 4. - С. 1187-1194.

10. Петухова, Н. Ю. Численное решение краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром на основе асимптотических представлений / Н. Ю. Петухова // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. -2016. - № 6 (89), ч. 1. - С. 15-21.

References

1. Khayer E., Vanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy. Zhestkie i differentsial'no-algebraicheskie zadachi [Solving regular differential equation. Stiff and differentially-algebraic problems]. Moscow: Mir, 1999, 685 p.

2. Vulanovic R., Teofanov L. International Journal of numerical analysis and modelling. 2016, vol. 13, no. 1, pp. 41-57.

3. Vasil'eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy [Asymptotic expansions of solutions to singularly disturbed equations]. Moscow: Nauka, 1973, 272 p.

4. Khayer E., Nersett S., Vanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy. Nezhestkie zadachi [Solving regular differential equations. Unstiff problems]. Moscow: Mir, 1990, 512 p.

5. Bakhvalov N. S. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka, 1975, 610 p.

6. Dulan E., Miller Dzh., Shilders U. Ravnomernye chislennye metody resheniya zadach s Pogranichnym sloem [Uniform numerical methods to solve boundary layer problems]. Moscow: Mir, 1983, 200 p.

7. Liseykin V. D., Likhanov Yu. V., Shokin Yu. I. Raznostnye skhemy i koordinatnye preobrazovaniya dlya chislennogo resheniya singulyarno vozmushchennykh zadach [Difference schemes and coordinate transformations for numerical solution of singularly disturbed problems]. Novosibirsk: Nauka, 2007, 246 p.

8. Kumar V., Lal A., Bawa R. International Journal of applied mathematics and computer science. 2014, vol. 24, no. 2, pp. 387-395.

9. Berezin B. I., Petukhova N. Yu. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and applied mathematics]. 1996, vol. 9, no. 4, pp. 1187-1194.

10. Petukhova N. Yu. Aktual'nye problemy gumanitarnykh i estestvennykh nauk [Topical problems of humanities and natural sciences]. 2016, no. 6 (89), part. 1, pp. 15-21.

Петухова Наталья Юрьевна

кандидат физико-математических наук, доцент, Центр математического образования, Московский политехнический университет (Россия, г. Москва, ул. Б. Семеновская, 38)

E-mail: [email protected]

Petukhova Natal'ya Yur'evna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Mathematical Education Centre, Moscow Polytechnic University (38 B. Semyonovskaya street, Moscow, Russia)

УДК 519.62 Петухова, Н. Ю.

Система дифференциальных уравнений с малым параметром: численное решение на основе асимптотических представлений /

Н. Ю. Петухова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 3-17. Б01 10.21685/2072-3040-2017-2-1